إذا كانت قاعدة اللوغاريتم أقل من 1. عدم المساواة اللوغاريتمية - هايبر ماركت المعرفة
عدم المساواة اللوغاريتمية
في الدروس السابقة ، تعرفنا على المعادلات اللوغاريتمية والآن نعرف ماهيتها وكيفية حلها. وسيخصص درس اليوم لدراسة التفاوتات اللوغاريتمية. ما هي هذه المتباينات وما هو الفرق بين حل معادلة لوغاريتمية وعدم المساواة؟
المتباينات اللوغاريتمية هي متباينات لها متغير تحت علامة اللوغاريتم أو في قاعدته.
أو ، يمكن للمرء أيضًا أن يقول إن اللوغاريتمية المتباينة هي عدم مساواة تكون فيها قيمتها غير المعروفة ، كما في المعادلة اللوغاريتمية ، تحت علامة اللوغاريتم.
تبدو أبسط المتباينات اللوغاريتمية كما يلي:
حيث f (x) و g (x) هي بعض التعبيرات التي تعتمد على x.
لننظر إلى هذا باستخدام المثال التالي: f (x) = 1 + 2x + x2، g (x) = 3x − 1.
حل المتباينات اللوغاريتمية
قبل حل التفاوتات اللوغاريتمية ، تجدر الإشارة إلى أنه عندما يتم حلها ، فإنها تشبه عدم المساواة الأسية ، وهي:
أولاً ، عند الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم ، نحتاج أيضًا إلى مقارنة أساس اللوغاريتم بواحد ؛
ثانيًا ، عند حل متباينة لوغاريتمية باستخدام تغيير المتغيرات ، نحتاج إلى حل المتباينات بالنسبة للتغيير حتى نحصل على أبسط متباينة.
لكننا نحن من أخذنا بعين الاعتبار اللحظات المماثلة لحل المتباينات اللوغاريتمية. الآن دعونا نلقي نظرة على اختلاف كبير إلى حد ما. أنا وأنت نعلم أن الوظيفة اللوغاريتمية لها مجال تعريف محدود ، لذلك عند الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات التي تقع تحت علامة اللوغاريتم ، يجب أن تأخذ في الاعتبار نطاق القيم المقبولة (ODV).
أي أنه يجب ألا يغيب عن البال أنه عند حل معادلة لوغاريتمية ، يمكننا أولاً إيجاد جذور المعادلة ، ثم التحقق من هذا الحل. لكن حل المتباينة اللوغاريتمية لن يعمل بهذه الطريقة ، نظرًا لأن الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم ، سيكون من الضروري كتابة ODZ للمتباينة.
بالإضافة إلى ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن نظرية عدم المساواة تتكون من أرقام حقيقية ، وهي أرقام موجبة وسالبة ، بالإضافة إلى الرقم 0.
على سبيل المثال ، عندما يكون الرقم "a" موجبًا ، يجب استخدام الرمز التالي: a> 0. في هذه الحالة ، سيكون كل من مجموع هذه الأرقام ومنتجها موجبًا أيضًا.
يتمثل المبدأ الأساسي لحل أي متباينة في استبدالها بأبسط متباينة ، لكن الشيء الرئيسي هو أنها تعادل المتباينة المعطاة. علاوة على ذلك ، حصلنا أيضًا على متباينة واستبدلناها مرة أخرى بأخرى ذات شكل أبسط ، وهكذا.
لحل المتباينات باستخدام متغير ، عليك إيجاد جميع حلوله. إذا كان لاثنين من المتباينات نفس المتغير x ، فإن هذه المتباينات تكون متكافئة بشرط أن تكون حلولها متطابقة.
عند تنفيذ مهام لحل التفاوتات اللوغاريتمية ، من الضروري أن نتذكر أنه عندما تكون a> 1 ، تزداد الدالة اللوغاريتمية ، وعندما تكون 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
طرق لحل المتباينات اللوغاريتمية
لنلقِ الآن نظرة على بعض الطرق التي تستخدم لحل المتباينات اللوغاريتمية. من أجل فهم واستيعاب أفضل ، سنحاول فهمها باستخدام أمثلة محددة.
نعلم أن أبسط متباينة لوغاريتمية لها الشكل التالي:
في عدم المساواة هذا ، V - هي واحدة من علامات عدم المساواة مثل:<,>أو ≤ أو ≥.
عندما يكون أساس هذا اللوغاريتم أكبر من واحد (أ> 1) ، مما يجعل الانتقال من اللوغاريتمات إلى التعبيرات تحت علامة اللوغاريتم ، ثم في هذا الإصدار يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة ، وستبدو عدم المساواة كما يلي:
وهو ما يعادل النظام التالي:
في الحالة التي يكون فيها أساس اللوغاريتم أكبر من الصفر وأقل من واحد (0 هذا يعادل هذا النظام: لنلق نظرة على مزيد من الأمثلة لحل أبسط المتباينات اللوغاريتمية الموضحة في الصورة أدناه: يمارس.دعنا نحاول حل هذه المتباينة: قرار مجال القيم المقبولة. لنحاول الآن ضرب جانبه الأيمن في: دعونا نرى ما يمكننا القيام به: الآن ، دعنا ننتقل إلى تحويل التعبيرات الفرعية. بما أن أساس اللوغاريتم هو 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8> 16 ؛ ومن هذا فإن الفترة التي حصلنا عليها تنتمي بالكامل إلى ODZ وهي حل لمثل هذه المتباينة. ها هي الإجابة التي حصلنا عليها: الآن دعنا نحاول تحليل ما نحتاجه لحل المتباينات اللوغاريتمية بنجاح؟ أولاً ، ركز كل انتباهك وحاول ألا ترتكب أخطاءً عند إجراء التحولات الواردة في عدم المساواة هذه. أيضًا ، يجب أن نتذكر أنه عند حل مثل هذه التفاوتات ، من الضروري منع التوسعات والتضيقات في عدم المساواة في منطقة ODZ ، والتي يمكن أن تؤدي إلى فقدان أو الحصول على حلول دخيلة. ثانيًا ، عند حل التفاوتات اللوغاريتمية ، تحتاج إلى تعلم التفكير المنطقي وفهم الفرق بين مفاهيم مثل نظام عدم المساواة ومجموعة من عدم المساواة ، بحيث يمكنك بسهولة اختيار الحلول لعدم المساواة ، مع الاسترشاد بالـ DHS. ثالثًا ، من أجل حل مثل هذه التفاوتات بنجاح ، يجب على كل واحد منكم أن يعرف جيدًا جميع خصائص الوظائف الأولية وأن يفهم معناها بوضوح. لا تشمل هذه الوظائف اللوغاريتمية فحسب ، بل تشمل أيضًا القوة المنطقية والقوة المثلثية وما إلى ذلك ، في كلمة واحدة ، كل تلك التي درستها أثناء الجبر المدرسي. كما ترى ، بعد دراسة موضوع عدم المساواة اللوغاريتمية ، لا يوجد شيء صعب في حل هذه التفاوتات ، بشرط أن تكون منتبهًا ومثابرًا في تحقيق أهدافك. حتى لا توجد مشاكل في حل عدم المساواة ، تحتاج إلى التدريب قدر الإمكان ، وحل المهام المختلفة وفي نفس الوقت حفظ الطرق الرئيسية لحل مثل هذه التفاوتات وأنظمتها. مع الحلول غير الناجحة لعدم المساواة اللوغاريتمية ، يجب عليك تحليل أخطائك بعناية حتى لا تعود إليها مرة أخرى في المستقبل. لاستيعاب الموضوع بشكل أفضل وتوحيد المادة التي تمت تغطيتها ، قم بحل التفاوتات التالية: من بين مجموعة كاملة من عدم المساواة اللوغاريتمية ، يتم دراسة عدم المساواة مع قاعدة متغيرة بشكل منفصل. يتم حلها وفقًا لصيغة خاصة ، والتي نادرًا ما يتم تدريسها في المدرسة لسبب ما: سجل ك (س) و (س) ∨ السجل ك (س) ز (س) ⇒ (و (س) - ز (س)) (ك (س) - 1) ∨ 0 بدلاً من الغراب "∨" ، يمكنك وضع أي علامة عدم مساواة: أكثر أو أقل. الشيء الرئيسي هو أن العلامات في كلا التفاوتين هي نفسها. لذلك نتخلص من اللوغاريتمات ونختزل المشكلة إلى متباينة عقلانية. هذا الأخير أسهل في الحل ، ولكن عند التخلص من اللوغاريتمات ، قد تظهر جذور إضافية. لقطعها ، يكفي العثور على نطاق القيم المسموح بها. إذا نسيت ODZ للوغاريتم ، فإنني أوصي بشدة بتكرارها - راجع "ما هو اللوغاريتم". يجب كتابة كل ما يتعلق بنطاق القيم المقبولة وحلها بشكل منفصل: و (خ)> 0 ؛ ز (خ)> 0 ؛ ك (خ)> 0 ؛ ك (س) ≠ 1. تشكل هذه التفاوتات الأربعة نظامًا ويجب تحقيقها في وقت واحد. عندما يتم العثور على نطاق القيم المقبولة ، يبقى عبوره مع حل المتباينة المنطقية - والإجابة جاهزة. مهمة. حل المتباينة: أولاً ، لنكتب ODZ للوغاريتم: يتم تنفيذ المتباينتين الأوليين تلقائيًا ، ويجب كتابة المتباينة الأخيرة. نظرًا لأن مربع الرقم يساوي صفرًا فقط إذا كان الرقم نفسه صفرًا ، فلدينا: × 2 + 1 1 ؛ اتضح أن ODZ للوغاريتم هو جميع الأرقام باستثناء الصفر: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0 ؛ + ∞). الآن نحل مشكلة عدم المساواة الرئيسية: نقوم بالانتقال من المتباينة اللوغاريتمية إلى المتباينة المنطقية. في المتباينة الأصلية توجد علامة "أقل من" ، لذلك يجب أن تكون عدم المساواة الناتجة أيضًا بعلامة "أقل من". لدينا: (10 - (× 2 + 1)) (× 2 + 1 - 1)< 0; أصفار هذا التعبير: x = 3 ؛ س = -3 ؛ x = 0. علاوة على ذلك ، x = 0 هو جذر التعددية الثانية ، مما يعني أنه عند المرور عبرها ، لا تتغير إشارة الوظيفة. لدينا: نحصل على x ∈ (−∞ −3) ∪ (3 ؛ + ∞). هذه المجموعة مضمنة بالكامل في ODZ للوغاريتم ، مما يعني أن هذه هي الإجابة. غالبًا ما تختلف المتباينة الأصلية عن المتباينة أعلاه. من السهل إصلاح ذلك وفقًا للقواعد القياسية للعمل مع اللوغاريتمات - راجع "الخصائص الأساسية للوغاريتمات". يسمى: بشكل منفصل ، أود أن أذكرك بمدى القيم المقبولة. نظرًا لأنه قد يكون هناك العديد من اللوغاريتمات في المتباينة الأصلية ، فمن الضروري إيجاد DPV لكل منها. وبالتالي ، فإن المخطط العام لحل التفاوتات اللوغاريتمية هو كما يلي: مهمة. حل المتباينة: أوجد مجال التعريف (ODZ) للوغاريتم الأول: نحل بطريقة الفاصل. إيجاد أصفار البسط: 3 س - 2 = 0 ؛ ثم - أصفار المقام: س - 1 = 0 ؛ نحدد الأصفار وعلامات على سهم الإحداثيات: نحصل على x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1 ؛ + ∞). سيكون اللوغاريتم الثاني لـ ODZ هو نفسه. إذا كنت لا تصدقني ، يمكنك التحقق. الآن نقوم بتحويل اللوغاريتم الثاني بحيث يكون الأساس اثنان: كما ترى ، تقلصت الثلاثيات في القاعدة وقبل اللوغاريتم. احصل على لوغاريتمين لهما نفس القاعدة. دعونا نجمعها معًا: سجل 2 (x - 1) 2< 2; لقد حصلنا على المتباينة اللوغاريتمية القياسية. نتخلص من اللوغاريتمات بالصيغة. نظرًا لوجود علامة أقل من في المتباينة الأصلية ، يجب أيضًا أن يكون التعبير المنطقي الناتج أقل من صفر. لدينا: (و (س) - ز (س)) (ك (س) - 1)< 0; حصلنا على مجموعتين: يبقى عبور هذه المجموعات - نحصل على الإجابة الحقيقية: نحن مهتمون بتقاطع المجموعات ، لذلك نختار الفواصل الزمنية المظللة على كلا السهمين. نحصل على x ∈ (−1 ؛ 2/3) ∪ (1 ؛ 3) - يتم ثقب جميع النقاط. تسمى المتباينة اللوغاريتمية إذا كانت تحتوي على دالة لوغاريتمية. لا تختلف طرق حل المتباينات اللوغاريتمية عنها فيما عدا شيئين. أولاً ، عند الانتقال من عدم المساواة اللوغاريتمية إلى عدم المساواة في الدوال اللوغاريتمية الفرعية ، يتبع ذلك اتبع علامة عدم المساواة الناتجة. إنه يخضع للقاعدة التالية. إذا كانت قاعدة الدالة اللوغاريتمية أكبر من $ 1 $ ، فعند الانتقال من المتباينة اللوغاريتمية إلى متباينة الدوال اللوغاريتمية الفرعية ، يتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة ، وإذا كانت أقل من $ 1 ، يتم عكسها. ثانيًا ، حل أي متباينة هو فترة ، وبالتالي ، في نهاية حل عدم المساواة في الدوال اللوغاريتمية الفرعية ، من الضروري تكوين نظام من متراجعتين: أول عدم مساواة في هذا النظام ستكون عدم المساواة في الدوال اللوغاريتمية الفرعية ، والثاني سيكون الفاصل الزمني لمجال تعريف الدوال اللوغاريتمية المتضمنة في المتباينة اللوغاريتمية. لنحل المتباينات: 1.
$ \ log_ (2) ((x + 3)) geq 3. $ $ D (ص): \ x + 3> 0. $ $ x \ in (-3؛ + \ infty) $ أساس اللوغاريتم هو $ 2> 1 $ ، لذلك لا تتغير العلامة. باستخدام تعريف اللوغاريتم ، نحصل على: $ x + 3 \ geq 2 ^ (3) ، $ x $ في)
حل الأمثلة
3x> 24 ؛
x> 8. 
ما هو المطلوب لحل التفاوتات اللوغاريتمية؟
العمل في المنزل
× 2 ≠ 0 ؛
س ≠ 0.
(9 - × 2) × 2< 0;
(3 - س) (3 + س) × 2< 0.
تحويل عدم المساواة اللوغاريتمية
س = 2/3.
س = 1.
سجل 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .
((x - 1) 2-2 2) (2-1)< 0;
× 2 - 2 × + 1 - 4< 0;
× 2 - 2 × - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
س ∈ (−1 ؛ 3).
يمارس.
