Основное уравнение динамики. Общее уравнение динамики. Пример решения задачи Общее уравнение динамики в обобщенных силах

Пользуясь принципом Даламбера (Ч.3 Динамика), можно придать уравнениям движения форму уравнений равновесия, если к активным (заданным) и пассивным (реакции связей) силам присоединить силы инерции.

Пусть имеется СМТ с удерживающими и идеальными связями. Тогда для каждой МТ, входящей в СМТ, согласно принципу Даламбера можно записать:

Сообщив МТ, входящим в СМТ, виртуальные перемещения
, умножим каждое из уравнений (3.1) на соответствующее
, (=1,2,…,n) и сложим полученные выражения:

.

Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (1.12) и из предыдущего соотношения получаем общее уравнение динамики.

Общее уравнение динамики – уравнение Даламбера-Лагранжа :

При движении СМТ с удерживающими и идеальными связями, сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на точки СМТ и условно приложенных к ним сил инерции на любом виртуальном перемещении равна нулю:

. (3.2)

Общее уравнение динамики можно представить также в виде:

(3.3)

Следует также отметить, что в случае удерживающих и неидеальных связей, общее уравнение динамики примет вид:

, (3.4)

где пассивные силы – силы реакции неидеальных связей.

Принцип виртуальных перемещений является частным случаем общего уравнения динамики (в случае равновесия СМТ сила инерции
).

3.2. Уравнения движения смт в обобщенных координатах – уравнения Лагранжа второго рода

Из общего уравнения динамики (соотношения (3.2), (3.3)) можно вывести дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах, подобно тому, как из принципа виртуальных перемещений (2.1) были выведены условия равновесия СМТ в обобщенных координатах (2.6).

Используем следующую форму общего уравнения динамики:

.(3.5)

Пусть на СМТ, имеющую  степеней свободы, нало­жены голономные, удерживающие и идеальные связи. Введем в рассмотрение  обобщенных координат q  (=1,…,) и выразим через них радиус-вектор -й МТ аналогично тому, как это было представлено в формуле (1.13):

,
.

Варьируя это соотношение, получим:

,
. (3.6)

Подставляя соотношение (3.6) в соотношение (3.5) и изменяя порядок суммирования, имеем:

. (3.7)

Так как все
независимы и произволь­ны, то равенство (3.7) может выполняться только тогда, когда каждый из коэффициентов при равен нулю, поэтому нахо­дим:

.

Эту систему  уравнений запишем в виде:

.
(3.8)

Правая часть соотношения (3.8) представляет собой обобщенную силу (формула (1.16)) соответствующую обобщенной координате
:

.
(3.9)

Преобразуем выражение, входящее в левую часть соотношения (3.8) следующим образом:

(3.10)

Учитывая, что радиус-вектор -й МТ зависит от времени t сложным образом, получим следующее выражение для ее скорости движения:

, (3.11)

где
– называется обобщенной скоростью ( = 1, 2,…, ).

Так как множители ( = 1, 2,…, ) зависят только от обобщенных координат и времени t (и не зависят от обобщенных скоростей), тодифференцируя правую и левую часть соотношения (3.11) по обобщенной скорости , приходим к соотношению:

. (3.12)

Найдем частную производную скорости по обобщенной координате, учитывая, что обобщенные координаты входят в правую часть равенства (3.11) через коэффициенты при обобщенных скоростях:

. (3.13)

Частная производная зависит от времениt явно и через обобщенные координаты , (
). Вычисляя полную производную по времени от частной производной, находим:

. (3.14)

Сравнивая правые части выражений (3.13) и (3.14), замечаем, что

. (3.15)

Возвращаясь к формуле (3.10) и подставляя в нее тождества (3.12) и (3.15), получаем:

.

Учитывая, что

и

приведем последнее равенство к виду:

Кинетическая энергия СМТ (Ч. 3 Динамика) определяется формулой:

,

тогда (3.16) примет вид:

. (3.17)

Подставляя выражения (3.9) и (3.17)в уравнения (3.7), получим:

. (3.18)

Уравнения (3.18) представляют собой дифференциальные уравнения движения СМТ в обобщенных координатах. Эти уравнения называют уравнениями Лагранжа второго рода .

При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщен­ных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы.

Кинетическая энергия системы при подстановке в эти уравнения должна быть предварительно выражена как функция обобщенных скоростей и координат . Это будет квадратичная функция обобщенных скоростей , в коэффициенты которой могут входить обобщенные координаты (в частных случаях кинетическая энергия может быть квадратичной функцией скоростей с постоянными коэффициен­тами). Обобщенные силы тоже могут быть в общем случае функция­ми обобщенных координат , и скоростей .Таким образом, в выражения , и могут входить обобщенные координаты и их производные . Поэтому в выражение
войдут уже вторые производные . Следовательно, уравнения Лагранжа второго рода (3.18) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат
.

Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода (3.18) состоят в следующем. Во-первых, они дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики для любых как угодно движущихся СМТ с голономными связями. Во-вторых, число уравнений (3.18) не зависит от числа МТ, входящих в СМТ и равно числу степеней свободы системы (в машинах, механизмах и приборах обычно одна, две и редко больше двух степеней свободы). В-третьих, силы и моменты, действующие на систему, представлены здесь в виде обобщенных сил, в которые входят только активные силы и моменты, а все реакции идеальных связей автоматически исключаются из уравнений. Этими преимуществами и объясняется широкое применение уравнений Лагранжа второго рода во всех технических науках и в ряде разделов физики.

Уравнениями Лагранжа второго рода можно пользоваться и в случаях, когда на систему наложены неидеальные связи, например связи с трением скольжения и качения. В этом случае силы и моменты неидеальных связей включаются в число активных сил и моментов.

Запишем теперь уравнения (3.18) для консервативных голономных СМТ. В этом случае обобщенные силы могут быть выражены через потенциальную энергию СМТ:

,

и, следовательно, уравнения (3.17) примут вид:

,
(3.19)

Принимая во внимание, что потенциальная энергия системы зависит от обобщенных координат
ине зависит от обобщенных скоростей
, можно еще более упростить вид уравнения (3.19):

.
(3.20)

Введем понятие кинетического потенциала (иначе называемого функцией Лагранжа):

L к = T – П,

тогда уравнения (3.20) можно написать в форме:

.
(3.21)

Уравнения (3.21) представляют собой уравнения Лагранжа второго рода для консервативных систем.

Общее уравнение динамики имеет вид:

где -активные силы, приложенные к системе;

-масса k -ой точки;

-ускорение k -ой точки;

Виртуальное перемещение k -ой точки.

Уравнение (3.10) показывает, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.

Важным свойством общего уравнения динамики является то, что оно не содержит реакций идеальных связей. Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.

Вычисление суммы работ сил инерции на виртуальных перемещениях твердого тела проводится по следующим формулам.

1. При поступательном движении тела:

где
-главный вектор сил инерции тела (M - масса тела, - ускорение центра масс),

- виртуальное перемещение центра масс тела.

2. При вращении тела вокруг неподвижной оси:

где
-главный момент сил инерции тела относительно оси вращения (- момент инерции тела относительно оси вращения, - угловое ускорение тела),

- виртуальное угловое перемещение тела.

3. При плоско - параллельном движении:

где
- главный момент сил инерции тела относительно оси, проходящей через центр массС тела.

Частным случаем общего уравнения динамики является принцип виртуальных перемещений (общее уравнение статики). Действительно, в том случае, когда механическая система находится в покое, все силы инерции равны нулю, и из общего уравнения динамики вытекает принцип виртуальных перемещений: для того чтобы механическая система, на которую наложены идеальные связи находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, приложенных к рассматриваемой системе, на любом из ее виртуальных перемещений была равна нулю

(3.11)

Рассмотрим процедуру использования уравнения (3.10) для составления дифференциальных уравнений движения систем с двумя степенями свободы:

1. Изобразить механическую систему в произвольный момент времени.

2. Показать на рисунке активные силы и моменты, а также силы и моменты, соответствующие неидеальным связям (например, силы трения).

3. Определить главные векторы и главные моменты сил инерции.

4. Выбрать обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы системы.

5. Дать виртуальное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы системы, считая при этом виртуальные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю.

6. Вычислить сумму элементарных работ всех сил и моментов (см. п. 2 и 3) на соответствующих виртуальных перемещениях и приравнять эту сумму нулю.

7. Повторить п. 4 - 6 для каждого независимого движения системы.

При применении общего уравнения динамики к системам с двумя и большим числом степеней свободы, в связи с громоздкостью выкладок, можно использовать следующие рекомендации:

1. Сделать предположение о направлении ускорений точек системы.

2. Направить на рисунке силы инерции в стороны, противоположные выбранным направлениям соответствующих ускорений.

3. Определить знаки элементарных работ сил инерции в соответствии с их направлениями на рисунке и избранными направлениями виртуальных перемещений точек системы.

4. Если искомые ускорения оказываются положительными, то сделанные предположения о направлениях ускорений подтверждаются, если отрицательными, то соответствующие ускорения направлены в другую сторону.

Применяя совместно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений к движущейся системе, можно сделать следующий вывод: при движении системы, на которую наложены совершенные связи, сумма элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек системы равна нулю при любом возможном перемещении системы из занимаемою ею в каждый данный момент положения.

Этот результат выражается одним из следующих уравнений:

или, так как ,

или в координатной форме

Уравнение (242), или (243), или (244) называется общим уравнением динамики (уравнением Даламбера - Лагранжа).

В настоящем параграфе рассмотрим задачи двух типов:

I. Задачи, в которых требуется установить условия относительного равновесия системы.

II. Задачи, в которых требуется определить ускорения точек системы.

В задачах каждого из этих типов могут рассматриваться системы с одной или несколькими степенями свободы.

Задачи типа I (задачи 925-929, 935-939)

Пример 182. Центробежный регулятор (рис. 220) состоит из двух шаров и весом каждый, размерами которых можно пренебречь. Шары закреплены на концах и коленчатых прямоугольных рычагов, которые имеют шарнирные опоры и на перекладине , соединенной неизменно с осью регулятора. Муфта D весом отжимается вниз пружиной, а с другой стороны поддерживается роликами рычагов регулятора. Определить жесткость с пружины, если при заданной постоянной угловой скорости угол отклонения стержней СА и от вертикали равен . Даны расстояния: и длина недеформированной пружины . Высота муфты равна .

Решение. Координашые оси располагаем, как указано на рис. 220.

Заданными силами, действующими на систему, являются веса шаров и муфты, а также сила упругости пружины , где к - деформация (сжатие) пружины. Кроме того, в точках А и приложим центробежные силы инерции , где R - расстояние от центра каждого из шаров до оси вращения у.

На основании уравнения Даламбера-Лагранжа сумма работ всех этих сил при любом возможном перемещении системы равна нулю. Следовательно, пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем

Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики .

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:

Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная

Общее уравнение динамики - при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.

Последовательность составления:

а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;

б) сообщают системе возможные перемещения;

в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций , ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

Возможная работа силы: .

Возможная работа момента (пары сил): .

Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q 1 , q 2 , …, q S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

Число обобщенных координат равно S - числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

;

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

,

здесь - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :

(26)

а - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

(7)

где - перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k -той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек - функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек - функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

(28)

Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

(29)

В числителе правой части формулы - сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты - . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.

Пример решения задачи с применением общего уравнения динамики (принцип Даламбера – Лагранжа) для системы с твердыми телами, грузами, шкивами и блоком, соединенных нитями.

Условие задачи

Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3-6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом M = 10 Н·м , приложенной к шкиву 1. Радиусы ступеней шкива 1 равны: R 1 = 0,2 м , r 1 = 0,1 м , а шкива 2 - R 2 = 0,3 м , r 2 = 0,15 м ; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно ρ 1 = 0,1 м и ρ 2 = 0,2 м .

Пренебрегая трением, определить ускорение груза 5. Веса шкивов и грузов заданы: P 1 = 40 Н , P 2 = 0 , P 3 = 0 , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н , P 6 = 10 Н . Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать.

Указание . При решении задачи использовать общее уравнение динамики (принцип Даламбера - Лагранжа) .

Решение задачи

Дано: R 1 = 0,2 м , r 1 = 0,1 м , R 2 = 0,3 м , r 2 = 0,15 м , ρ 1 = 0,1 м , ρ 2 = 0,2 м . P 1 = 40 Н , P 2 = 0 , P 3 = 0 , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н , P 6 = 10 Н , M = 10 Н·м .

Найти: a 5 .

Установление кинематических соотношений

Установим кинематические соотношения. Пусть V 4 , V 5 , V 6 , a 4 , a 5 , a 6 , δS 4 , δS 5 , δS 6 - скорости, ускорения и малые перемещения грузов 4,5 и 6. Пусть ω 1 , ω 2 , ε 1 , ε 2 , δφ 1 , δφ 2 - угловые скорости, угловые ускорения и малые углы поворота шкивов 1 и 2.

Скорость движения нити между телами 2, 4 и 5:
. Отсюда .
Скорость движения нити между шкивами 1 и 2:
. Отсюда
.
Скорость движения нити между телами 1 и 6:
.

Итак, мы нашли связь между скоростями тел.
;
;
.

Поскольку ускорения - это производные скоростей по времени, ,
то дифференцируя по времени предыдущие формулы, находим связь между ускорениями:
;
;
.

Поскольку скорости - это производные от перемещений по времени, то такая же связь есть между бесконечно малыми перемещениями.
;
;
.

Активные внешние силы

Рассмотрим внешние силы, действующие на систему.
Это силы тяжести тел P 1 = 40 Н , P 4 = 20 Н , P 5 = 30 Н и P 6 = 10 Н , направленные вниз;
заданная пара сил с моментом M = 10 Н·м ;
силы давления осей N 1 , N 2 и N шкивов 1, 2 и невесомого блока;
силы реакции N 4 и N 6 , действующие на грузы со стороны поверхностей, перпендикулярные этим поверхностям.

Силы инерции

Мы будем решать эту задачу с помощью общего уравнения динамики, применяя принцип Даламбера - Лагранжа. Он заключается в том, что сначала мы вводим силы инерции. После введения сил инерции, задача динамики превращается в задачу статики. То есть нам нужно найти неизвестные силы инерции, чтобы система находилась в равновесии. Данную задачу статики мы решаем, применяя принцип Даламбера. То есть считаем, что система совершила малое перемещение. Тогда в равновесии, сумма работ всех сил, при таком перемещении, равна нулю.

Итак, на первом этапе мы вводим силы инерции . Для этого предполагаем, что система движется с некоторым, пока не определенным, ускорением. То есть шкивы 1 и 2 вращаются с угловыми ускорениями ε 1 и ε 2 , соответственно; грузы 4,5 и 6 совершают поступательное движение с ускорениями a 4 , a 5 и a 6 , соответственно. Между этими ускорениями имеются связи, которые мы нашли ранее. То есть все эти ускорения можно выразить через одно ускорение a 5 . Силы инерции определяются так, что они равны по модулю и противоположны по направлению тем силам (и моментам сил), которые, по законам динамики, создавали бы предполагаемые ускорения (при отсутствии других сил).

Определяем модули (абсолютные значения) сил и моментов инерции и выражаем их через a 5 .
Пусть - массы тел;
- момент инерции шкива 1.
Момент сил инерции, действующий на шкив 1:
.
Силы инерции, действующие на грузы 4, 5 и 6:
;
;
.

Изображаем силы инерции на чертеже учитывая, что их направления противоположны ускорениям.

Применение общего уравнения динамики

Даем системе бесконечно малое перемещение. Пусть груз 5 переместился на малое расстояние δS 5 . Тогда угол поворота δφ 1 шкива 1 и перемещения δS 4 и δS 6 грузов 4 и 6 определяются с помощью установленных ранее кинематических соотношений. Поскольку нити нерастяжимые, то они не совершают работу при таком перемещении. Это означает, что система имеет идеальные связи. Поэтому мы можем применить общее уравнение динамики:
,
согласно которому сумма работ всех активных сил и сил инерции, при таком перемещении, равна нулю.

Определение суммы работ внешних активных сил и сил инерции

Работа, которую совершает сила при перемещении точки ее приложения на малое смещение равна скалярному произведению векторов , то есть произведению модулей векторов F и ds на косинус угла между ними.

Работа, произведенная моментом сил , вычисляется аналогично:
.

Определяем работы всех активных сил и сил инерции. Поскольку центры осей шкивов 1, 2 и невесомого блока не совершают перемещений, то силы P 1 , N 1 , N 2 и N не совершают работу. Поскольку силы N 4 и N 6 перпендикулярны перемещениям грузов 4 и 6, то эти силы также не совершают работу.

Находим сумму работ остальных активных сил и сил инерции.

.
Подставляем выражения для сил инерции и применяем кинематические соотношения.

.
Сокращаем на δS 5 и преобразовываем.

.
Подставляем численные значения.

;
;