Προβολές ταχύτητας και επιτάχυνσης. Ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση Τι είναι η προβολή της ταχύτητας του σώματος

1.2. Κίνηση σε ευθεία γραμμή

1.2.3. Γραφικός υπολογισμός κινηματικών μεγεθών

Μερικά κινηματικά χαρακτηριστικά της κίνησης μπορούν να υπολογιστούν γραφικά.

Ορισμός Προβαλλόμενης Ταχύτητας

Χρησιμοποιώντας γραφήματα της εξάρτησης της συντεταγμένης από το χρόνο x (t) (ή την απόσταση που διανύθηκε στο χρόνο S (t)), μπορείτε να υπολογίσετε την αντίστοιχη προβολή ταχύτητας v x σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (Εικ. 1.11), για παράδειγμα t = t 1.

Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει:

1) σημειώστε στον άξονα του χρόνου την υποδεικνυόμενη τιμή της στιγμής του χρόνου t 1.

2) επαναφέρετε την κάθετο στην τομή με το γράφημα x (t).

5) προσδιορίστε την προβολή της ταχύτητας στον άξονα Ox ως την εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας στη θετική κατεύθυνση του άξονα του χρόνου:

v x (t 1) = tan α 1 .

Πρέπει να σημειωθεί ότι η προβολή της ταχύτητας v x είναι

• θετική εάν η εφαπτομένη στο γράφημα σχηματίζει οξεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα t (βλ. Εικ. 1.11).
• αρνητική αν η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση σχηματίζει αμβλεία γωνία με τη διεύθυνση του άξονα t (Εικ. 1.12).

Στο Σχ. Το σχήμα 1.12 δείχνει ένα γράφημα της συντεταγμένης σε σχέση με το χρόνο x (t). Για να προσδιοριστεί η προβολή της ταχύτητας στον άξονα Ox τη χρονική στιγμή t 3, σχεδιάζεται μια κάθετη t = t 3. Στο σημείο τομής της καθέτου με την εξάρτηση x (t) χαράσσεται εφαπτομένη. Σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα t. Επομένως, η προβολή της ταχύτητας v x στον άξονα Ox στον υποδεικνυόμενο χρόνο είναι αρνητική τιμή:

v x (t 3) = − | ταν α 3 | .

Ρύζι. 1.12

Ορισμός Προβολής Επιτάχυνσης

Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της προβολής ταχύτητας έναντι του χρόνου v x (t), μπορείτε να υπολογίσετε την προβολή επιτάχυνσης a x στον αντίστοιχο άξονα σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή (Εικ. 1.13), για παράδειγμα t = t 2.

Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει:

1) σημειώστε στον άξονα του χρόνου την υποδεικνυόμενη τιμή της στιγμής του χρόνου t 2.

2) επαναφέρετε την κάθετο στην τομή με το γράφημα v x (t).

3) σχεδιάστε μια εφαπτομένη στο γράφημα στο σημείο της τομής του με την κάθετο.

5) προσδιορίστε την προβολή της επιτάχυνσης στον άξονα Ox ως την εφαπτομένη της εφαπτομένης γωνίας στη θετική κατεύθυνση του άξονα του χρόνου:

a x (t 2) = tan α 2 .

Πρέπει να σημειωθεί ότι η προβολή της επιτάχυνσης a x είναι

• θετική εάν η εφαπτομένη στο γράφημα σχηματίζει οξεία γωνία με την κατεύθυνση του άξονα t (βλ. Εικ. 1.13).

Ρύζι. 1.13

• αρνητική αν η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση σχηματίζει αμβλεία γωνία με τη διεύθυνση του άξονα t (Εικ. 1.14).

Ρύζι. 1.14

Επεξήγηση της χρήσης του αλγορίθμου.Στο Σχ. Το Σχήμα 1.14 δείχνει ένα γράφημα της προβολής της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο v x (t). Για να προσδιοριστεί η προβολή της επιτάχυνσης στον άξονα Ox τη χρονική στιγμή t 4, σχεδιάζεται μια κάθετη t = t 4. Στο σημείο τομής της καθέτου με την εξάρτηση v x (t) χαράσσεται εφαπτομένη. Σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα t. Επομένως, η προβολή της επιτάχυνσης a x στον άξονα Ox στον καθορισμένο χρόνο είναι αρνητική τιμή:

a x (t 4) = − | tg α 4 | .

Προσδιορισμός της διανυθείσας απόστασης και της μονάδας μετατόπισης (συνδυασμός ομοιόμορφης και ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης)

Χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της προβολής ταχύτητας ως συνάρτηση του χρόνου v x (t), μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση που διανύσατε και μονάδα ταξιδιούυλικό σημείο (σώμα) για ορισμένο χρονικό διάστημα ∆t = t 2 − t 1 .

Για να υπολογίσετε τα καθορισμένα χαρακτηριστικά χρησιμοποιώντας ένα γράφημα που περιέχει μόνο ενότητες ομοιόμορφα επιταχυνόμενηκαι ομοιόμορφη κίνηση, έχει ως εξής:

4) Υπολογίστε τη διανυθείσα απόσταση S και τη μονάδα μετατόπισης Δr ως αθροίσματα:

∆r = S 1 + S 2 + ... + S n,

όπου S 1, S 2, ..., S n είναι οι διαδρομές που διανύει το υλικό σημείο σε καθένα από τα τμήματα ομοιόμορφα επιταχυνόμενης και ομοιόμορφης κίνησης.

Στο Σχ. Το σχήμα 1.15 δείχνει την εξάρτηση της προβολής της ταχύτητας από το χρόνο για ένα υλικό σημείο (σώμα) που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο στο τμήμα AB, ομοιόμορφα στο τμήμα BC, ομοιόμορφα επιταχυνόμενο στο τμήμα CD, αλλά με επιτάχυνση διαφορετική από την επιτάχυνση στο τμήμα AB.

Ρύζι. 1.15

Σε αυτήν την περίπτωση, η διανυθείσα απόσταση S και η μονάδα μετατόπισης Δr συμπίπτουν και υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

S = S 1 + S 2 + S 3,

∆r = S 1 + S 2 + S 3,

όπου S 1 είναι η διαδρομή που διανύει ένα υλικό σημείο (σώμα) στο τμήμα ΑΒ. S 2 - διαδρομή που διανύθηκε στο τμήμα BC. S 3 - διαδρομή που διανύθηκε στο τμήμα CD. Τα S 1 , S 2 , S 3 υπολογίζονται σύμφωνα με τον αλγόριθμο που δίνεται παραπάνω.

Προσδιορισμός της διανυθείσας απόστασης και της μονάδας μετατόπισης (συνδυασμός ομοιόμορφης, ομοιόμορφα επιταχυνόμενης και ομοιόμορφα επιβραδυνόμενης κίνησης)

Για να υπολογίσετε τα υποδεικνυόμενα χαρακτηριστικά χρησιμοποιώντας το γράφημα v x (t), που περιέχει τμήματα όχι μόνο ομοιόμορφα επιταχυνόμενα και ομοιόμορφα, αλλά και εξίσου αργόκίνηση, θα πρέπει:

1) σημειώστε το καθορισμένο χρονικό διάστημα Δt στον άξονα του χρόνου.

2) επαναφέρετε τις καθέτους από τα σημεία t = t 1 και t = t 2 μέχρι να τέμνονται με τη γραφική παράσταση v x (t).

4) Υπολογίστε την απόσταση που διανύθηκε S ως άθροισμα:

S = S 1 + S 2 + ... + S n,

όπου S 1, S 2, ..., S n είναι οι διαδρομές που διανύει το υλικό σημείο σε κάθε ένα από τα τμήματα.

5) υπολογίστε μονάδα ταξιδιούως η διαφορά μεταξύ της συνολικής διαδρομής που διανύθηκε από το υλικό σημείο προς το σημείο στάσης και της διαδρομής που διανύθηκε από το υλικό σημείο μετά τη στάση.

Επεξήγηση της χρήσης του αλγορίθμου. Στο Σχ. Το σχήμα 1.16 δείχνει την εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο για ένα υλικό σημείο (σώμα) που κινείται ομοιόμορφα επιταχυνόμενο στο τμήμα AB, ομοιόμορφα στο τμήμα BC, ομοιόμορφα αργό στο τμήμα CF.

Ρύζι. 1.16

Στην περίπτωση που υπάρχει ένα τμήμα ομοιόμορφης αργής κίνησης (συμπεριλαμβανομένου σημείου στάσης - σημείο D), η απόσταση που διανύθηκε S και η μονάδα μετατόπισης Δr δεν συμπίπτουν. Η απόσταση που διανύθηκε υπολογίζεται με τον τύπο

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4,

όπου S 1 είναι η διαδρομή που διανύει ένα υλικό σημείο (σώμα) στο τμήμα ΑΒ. S 2 - διαδρομή που διανύθηκε στο τμήμα BC. S 3 - διαδρομή που διανύθηκε στο τμήμα CD. S 4 - διαδρομή που διανύθηκε στο τμήμα DF. Τα S 1 , S 2 , S 3 , S 4 υπολογίζονται σύμφωνα με τον αλγόριθμο που δίνεται παραπάνω. Πρέπει να σημειωθεί ότι η τιμή του S 4 είναι θετική.

Η μονάδα μετατόπισης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

∆r = S 1 + S 2 + S 3 − S 4,

Προσδιορισμός συντελεστή μεταβολής ταχύτητας

Από τη γραφική παράσταση της προβολής της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο μπορεί κανείς να βρει ένα x (t). μονάδα αλλαγής ταχύτητας∆v υλικού σημείου (σώματος) για ορισμένο χρονικό διάστημα ∆t = t 2 − t 1 (Εικ. 1.17).

Για να το κάνετε αυτό θα πρέπει:

1) σημειώστε το καθορισμένο χρονικό διάστημα Δt στον άξονα του χρόνου.

2) επαναφέρετε τις κάθετες από τα σημεία t = t 1 και t = t 2 μέχρι να τέμνονται με τη γραφική παράσταση a x (t).

4) Υπολογίστε το μέτρο μεταβολής της ταχύτητας για το καθορισμένο χρονικό διάστημα ως περιοχή.

Παράδειγμα 4. Η γραφική παράσταση της προβολής της ταχύτητας του πρώτου σώματος στον άξονα Ox έναντι του χρόνου απεικονίζεται με μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα σημεία (0; 6) και (3; 0), το δεύτερο - μέσα από τα σημεία ( 0; 0) και (8; 4), όπου η ταχύτητα δίνεται σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, χρόνος - σε δευτερόλεπτα. Πόσες φορές διαφέρουν οι μονάδες επιτάχυνσης του πρώτου και του δεύτερου σώματος;

Λύση. Τα γραφήματα των προβολών ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο και για τα δύο σώματα φαίνονται στο σχήμα.

Η προβολή επιτάχυνσης του πρώτου σώματος ορίζεται ως η εφαπτομένη της αμβλείας γωνίας α 1 . Η ενότητα του υπολογίζεται από τον τύπο

| a x 1 | = | ταν α 1 | = | tg (180 − α 3) | = 6 3 = 2 m/s 2.

Το πρώτο σώμα κινείται εξίσου αργά. το μέγεθος της επιτάχυνσής του είναι 1 = = 2 m/s 2.

Η προβολή επιτάχυνσης του δεύτερου σώματος ορίζεται ως η εφαπτομένη της οξείας γωνίας α 2 . Η ενότητα του υπολογίζεται από τον τύπο

a x 2 = tan α 2 = 4 8 = 0,5 m/s 2.

Το δεύτερο σώμα κινείται με ομοιόμορφη επιτάχυνση. το μέγεθος της επιτάχυνσής του είναι 2 = 0,5 m/s 2.

Ο απαιτούμενος λόγος των μονάδων επιτάχυνσης του πρώτου και του δεύτερου σώματος είναι ίσος με:

a 1 a 2 = 2 0,5 = 4 .

Η επιτάχυνση του πρώτου σώματος είναι 4 φορές μεγαλύτερη από την επιτάχυνση του δεύτερου σώματος.

Παράδειγμα 5. Η γραφική παράσταση της συντεταγμένης y συναρτήσει του χρόνου για το πρώτο σώμα απεικονίζεται ως ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα σημεία (0; 0) και (5; 3), η δεύτερη - μέσα από τα σημεία (3; 0) και (6; 6), όπου η συντεταγμένη δίνεται σε μέτρα, χρόνος - σε δευτερόλεπτα. Προσδιορίστε τον λόγο των μονάδων των προβολών ταχύτητας των υποδεικνυόμενων σωμάτων.

Λύση. Γραφήματα της συντεταγμένης y συναρτήσει του χρόνου και για τα δύο σώματα φαίνονται στο σχήμα.

Η προβολή της ταχύτητας του πρώτου σώματος ορίζεται ως η εφαπτομένη της γωνίας α 1. Η ενότητα του υπολογίζεται από τον τύπο

v y 1 = tan α 1 = 3 5 = 0,6 m/s.

Η προβολή της ταχύτητας του δεύτερου σώματος ορίζεται ως η εφαπτομένη της γωνίας α 2. Η ενότητα του υπολογίζεται από τον τύπο

v y 2 = tan α 2 = 6 3 = 2 m/s.

Και οι δύο προβολές ταχύτητας έχουν θετικό πρόσημο. επομένως και τα δύο σώματα κινούνται με ομοιόμορφη επιτάχυνση.

Ο λόγος των μονάδων των προβολών ταχύτητας των υποδεικνυόμενων σωμάτων είναι:

| v y 2 | | v y 1 | = 2 0,6 ≈ 3 .

Το μέγεθος της προβολής της ταχύτητας του δεύτερου σώματος είναι περίπου 3 φορές μεγαλύτερο από το μέγεθος της προβολής της ταχύτητας του δεύτερου σώματος.

Παράδειγμα 6. Η γραφική παράσταση της εξάρτησης της ταχύτητας ενός σώματος από το χρόνο απεικονίζεται ως μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα σημεία (0; 4.0) και (2.5; 0), όπου η ταχύτητα δίνεται σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, χρόνος - σε δευτερόλεπτα. Πόσες φορές είναι μεγαλύτερη η απόσταση που διανύει το σώμα από τη μονάδα μετατόπισης σε 6,0 s κίνησης;

Λύση. Ένα γράφημα της ταχύτητας του σώματος σε σχέση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα. Το σημείο στάσης τ rest = 2,5 s πέφτει στο διάστημα από 0 s έως 6,0 s.

Επομένως, η απόσταση που διανύθηκε είναι το άθροισμα

S = S 1 + S 2,

| Δ r → | = | S 1 − S 2 | ,

όπου S 1 είναι η διαδρομή που διανύει το σώμα κατά το χρονικό διάστημα από 0 s έως 2,5 s. S 2 είναι η διαδρομή που διανύει το σώμα σε χρονικό διάστημα από 2,5 s έως 6,0 s.

Υπολογίζουμε τις τιμές των S 1 και S 2 γραφικά ως τα εμβαδά των τριγώνων που φαίνονται στο σχήμα:

S 1 = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 2,5 = 5,0 m;

S 2 = 1 2 ⋅ (6,0 − 2,5) ⋅ 5,6 = 9,8 m.

Σημείωση: η τιμή της ταχύτητας v = 5,6 m/s τη χρονική στιγμή t = 6,0 s προκύπτει από την ομοιότητα τριγώνων, δηλ. από τη στάση

v 4,0 = 6,0 − 2,5 2,5 − 0 .

Ας υπολογίσουμε την απόσταση που διανύθηκε:

S = S 1 + S 2 = 5,0 + 9,8 = 14,8 m

| Δ r → | = | S 1 − S 2 | = | 5,0 − 9,8 | = 4,8 μ.

Ας βρούμε την απαιτούμενη αναλογία της διανυθείσας απόστασης και της μονάδας μετατόπισης:

S | Δ r → | = 14,8 4,8 ≈ 3,1.

Η απόσταση που διανύθηκε είναι περίπου 3,1 φορές η μετατόπιση.

Ο
Από το γράφημα της προβολής επιτάχυνσης, μπορείτε να βρείτε, εκτός από το ah, την αλλαγή στην προβολή της ταχύτητας. Είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου OABC ή OKMN, αφού Avx = axt, και το axt είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου OABC ή OKMN.
Η περιοχή λαμβάνεται με αρνητικό πρόσημο εάν βρίσκεται κάτω από τον άξονα του χρόνου, ο οποίος αντιστοιχεί στο σχήμα 1.51, b, όπου Avx = axt
Οι τύποι προβολής ταχύτητας (1.17.3) είναι γραμμικές συναρτήσεις του χρόνου. Επομένως, τα γραφήματα των προβολών συντελεστή και ταχύτητας είναι ευθείες. Το σχήμα 1.52 δείχνει γραφήματα του συντελεστή ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου για τρεις κινήσεις με σταθερή επιτάχυνση. Τα γραφήματα 2 και 3 αντιστοιχούν σε κινήσεις των οποίων οι αρχικές μονάδες ταχύτητας αντιστοιχούν στα τμήματα ΟΑ και ΟΒ. Το γράφημα 1 αντιστοιχεί σε κίνηση με ομοιόμορφα αυξανόμενη μονάδα ταχύτητας και αρχική ταχύτητα ίση με μηδέν. Το γράφημα 3 αντιστοιχεί σε κίνηση με μέτρο ταχύτητας που μειώνεται ομοιόμορφα στο μηδέν. Το τμήμα του λειτουργικού συστήματος είναι αριθμητικά ίσο με το χρόνο που μετακινείται το σημείο μέχρι να σταματήσει. Ρύζι. 1.52
Γράφημα προβολής ταχύτητας
Τα γραφήματα της μονάδας ταχύτητας περιέχουν /1
Ο
Περιέχουν λιγότερες πληροφορίες από τα γραφήματα προβολής ταχύτητας, καθώς τα πρώτα γραφήματα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να κρίνουν την κατεύθυνση της κίνησης σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων.
Ρύζι. 1,53
Το σχήμα 1.53 δείχνει τα γραφήματα 1 και 2 των προβολών ταχύτητας δύο σημείων. Και τα δύο έχουν αρχική ταχύτητα μηδέν. Το πρώτο σημείο μεταβαίνει στο
στη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ, και αφού Avx > 0, τότε a1x > 0. Το δεύτερο σημείο κινείται αντίθετα από τον άξονα Χ, αφού Avx Το σχήμα 1.54 δείχνει επίσης τα γραφήματα 1, 2 των προβολών ταχύτητας δύο σημείων. Και οι δύο έχουν την ίδια τιμή της προβολής της αρχικής ταχύτητας, που αντιστοιχεί στο τμήμα ΟΑ. Σύμφωνα με το γράφημα 1, το σημείο κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ και το μέγεθος και η προβολή της ταχύτητας αυξάνονται ομοιόμορφα.
Σύμφωνα με το γράφημα 2 (βλ. Εικ. 1.54), το σημείο για μια ορισμένη χρονική περίοδο (τμήμα OB) κινείται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ (vx > 0) με την τιμή προβολής της ταχύτητας να μειώνεται ομοιόμορφα στο μηδέν (στοπ). Μετά από αυτό, η προβολή ταχύτητας γίνεται αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο άρχισε να κινείται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ. Σε αυτή την περίπτωση, ο συντελεστής προβολής ταχύτητας, και επομένως ο συντελεστής ταχύτητας, αυξάνεται ομοιόμορφα. Η προβολή επιτάχυνσης ενός σημείου είναι αρνητική. Εφόσον η προβολή της ταχύτητας του σημείου μειώνεται ομοιόμορφα, η προβολή της επιτάχυνσης παραμένει σταθερή. Επομένως, το σημείο κινείται με σταθερή επιτάχυνση.
Τα γραφήματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο σε σταθερή επιτάχυνση είναι αρκετά απλά. Το κύριο πράγμα εδώ είναι να συνηθίσουμε στην εικόνα θετικών και αρνητικών μεγεθών και να μην συγχέουμε τα γραφήματα των ενοτήτων και των προβολών.
? 1. Δείξτε ότι η γωνία κλίσης του γραφήματος προβολής ταχύτητας προς τον άξονα του χρόνου είναι μεγαλύτερη, τόσο μεγαλύτερος είναι ο συντελεστής προβολής επιτάχυνσης, δηλαδή η προβολή επιτάχυνσης είναι ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας.
2. Το σχήμα 1.55 δείχνει τις γραφικές παραστάσεις 1 και 2 των προβολών ταχύτητας δύο σημείων. Να αποδείξετε ότι τα γραφήματα αντιστοιχούν σε κίνηση με επιτάχυνση που δεν αλλάζει τόσο σε μέγεθος όσο και σε κατεύθυνση. Ρύζι. 1.54 Εικ. 1,55
Πώς αλλάζει η ταχύτητα ενός σημείου, η γραφική παράσταση της προβολής της ταχύτητάς του σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται από τη γραμμή 1 (βλ. Εικ. 1.55); Σε τι αντιστοιχούν τα τμήματα OC και OX>;
Πώς άλλαξε η ταχύτητα του σημείου (βλ. γράφημα 2 στο Σχήμα 1.55); Σε τι αντιστοιχεί το τμήμα OS; Πού είναι η επιτάχυνση ενός σημείου που κατευθύνεται σε σχέση με τον άξονα XI;

Ομοιόμορφη κίνηση– πρόκειται για κίνηση με σταθερή ταχύτητα, δηλαδή όταν η ταχύτητα δεν αλλάζει (v = const) και δεν συμβαίνει επιτάχυνση ή επιβράδυνση (a = 0).

Κίνηση σε ευθεία γραμμή- αυτή είναι κίνηση σε ευθεία γραμμή, δηλαδή, η τροχιά της ευθύγραμμης κίνησης είναι μια ευθεία γραμμή.

Ομοιόμορφη γραμμική κίνηση- αυτή είναι μια κίνηση κατά την οποία ένα σώμα κάνει ίσες κινήσεις σε οποιαδήποτε ίσα χρονικά διαστήματα. Για παράδειγμα, αν διαιρέσουμε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα σε διαστήματα ενός δευτερολέπτου, τότε με ομοιόμορφη κίνηση το σώμα θα κινηθεί την ίδια απόσταση για καθένα από αυτά τα χρονικά διαστήματα.

Η ταχύτητα της ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης δεν εξαρτάται από το χρόνο και σε κάθε σημείο της τροχιάς κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η κίνηση του σώματος. Δηλαδή, το διάνυσμα μετατόπισης συμπίπτει ως προς την κατεύθυνση με το διάνυσμα της ταχύτητας. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση ταχύτητα για οποιαδήποτε χρονική περίοδο είναι ίση με τη στιγμιαία ταχύτητα: v cp = v Ταχύτητα ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησηςείναι ένα φυσικό διανυσματικό μέγεθος ίσο με τον λόγο της κίνησης ενός σώματος σε οποιαδήποτε χρονική περίοδο προς την τιμή αυτού του διαστήματος t:

Έτσι, η ταχύτητα της ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης δείχνει πόση κίνηση κάνει ένα υλικό σημείο ανά μονάδα χρόνου.

Κίνησημε ομοιόμορφη γραμμική κίνηση καθορίζεται από τον τύπο:

Διανυθείσα απόστασησε γραμμική κίνηση ισούται με τη μονάδα μετατόπισης. Εάν η θετική κατεύθυνση του άξονα OX συμπίπτει με την κατεύθυνση της κίνησης, τότε η προβολή της ταχύτητας στον άξονα OX είναι ίση με το μέγεθος της ταχύτητας και είναι θετική:

V x = v, δηλαδή v > 0 Η προβολή της μετατόπισης στον άξονα OX είναι ίση με: s = vt = x – x 0 όπου x 0 είναι η αρχική συντεταγμένη του σώματος, x είναι η τελική συντεταγμένη του σώματος (ή η συντεταγμένη του σώματος ανά πάσα στιγμή)

Εξίσωση κίνησης, δηλαδή η εξάρτηση των συντεταγμένων του σώματος από το χρόνο x = x(t), παίρνει τη μορφή:

X = x 0 + vt Εάν η θετική κατεύθυνση του άξονα OX είναι αντίθετη από την κατεύθυνση κίνησης του σώματος, τότε η προβολή της ταχύτητας του σώματος στον άξονα OX είναι αρνητική, η ταχύτητα είναι μικρότερη από μηδέν (v x = x 0 - vt

Εξάρτηση ταχύτητας, συντεταγμένων και διαδρομής από το χρόνο

Η εξάρτηση της προβολής της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο φαίνεται στο Σχ. 1.11. Δεδομένου ότι η ταχύτητα είναι σταθερή (v = const), το γράφημα ταχύτητας είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα χρόνου Ot.

Ρύζι. 1.11. Εξάρτηση της προβολής της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Η προβολή της κίνησης στον άξονα συντεταγμένων είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του ορθογωνίου OABC (Εικ. 1.12), αφού το μέγεθος του διανύσματος κίνησης είναι ίσο με το γινόμενο του διανύσματος ταχύτητας και το χρόνο κατά τον οποίο έγινε η κίνηση έκανε.

Ρύζι. 1.12. Εξάρτηση της προβολής της μετατόπισης του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Ένα γράφημα της μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο φαίνεται στο Σχ. 1.13. Το γράφημα δείχνει ότι η προβολή της ταχύτητας είναι ίση με

V = s 1 / t 1 = tan α όπου α είναι η γωνία κλίσης της γραφικής παράστασης προς τον άξονα του χρόνου. Όσο μεγαλύτερη είναι η γωνία α, τόσο πιο γρήγορα κινείται το σώμα, δηλαδή τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητά του (τόσο μεγαλύτερη είναι η απόσταση που διανύει το σώμα σε λιγότερο χρόνο). Η εφαπτομένη της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συντεταγμένης συναρτήσει του χρόνου είναι ίση με την ταχύτητα: tg α = v

Ρύζι. 1.13. Εξάρτηση της προβολής της μετατόπισης του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Η εξάρτηση της συντεταγμένης από το χρόνο φαίνεται στο Σχ. 1.14. Από το σχήμα είναι σαφές ότι

Tg α 1 > tan α 2 επομένως, η ταχύτητα του σώματος 1 είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του σώματος 2 (v 1 > v 2). tg α 3 = v 3 Εάν το σώμα βρίσκεται σε ηρεμία, τότε το γράφημα συντεταγμένων είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου, δηλαδή x = x 0

Ρύζι. 1.14. Εξάρτηση των συντεταγμένων του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Ορισμός

Ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση είναι η κίνηση με σταθερή ταχύτητα, στην οποία δεν υπάρχει επιτάχυνση και η τροχιά της κίνησης είναι ευθεία γραμμή.

Η ταχύτητα της ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης δεν εξαρτάται από το χρόνο και σε κάθε σημείο της τροχιάς κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως η κίνηση του σώματος. Δηλαδή, το διάνυσμα μετατόπισης συμπίπτει ως προς την κατεύθυνση με το διάνυσμα της ταχύτητας. Σε αυτήν την περίπτωση, η μέση ταχύτητα για οποιαδήποτε χρονική περίοδο είναι ίση με τη στιγμιαία ταχύτητα: $\left\langle v\right\rangle =v$

Ορισμός

Η ταχύτητα της ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης είναι ένα φυσικό διανυσματικό μέγεθος ίσο με τον λόγο της κίνησης του σώματος $\overrightarrow(S)$ για οποιαδήποτε χρονική περίοδο προς την τιμή αυτού του διαστήματος t:

$$\overrightarrow(v)=\frac(\overrightarrow(S))(t)$$

Έτσι, η ταχύτητα της ομοιόμορφης ευθύγραμμης κίνησης δείχνει πόση κίνηση κάνει ένα υλικό σημείο ανά μονάδα χρόνου.

Η μετατόπιση κατά την ομοιόμορφη γραμμική κίνηση καθορίζεται από τον τύπο:

$$ \overrightarrow(S) = \overrightarrow(v) \cdot t $$

Η απόσταση που διανύθηκε κατά την ευθύγραμμη κίνηση είναι ίση με τη μονάδα μετατόπισης. Εάν η θετική κατεύθυνση του άξονα OX συμπίπτει με την κατεύθυνση της κίνησης, τότε η προβολή της ταχύτητας στον άξονα OX είναι ίση με το μέγεθος της ταχύτητας και είναι θετική: $v_x = v$, δηλαδή $v $> $ 0 $

Η προβολή της μετατόπισης στον άξονα OX είναι ίση με: $s = v_t = x - x0$

όπου $x_0$ είναι η αρχική συντεταγμένη του σώματος, $x$ είναι η τελική συντεταγμένη του σώματος (ή η συντεταγμένη του σώματος ανά πάσα στιγμή)

Η εξίσωση της κίνησης, δηλαδή η εξάρτηση των συντεταγμένων του σώματος από το χρόνο $x = x(t)$, έχει τη μορφή: $x = x_0 + v_t$

Εάν η θετική κατεύθυνση του άξονα OX είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος, τότε η προβολή της ταχύτητας του σώματος στον άξονα OX είναι αρνητική, η ταχύτητα είναι μικρότερη από το μηδέν ($v $

Η εξάρτηση της προβολής της ταχύτητας του σώματος από το χρόνο φαίνεται στο Σχ. 1. Εφόσον η ταχύτητα είναι σταθερή ($v = const$), το γράφημα ταχύτητας είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα χρόνου Ot.

Ρύζι. 1. Εξάρτηση της προβολής της ταχύτητας ενός σώματος από τον χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Η προβολή της κίνησης στον άξονα συντεταγμένων είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδόν του ορθογωνίου OABC (Εικ. 2), αφού το μέγεθος του διανύσματος κίνησης είναι ίσο με το γινόμενο του διανύσματος ταχύτητας και το χρόνο κατά τον οποίο έγινε η κίνηση έκανε.

Ρύζι. 2. Εξάρτηση της προβολής της μετατόπισης του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Ένα γράφημα της μετατόπισης σε σχέση με το χρόνο φαίνεται στο Σχ. 3. Από το γράφημα είναι σαφές ότι η προβολή της ταχύτητας στον άξονα Ot είναι αριθμητικά ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της γραφικής παράστασης στον άξονα του χρόνου:

Ρύζι. 3. Εξάρτηση της προβολής της μετατόπισης του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Η εξάρτηση της συντεταγμένης από το χρόνο φαίνεται στο Σχ. 4. Από το σχήμα είναι σαφές ότι

tg $\alpha $1 $>$ tg $\alpha $2, επομένως, η ταχύτητα του σώματος 1 είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του σώματος 2 (v1 $>$ v2).

tg $\alpha $3 = v3 $

Ρύζι. 4. Εξάρτηση των συντεταγμένων του σώματος από το χρόνο για ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Εάν το σώμα βρίσκεται σε ηρεμία, τότε το γράφημα συντεταγμένων είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα του χρόνου, δηλαδή x = x0

Πρόβλημα 1

Δύο τρένα κινούνται το ένα προς το άλλο σε παράλληλες ράγες. Η ταχύτητα του πρώτου τρένου είναι 10 μέτρα ανά δευτερόλεπτο, το μήκος του πρώτου τρένου είναι 500 μέτρα. Η ταχύτητα του δεύτερου τρένου είναι 30 μέτρα ανά δευτερόλεπτο, το μήκος του δεύτερου τρένου είναι 300 μέτρα. Προσδιορίστε πόσο χρόνο θα πάρει το δεύτερο τρένο για να περάσει το πρώτο.

Δίνεται: $v_1$=10 m/s; $v_2$=30 m/s; $L_1$=500 m; $L_2$=300 m

Βρείτε: t --- ?

Ο χρόνος που θα χρειαστούν τα τρένα για να περάσουν το ένα το άλλο μπορεί να προσδιοριστεί διαιρώντας το συνολικό μήκος των τρένων με τη σχετική ταχύτητά τους. Η ταχύτητα του πρώτου τρένου σε σχέση με το δεύτερο καθορίζεται από τον τύπο v= v1+v2 Στη συνέχεια ο τύπος για τον προσδιορισμό του χρόνου παίρνει τη μορφή: $t=\frac(L_1+L_2)(v_1+v_2)=\frac(500 +300)(10+30)= 20\c$

Απάντηση: Το δεύτερο τρένο θα περάσει το πρώτο μέσα σε 20 δευτερόλεπτα.

Πρόβλημα 2

Προσδιορίστε την ταχύτητα της ροής του ποταμού και την ταχύτητα του σκάφους σε στάσιμα νερά, εάν είναι γνωστό ότι το σκάφος διανύει απόσταση 300 χιλιομέτρων κατάντη σε 4 ώρες και έναντι του ρεύματος σε 6 ώρες.

Δόθηκαν: $L$=300000 m; $t_1$=14400 s; $t_2$=21600 s

Εύρεση: $v_p$ - ?; $v_k$ - ?

Η ταχύτητα του σκάφους κατά μήκος του ποταμού σε σχέση με την ακτή είναι $v_1=v_k+v_p$ και σε σχέση με την τρέχουσα $v_2=v_k-v_p$. Ας γράψουμε τον νόμο της κίνησης και για τις δύο περιπτώσεις:

Έχοντας λύσει τις εξισώσεις για vp και vk, λαμβάνουμε τύπους για τον υπολογισμό της ταχύτητας της ροής του ποταμού και της ταχύτητας του σκάφους.

Ταχύτητα ροής ποταμού: $v_p=\frac(L\left(t_2-t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\left(21600-14400\right))(2\φορές 14400\times 21600)=3 .47\ m/s$

Ταχύτητα σκάφους: $v_к=\frac(L\αριστερά(t_2+t_1\right))(2t_1t_2)=\frac(300000\αριστερά(21600+14400\δεξιά))(2\ φορές 14400\ φορές 21600)=17, 36\ m/s$

Απάντηση: η ταχύτητα του ποταμού είναι 3,47 μέτρα ανά δευτερόλεπτο, η ταχύτητα του σκάφους είναι 17,36 μέτρα ανά δευτερόλεπτο.

Για να εκτελέσετε υπολογισμούς ταχυτήτων και επιταχύνσεων, είναι απαραίτητο να περάσετε από τη γραφή εξισώσεων σε διανυσματική μορφή στη σύνταξη εξισώσεων σε αλγεβρική μορφή.

Αρχική ταχύτητα και διανύσματα επιτάχυνσης μπορεί να έχει διαφορετικές κατευθύνσεις, επομένως η μετάβαση από τη διανυσματική στην αλγεβρική γραφή των εξισώσεων μπορεί να είναι πολύ απαιτητική.

Είναι γνωστό ότι η προβολή του αθροίσματος δύο διανυσμάτων σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων είναι ίση με το άθροισμα των προβολών των αθροισμάτων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

Γράφημα ταχύτητας

Από την εξ.
έπεται ότι η γραφική παράσταση της προβολής της ταχύτητας της ομοιόμορφα επιταχυνόμενης κίνησης έναντι του χρόνου είναι ευθεία γραμμή. Εάν η προβολή της αρχικής ταχύτητας στον άξονα ΟΧ είναι μηδέν, τότε η ευθεία διέρχεται από την αρχή.

Κύριοι τύποι κίνησης

ΕΝΑ n = 0, ένα  = 0 – ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση.

ΕΝΑ n = 0, ένα  = συνθ– ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση.

ΕΝΑ n = 0, ένα   0 – ευθύγραμμο με μεταβλητή επιτάχυνση.

ΕΝΑ n = συνθ, ένα  = 0 – ομοιόμορφη γύρω από την περιφέρεια

ΕΝΑ n = συνθ, ένα  = συνθ– ομοιόμορφα μεταβλητή γύρω από την περιφέρεια

ΕΝΑ n  συνθ, ένα   συνθ– καμπυλόγραμμη με μεταβλητή επιτάχυνση.

Περιστροφική κίνηση άκαμπτου σώματος.

Περιστροφική κίνηση άκαμπτου σώματος σε σχέση με σταθερό άξονα - μια κίνηση στην οποία όλα τα σημεία ενός άκαμπτου σώματος περιγράφουν κύκλους των οποίων τα κέντρα βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που ονομάζεται άξονα περιστροφής.

Ομοιόμορφη κίνηση γύρω από έναν κύκλο

Ας εξετάσουμε τον απλούστερο τύπο περιστροφικής κίνησης και ας δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην κεντρομόλο επιτάχυνση.

Με ομοιόμορφη κίνηση σε κύκλο, η τιμή της ταχύτητας παραμένει σταθερή και η κατεύθυνση του διανύσματος ταχύτητας αλλαγές κατά την κίνηση.

Από την ομοιότητα των τριγώνων OAB και BCD προκύπτει

Αν το χρονικό διάστημα Δt είναι μικρό, τότε μικρή είναι και η γωνία . Σε μικρές τιμές της γωνίας , το μήκος της χορδής ΑΒ είναι περίπου ίσο με το μήκος του τόξου ΑΒ, δηλ.
. Επειδή
,
, τότε παίρνουμε

.

Επειδή η
, τότε παίρνουμε

Περίοδος και συχνότητα

Η χρονική περίοδος κατά την οποία ένα σώμα κάνει μια πλήρη περιστροφή όταν κινείται σε κύκλο ονομάζεται περιόδους κυκλοφορίας (Τ). Επειδή η περιφέρεια είναι ίση με 2  R, περίοδος περιστροφής για ομοιόμορφη κίνηση σώματος με ταχύτητα v σε κύκλο ακτίνας Rισούται με:

Το ανταποδοτικό της περιόδου της επανάστασης λέγεται συχνότητα. Η συχνότητα δείχνει πόσες στροφές κάνει ένα σώμα σε έναν κύκλο ανά μονάδα χρόνου:

(s -1)