المعادلة الأساسية للديناميكيات. المعادلة العامة للديناميكيات. مثال على حل المشكلة المعادلة العامة للديناميكيات في القوى المعممة

باستخدام مبدأ دالمبيرت (الجزء الثالث الديناميكيات)، من الممكن إعطاء معادلات الحركة شكل معادلات التوازن إذا أضيفت قوى القصور الذاتي إلى القوى النشطة (المعطاة) والسلبية (رد فعل القيد).

يجب أن يكون هناك SMT مع اتصالات تقييدية ومثالية. بعد ذلك، لكل MT المدرجة في MMT، وفقًا لمبدأ D’Alembert، يمكننا أن نكتب:

من خلال إبلاغ MTs المضمنة في حركات SMT الافتراضية
، اضرب كل من المعادلات (3.1) بما يقابلها
, (=1,2,…,n) وأضف التعبيرات الناتجة:

.

وبما أن التوصيلات المفروضة على MMT مثالية، فقد تحققت الشروط (1.12) ومن العلاقة السابقة نحصل على المعادلة العامة للديناميكيات.

المعادلة العامة للديناميكيات هي معادلة دالمبرت-لاجرانج:

عندما يتحرك SMT مع تقييد واتصالات مثالية، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المؤثرة على نقاط SMT وقوى القصور الذاتي المطبقة عليها بشكل مشروط عند أي إزاحة افتراضية هو صفر:

. (3.2)

يمكن أيضًا تمثيل معادلة الديناميكيات العامة على النحو التالي:

(3.3)

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه في حالة التوصيلات المقيدة وغير المثالية، فإن معادلة الديناميكيات العامة ستأخذ الشكل:

, (3.4)

أين القوى السلبية – قوى رد الفعل ذات الروابط غير المثالية.

مبدأ الإزاحات الافتراضية هو حالة خاصة من المعادلة العامة للديناميكيات (في حالة توازن SMT، قوة القصور الذاتي
).

3.2. معادلات حركة SMT في الإحداثيات المعممة - معادلات لاغرانج من النوع الثاني

من المعادلة العامة للديناميكيات (العلاقات (3.2)، (3.3)) يمكن استخلاص المعادلات التفاضلية لحركة SMT في الإحداثيات المعممة، تمامًا كما تم اشتقاق شروط توازن SMT في الإحداثيات المعممة (2.6) من المبدأ من النزوح الظاهري (2.1).

نستخدم الصيغة التالية لمعادلة الديناميكيات العامة:

.(3.5)

لنفرض قيودًا كلية وحصرية ومثالية على النظرية النقدية الحديثة، التي لديها  درجات من الحرية. دعونا نقدم  الإحداثيات المعممة q  (=1,...,) ونعبر من خلالها عن متجه نصف القطر لـ -th MT بنفس الطريقة التي تم تقديمها في الصيغة (1.13):

,
.

وبتغيير هذه النسبة نحصل على:

,
. (3.6)

باستبدال العلاقة (3.6) بالعلاقة (3.5) وتغيير ترتيب الجمع، نحصل على:

. (3.7)

منذ كل شيء
مستقلة وتعسفية، فلا يمكن تحقيق المساواة (3.7) إلا عندما يكون كل من المعاملات عند يساوي صفراً فنجد:

.

نكتب نظام المعادلات هذا بالصيغة:

.
(3.8)

يمثل الجانب الأيمن من العلاقة (3.8) القوة المعممة (الصيغة (1.16)) المقابلة للإحداثيات المعممة
:

.
(3.9)

دعونا نحول التعبير الموجود في الجانب الأيسر من العلاقة (3.8) على النحو التالي:

(3.10)

بالنظر إلى أن متجه نصف القطر للـ -th MT يعتمد على الزمن t بطريقة معقدة، نحصل على التعبير التالي لسرعة حركته:

, (3.11)

أين
– تسمى السرعة العامة ( = 1, 2,…, ).

منذ المضاعفات ( = 1, 2,…, ) تعتمد فقط على الإحداثيات المعممة والزمن t (ولا تعتمد على السرعات المعممة)، مع التمييز بين الجانبين الأيمن والأيسر للعلاقة (3.11) بالسرعة المعممة ، نصل إلى العلاقة:

. (3.12)

دعونا نجد المشتقة الجزئية للسرعة على طول الإحداثيات المعممة مع الأخذ في الاعتبار أن الإحداثيات المعممة تدخل في الجانب الأيمن من المساواة (3.11) من خلال معاملات السرعات المعممة:

. (3.13)

اشتقاق جزئي يعتمد على التوقيت بشكل صريح ومن خلال الإحداثيات المعممة , (
). وبحساب المشتقة الزمنية الكلية للمشتقة الجزئية نجد:

. (3.14)

وبمقارنة الأطراف اليمنى من التعبيرين (3.13) و(3.14)، نلاحظ ذلك

. (3.15)

وبالعودة إلى الصيغة (3.10) واستبدال المتطابقتين (3.12) و (3.15) نحصل على:

.

معتبرا أن

و

دعونا نختصر المساواة الأخيرة إلى النموذج:

يتم تحديد الطاقة الحركية لـ SMT (ديناميكيات الجزء 3) بالصيغة:

,

ثم (3.16) سوف يأخذ النموذج:

. (3.17)

باستبدال التعبيرات (3.9) و (3.17) في المعادلتين (3.7) نحصل على:

. (3.18)

المعادلات (3.18) هيالمعادلات التفاضلية لحركة SMT في الإحداثيات المعممة.تسمى هذه المعادلاتمعادلات لاغرانج للثانية نوعا ما.

وفي ظل وجود قيود هولونية مفروضة على النظام، فإن عدد معادلات لاغرانج من النوع الثاني يساوي عدد الإحداثيات المعممة المستقلة، أي عدد درجات الحرية لهذا النظام الهولونومي.

يجب أولاً التعبير عن الطاقة الحركية للنظام، عند استبدالها في هذه المعادلات، كدالة للسرعات المعممة والإحداثيات . ستكون هذه دالة تربيعية للسرعات المعممة ، والتي قد تتضمن معاملاتها إحداثيات معممة (في حالات معينة، يمكن أن تكون الطاقة الحركية دالة تربيعية للسرعات ذات معاملات ثابتة). القوى المعممة ويمكن أيضًا أن تكون، في الحالة العامة، وظائف للإحداثيات المعممة ، والسرعات .وهكذا في الإعراب , و قد تشمل الإحداثيات المعممة ومشتقاتها . ولذلك في التعبير
سيتم تضمين المشتقات الثانية . وبالتالي فإن معادلات لاغرانج من النوع الثاني (3.18) هي معادلات تفاضلية عادية من الدرجة الثانية فيما يتعلق بالإحداثيات المعممة
.

المزايا الرئيسية لمعادلات لاغرانج من النوع الثاني (3.18) هي كما يلي. أولاً، إنها توفر طريقة موحدة وبسيطة جدًا لحل مشكلات الديناميكيات لأي SMT متحرك بشكل تعسفي مع اتصالات شاملة. ثانياً، لا يعتمد عدد المعادلات (3.18) على عدد MTs المضمنة في MMT ويساوي عدد درجات حرية النظام (في الآلات والآليات والأجهزة عادة ما تكون واحدة أو اثنتين ونادراً أكثر من درجتين من الحرية). ثالث، يتم عرض القوى والعزوم المؤثرة على النظام هنا في شكل قوى معممة، والتي تشمل القوى والعزوم النشطة فقط، ويتم استبعاد جميع ردود أفعال الارتباطات المثالية تلقائيًا من المعادلات. وتفسر هذه المزايا الاستخدام الواسع النطاق لمعادلات لاغرانج من النوع الثاني في جميع العلوم التقنية وفي عدد من فروع الفيزياء.

يمكن أيضًا استخدام معادلات لاغرانج من النوع الثاني في الحالات التي يتم فيها فرض قيود غير مثالية على النظام، على سبيل المثال، أدوات التوصيل ذات الاحتكاك المنزلق والمتدحرج. في هذه الحالة، يتم تضمين قوى ولحظات الاتصالات غير المثالية في عدد القوى واللحظات النشطة.

دعونا الآن نكتب المعادلات (3.18) للSMTs الهولومية المحافظة. في هذه الحالة، القوى المعممة يمكن التعبير عنها من حيث الطاقة المحتملة لـ SMT:

,

وبالتالي فإن المعادلات (3.17) ستكون بالشكل التالي:

,
(3.19)

مع الأخذ في الاعتبار أن الطاقة الكامنة للنظام تعتمد على الإحداثيات المعممة
لا يعتمد على السرعات المعممة
, يمكننا تبسيط شكل المعادلة (3.19):

.
(3.20)

دعونا نقدم مفهوم الإمكانات الحركية (وتسمى أيضًا وظيفة لاغرانج):

ل ك = تي - ف،

فيمكن كتابة المعادلات (3.20) بالصيغة:

.
(3.21)

المعادلات (3.21) هي معادلات لاغرانج من النوع الثاني للأنظمة المحافظة.

المعادلة العامة للديناميكيات هي:

أين - القوى النشطة المطبقة على النظام؛

-وزن ك -النقطة؛

-التسريع ك -النقطة؛

الحركة الافتراضية ك -النقطة.

توضح المعادلة (3.10) أنه في أي لحظة زمنية ثابتة، يكون مجموع الأعمال الأولية للقوى النشطة وقوى القصور الذاتي على أي إزاحة افتراضية يساوي الصفر، بشرط فرض اتصالات مثالية وتقييدية على النظام.

من الخصائص المهمة للمعادلة العامة للديناميكيات أنها لا تحتوي على تفاعلات اتصالات مثالية. في بعض الأحيان يمكن استخدام هذه المعادلة لدراسة حركة الأنظمة الميكانيكية وفي الحالات التي لا تكون فيها جميع التوصيلات مثالية، على سبيل المثال، عندما تكون هناك اتصالات مع الاحتكاك. للقيام بذلك، من الضروري إضافة إلى القوى النشطة تلك المكونات من ردود الفعل التي يسببها وجود قوى الاحتكاك.

يتم حساب مجموع عمل قوى القصور الذاتي على الإزاحات الافتراضية لجسم صلب باستخدام الصيغ التالية.

1. عندما يتحرك الجسم للأمام:

أين
- المتجه الرئيسي لقوى القصور الذاتي في الجسم ( م - كتلة الجسم، - تسارع مركز الكتلة)،

- الحركة الافتراضية لمركز كتلة الجسم.

2. عندما يدور جسم حول محور ثابت:

أين
- لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لمحور الدوران ( - لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة لمحور الدوران،  - التسارع الزاوي للجسم)

- الحركة الزاوية الافتراضية للجسم.

3. مع حركة الطائرة الموازية:

أين
- لحظة القصور الذاتي للجسم بالنسبة للمحور الذي يمر بمركز الكتلة مع جثث.

هناك حالة خاصة من المعادلة العامة للديناميكيات وهي مبدأ الإزاحة الافتراضية (المعادلة العامة للإحصائيات). في الواقع، في الحالة التي يكون فيها النظام الميكانيكي في حالة سكون، فإن جميع قوى القصور الذاتي تساوي الصفر، ويتبع مبدأ الإزاحات الافتراضية من المعادلة العامة للديناميكيات: لكي يكون النظام الميكانيكي الذي تُفرض عليه اتصالات مثالية في حالة سكون التوازن، من الضروري والكافي أن يكون مجموع العمل الأولي لجميع القوى النشطة المطبقة على النظام قيد النظر على أي من إزاحاته الافتراضية يساوي الصفر

(3.11)

دعونا نفكر في إجراء استخدام المعادلة (3.10) لتجميع المعادلات التفاضلية للحركة للأنظمة ذات درجتين من الحرية:

1. ارسم نظامًا ميكانيكيًا عند نقطة زمنية عشوائية.

2. أظهر في الشكل القوى واللحظات النشطة، وكذلك القوى واللحظات المقابلة للارتباطات غير المثالية (على سبيل المثال، قوى الاحتكاك).

3. تحديد المتجهات الرئيسية والعزوم الرئيسية لقوى القصور الذاتي.

4. حدد الإحداثيات المعممة بعدد يساوي عدد درجات حرية النظام.

5. افترض أن الإزاحة الافتراضية المقابلة لإحدى درجات حرية النظام، مع اعتبار الإزاحة الافتراضية المقابلة لدرجات الحرية المتبقية مساوية للصفر.

6. احسب مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى والعزوم (انظر الفقرتين 2 و 3) على الإزاحات الافتراضية المقابلة ومساواة هذا المجموع بالصفر.

7. كرر الخطوات من 4 إلى 6 لكل حركة مستقلة للنظام.

عند تطبيق المعادلة العامة للديناميكيات على الأنظمة ذات درجتين أو أكثر من درجات الحرية، بسبب الحسابات المرهقة، يمكن استخدام التوصيات التالية:

1. قم بوضع افتراض حول اتجاه تسارع نقاط النظام.

2. وجه قوى القصور الذاتي المبينة في الشكل في الاتجاهات المعاكسة للاتجاهات المختارة للتسارعات المقابلة.

3. تحديد علامات الأعمال الأولية لقوى القصور الذاتي وفقاً لاتجاهاتها في الشكل والاتجاهات المختارة للحركات الافتراضية لنقاط النظام.

4. إذا كانت التسارعات المطلوبة موجبة فإن الفرضيات التي تم وضعها حول اتجاهات التسارع تتأكد، وإذا كانت سلبية فإن التسارعات المقابلة لها تتجه في الاتجاه الآخر.

من خلال تطبيق مبدأ دالمبرت ومبدأ الإزاحات المحتملة معًا على نظام متحرك، يمكننا استخلاص النتيجة التالية: عندما يتحرك نظام ما، تُفرض عليه اتصالات مثالية، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى المعطاة المؤثرة على النظام وقوى القصور الذاتي للنقاط المادية للنظام تساوي الصفر لأي نظام إزاحة محتمل من الموضع الذي يشغله في أي لحظة معينة.

ويتم التعبير عن هذه النتيجة بإحدى المعادلات التالية:

أو منذ ذلك الحين

أو في شكل تنسيق

تسمى المعادلة (242) أو (243) أو (244) بالمعادلة العامة للديناميكيات (معادلة دالمبيرت - لاغرانج).

في هذا القسم سننظر في المشاكل من نوعين:

I. المشاكل التي يكون من الضروري فيها تحديد شروط التوازن النسبي للنظام.

ثانيا. المشاكل التي من الضروري فيها تحديد تسارع النقاط في النظام.

في مشاكل كل من هذه الأنواع، يمكن النظر في الأنظمة ذات درجة واحدة أو أكثر من درجات الحرية.

مشاكل النوع الأول (مشاكل 925-929، 935-939)

مثال 182. يتكون منظم الطرد المركزي (الشكل 220) من كرتين ويزن كل منهما، ويمكن إهمال أبعادهما. يتم تثبيت الكرات على نهايات رافعات مستطيلة الشكل ذات دعامات مفصلية وعلى عارضة متصلة دائمًا بمحور المنظم. يتم الضغط على القابض D للأسفل بواسطة زنبرك، وعلى الجانب الآخر يتم دعمه بواسطة بكرات أذرع المنظم. حدد صلابة الزنبرك إذا كانت زاوية انحراف القضبان CA ومن العمودي، عند سرعة زاوية ثابتة معينة، تساوي . المسافات معطاة: وطول الربيع غير المشوه. ارتفاع الاقتران هو .

حل. نضع محاور الإحداثيات كما هو موضح في الشكل. 220.

القوى المحددة المؤثرة على النظام هي أوزان الكرات وأدوات التوصيل، بالإضافة إلى القوة المرنة للزنبرك، حيث k هو تشوه (ضغط) الزنبرك. بالإضافة إلى ذلك، عند النقاط A، سنطبق قوى القصور الذاتي الطاردة المركزية، حيث R هي المسافة من مركز كل كرة إلى محور الدوران y.

بناءً على معادلة دالمبرت-لاجرانج، فإن مجموع الشغل الذي تبذله كل هذه القوى لأي حركة محتملة للنظام هو صفر. لذلك، باستخدام التعبير التحليلي للعمل الابتدائي، لدينا

مبدأ الحركات الممكنة: لتحقيق توازن نظام ميكانيكي مع اتصالات مثالية، من الضروري والكافي أن يكون مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المؤثرة عليه لأي إزاحة محتملة يساوي الصفر. أو في الإسقاطات : .

يوفر مبدأ الإزاحات المحتملة بشكل عام شروط التوازن لأي نظام ميكانيكي ويوفر طريقة عامة لحل المشكلات الساكنة.

إذا كان النظام يتمتع بعدة درجات من الحرية، فإنه يتم تجميع معادلة مبدأ الحركات الممكنة لكل حركة من الحركات المستقلة على حدة، أي: سيكون هناك عدد من المعادلات بقدر ما يتمتع النظام بدرجات الحرية.

يعد مبدأ الإزاحات المحتملة مناسبًا لأنه عند النظر في نظام ذي اتصالات مثالية، لا يتم أخذ ردود أفعالهم بعين الاعتبار ومن الضروري العمل فقط مع القوى النشطة.

تمت صياغة مبدأ الحركات المحتملة على النحو التالي:

من أجل الأم. النظام الخاضع للاتصالات المثالية يكون في حالة سكون، ومن الضروري والكافي أن يكون مجموع الشغل الأولي الذي تؤديه القوى النشطة على الإزاحات المحتملة للنقاط في النظام موجبًا

المعادلة العامة للديناميكيات - عندما يتحرك نظام باستخدام اتصالات مثالية في أي لحظة زمنية معينة، فإن مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة المطبقة وجميع قوى القصور الذاتي على أي حركة محتملة للنظام سيكون مساوياً للصفر. تستخدم المعادلة مبدأ الإزاحات المحتملة ومبدأ دالمبرت وتسمح لك بتكوين معادلات تفاضلية لحركة أي نظام ميكانيكي. يعطي طريقة عامة لحل المشاكل الديناميكية.

تسلسل التجميع:

أ) يتم تطبيق القوى المحددة المؤثرة عليه على كل جسم، كما يتم أيضًا تطبيق قوى ولحظات أزواج قوة القصور الذاتي بشكل مشروط؛

ب) إبلاغ النظام بالتحركات المحتملة؛

ج) وضع معادلات لمبدأ الحركات الممكنة، مع الأخذ في الاعتبار أن النظام في حالة توازن.

تجدر الإشارة إلى أن المعادلة العامة للديناميكيات يمكن تطبيقها أيضًا على الأنظمة ذات التوصيلات غير المثالية، فقط في هذه الحالة يجب تصنيف تفاعلات التوصيلات غير المثالية، مثل قوة الاحتكاك أو عزم الاحتكاك المتدحرج، كقوى فعالة .

يتم البحث عن العمل على الإزاحة المحتملة لكل من القوى النشطة والقصور الذاتي بنفس طريقة العمل الأولي على الإزاحة الفعلية:

العمل المحتمل للقوة: .

العمل المحتمل للحظة (زوج القوة): .

الإحداثيات المعممة للنظام الميكانيكي هي معلمات q 1 , q 2 , ..., q S، مستقلة عن بعضها البعض، من أي بعد، والتي تحدد بشكل فريد موقع النظام في أي وقت.

عدد الإحداثيات المعممة يساوي س - عدد درجات حرية النظام الميكانيكي. يمكن دائمًا التعبير عن موضع كل نقطة ν للنظام، أي متجه نصف القطر، في الحالة العامة، كدالة للإحداثيات المعممة:

تبدو المعادلة العامة للديناميكيات في الإحداثيات المعممة وكأنها نظام من معادلات S كما يلي:

;

;

……..………. ;

(25)

………..……. ;

,

هنا هي القوة المعممة المقابلة للإحداثيات المعممة:

(26)

a هي قوة القصور الذاتي المعممة المقابلة للإحداثيات المعممة:

يُطلق على عدد الحركات المحتملة المستقلة للنظام عدد درجات حرية هذا النظام. على سبيل المثال. يمكن للكرة الموجودة على المستوى أن تتحرك في أي اتجاه، ولكن أي حركة محتملة لها يمكن الحصول عليها كمجموع هندسي لحركتين على طول محورين متعامدين بشكل متبادل. الجسم الصلب الحر له 6 درجات حرية.

القوى المعممة.لكل إحداثيات معممة يمكن حساب القوة المعممة المقابلة س ك.

يتم الحساب وفقا لهذه القاعدة.

لتحديد القوة المعممة س ك، الموافق للإحداثيات المعممة س ك، تحتاج إلى إعطاء هذا الإحداثي زيادة (زيادة الإحداثيات بهذا المقدار)، وترك جميع الإحداثيات الأخرى دون تغيير، وحساب مجموع عمل جميع القوى المطبقة على النظام على الإزاحات المقابلة للنقاط وتقسيمها على زيادة الإحداثيات:

(7)

أين هو النزوح أنا- تلك النقطة من النظام التي يتم الحصول عليها عن طريق التغيير ك-هذا الإحداثي المعمم.

يتم تحديد القوة المعممة باستخدام العمل الأولي. ولذلك، يمكن حساب هذه القوة بشكل مختلف:

وبما أن هناك زيادة في متجه نصف القطر بسبب زيادة الإحداثيات مع الإحداثيات الثابتة الأخرى والوقت ر، يمكن تعريف العلاقة على أنها مشتقة جزئية. ثم

حيث تكون إحداثيات النقاط دوال للإحداثيات المعممة (5).

إذا كان النظام محافظا، أي أن الحركة تحدث تحت تأثير القوى الميدانية المحتملة، والتي تكون توقعاتها، حيث وإحداثيات النقاط هي دوال للإحداثيات المعممة

القوة المعممة للنظام المحافظ هي المشتق الجزئي للطاقة الكامنة على طول الإحداثيات المعممة المقابلة بعلامة الطرح.

وبطبيعة الحال، عند حساب هذه القوة المعممة، ينبغي تحديد الطاقة الكامنة كدالة للإحداثيات المعممة

ف = ف( س 1 , س 2 , س 3 ,…,سؤال).

ملحوظات.

أولاً. عند حساب قوى رد الفعل المعممة، لا تؤخذ الاتصالات المثالية بعين الاعتبار.

ثانية. يعتمد بُعد القوة المعممة على بُعد الإحداثيات المعممة.

معادلات لاغرانج من النوع الثانيمشتقة من المعادلة العامة للديناميكيات في الإحداثيات المعممة. عدد المعادلات يتوافق مع عدد درجات الحرية:

(28)

لتجميع معادلة لاغرانج من النوع الثاني، يتم اختيار الإحداثيات المعممة وإيجاد السرعات المعممة . تم العثور على الطاقة الحركية للنظام، وهي دالة للسرعات المعممة , وفي بعض الحالات، الإحداثيات المعممة. يتم تنفيذ عمليات تمايز الطاقة الحركية التي توفرها الجوانب اليسرى من معادلات لاغرانج، وتُعادل التعبيرات الناتجة قوى معممة، لإيجادها، بالإضافة إلى الصيغ (26)، غالبًا ما يتم استخدام ما يلي عند حل المشكلات:

(29)

يوجد في البسط على الجانب الأيمن من الصيغة مجموع الأعمال الأولية لجميع القوى النشطة على الإزاحة المحتملة للنظام المقابلة لتغير الإحداثيات المعممة i - . ومع هذه الحركة المحتملة، لا تتغير جميع الإحداثيات المعممة الأخرى. المعادلات الناتجة هي معادلات تفاضلية لحركة النظام الميكانيكي س درجات الحرية.

مثال على حل مشكلة باستخدام المعادلة العامة للديناميكيات (مبدأ دالمبرت-لاغرانج) لنظام يحتوي على أجسام صلبة وأوزان وبكرات وكتلة متصلة بخيوط.

المهمة

يتكون النظام الميكانيكي من بكرات متدرجة موحدة 1 و 2 ملفوفة بخيوط، وأوزان 3-6 متصلة بهذه الخيوط، وكتلة عديمة الوزن. يتحرك النظام في مستوى عمودي تحت تأثير الجاذبية وزوج من القوى مع لحظة M = 10 نيوتن متر، مطبق على البكرة 1. نصف قطر خطوات البكرة 1 يساوي: R 1 = 0.2 م، ص 1 = 0.1 موالبكرة 2 - ر 2 = 0.3 م، ص 2 = 0.15 م; أنصاف أقطار الدوران بالنسبة إلى محاور الدوران تساوي ρ، على التوالي 1 = 0.1 مو ρ 2 = 0.2 م.

بإهمال الاحتكاك حدد تسارع الحمل 5. يتم إعطاء أوزان البكرات والأحمال: P 1 = 40 ن، ص 2 = 0 ، ص 3 = 0 ، ص 4 = 20 ن، ص 5 = 30 ن، ص 6 = 10 ن. الأحمال التي أوزانها صفر لا تظهر على الرسم.

ملحوظة. عند حل مشكلة استخدم المعادلة العامة للديناميكيات (مبدأ دالمبيرت - لاغرانج).

حل المشكلة

منح:ر 1 = 0.2 م، ص 1 = 0.1 م، ر 2 = 0.3 م، ص 2 = 0.15 م, ρ 1 = 0.1 م, ρ 2 = 0.2 م. ص 1 = 40 ن، ص 2 = 0 ، ص 3 = 0 ، ص 4 = 20 ن، ص 5 = 30 ن، ص 6 = 10 ن، م = 10 نيوتن متر.

يجد:أ 5 .

إقامة العلاقات الحركية

دعونا نقيم العلاقات الحركية. دع V 4 ، الخامس 5 ، الخامس 6 ،أ 4 ،أ 5 ،أ 6 ، δS 4 ، δS 5 ، δS 6 - السرعات والتسارع والحركات الصغيرة للأحمال 4,5 و 6. دع ω 1 , ω 2 , ε 1 , ε 2 , δφ 1 , δφ 2 - السرعات الزاوية والتسارع الزاوي وزوايا الدوران الصغيرة للبكرات 1 و 2.

سرعة حركة الخيط بين الأجسام 2 و 4 و 5:
. من هنا.
سرعة الخيط بين البكرات 1 و 2:
. من هنا
.
سرعة حركة الخيط بين الأجسام 1 و 6:
.

لذلك، وجدنا علاقة بين سرعات الأجسام.
;
;
.

وبما أن التسارع هو مشتقة من السرعات بالنسبة إلى الزمن،
ومن ثم، وبتمييز الصيغ السابقة بالنسبة للزمن، نجد العلاقة بين التسارعات:
;
;
.

وبما أن السرعات هي مشتقات من الحركات في الزمن، فإن نفس العلاقة موجودة بين الحركات المتناهية الصغر.
;
;
.

القوى الخارجية النشطة

دعونا نفكر في القوى الخارجية المؤثرة على النظام.
هذه هي قوى الجاذبية للأجسام P 1 = 40 ن، ص 4 = 20 ن، ص 5 = 30 نو ص 6 = 10 نموجهة نحو الأسفل؛
زوج من القوى مع العزم M = 10 نيوتن متر;
قوى الضغط المحورية N 1 ، ن 2 وN البكرات 1، 2 وكتلة انعدام الوزن؛
قوى رد الفعل N 4 و ن 6 ، تعمل على الأحمال من الأسطح المتعامدة مع هذه الأسطح.

قوى القصور الذاتي

سنحل هذه المشكلة باستخدام المعادلة العامة للديناميكيات، وتطبيق مبدأ دالمبيرت-لاجرانج. يكمن في حقيقة أننا نقدم أولاً قوى القصور الذاتي. بعد إدخال قوى القصور الذاتي، تتحول مشكلة الديناميكيات إلى مشكلة الاستاتيكا. أي أننا بحاجة إلى إيجاد قوى قصورية مجهولة حتى يكون النظام في حالة توازن. لقد قمنا بحل مشكلة الإحصائيات هذه باستخدام مبدأ دالمبيرت. أي أننا نعتقد أن النظام قام بحركة صغيرة. وفي حالة الاتزان، يكون مجموع الشغل الذي تبذله جميع القوى أثناء هذه الحركة يساوي صفرًا.

لذلك، في المرحلة الأولى نحن إدخال قوى القصور الذاتي. وللقيام بذلك، نفترض أن النظام يتحرك بتسارع غير محدد حتى الآن. أي أن البكرتين 1 و2 تدوران بتسارع زاوي ε 1 و ε 2 ، على التوالى؛ الأحمال 4،5 و6 تؤدي حركة انتقالية مع التسارع أ 4 ،أ 5 و أ 6 ، على التوالى. هناك اتصالات بين هذه التسارعات التي وجدناها سابقًا. أي أنه يمكن التعبير عن كل هذه التسارعات بتسارع واحد أ 5 . يتم تعريف قوى القصور الذاتي بحيث تكون مساوية في الحجم ومعاكسة في الاتجاه لتلك القوى (وعزوم القوى) التي من شأنها، وفقًا لقوانين الديناميكيات، أن تخلق التسارع المتوقع (في غياب القوى الأخرى).

نحدد الوحدات (القيم المطلقة) للقوى ولحظات القصور الذاتي ونعبر عنها من خلال أ 5 .
اسمحوا أن تكون جماهير الهيئات؛
- عزم القصور الذاتي للبكرة 1.
عزم القصور الذاتي المؤثر على البكرة 1:
.
قوى القصور الذاتي المؤثرة على الأحمال 4 و5 و6:
;
;
.

نصور في الرسم قوى القصور الذاتي مع مراعاة أن اتجاهاتها معاكسة للتسارع.

تطبيق المعادلة العامة للديناميكيات

نعطي النظام إزاحة متناهية الصغر. دع الحمل 5 يتحرك مسافة صغيرة δS 5 . ثم زاوية الدوران δφ 1 البكرة 1 والإزاحة δS 4 و δS 6 يتم تحديد الأحمال 4 و 6 باستخدام العلاقات الحركية المنشأة مسبقًا. وبما أن الخيوط غير قابلة للتمدد، فإنها لا تقوم بأي عمل أثناء هذه الحركة. وهذا يعني أن النظام لديه اتصالات مثالية. لذلك يمكننا تطبيق معادلة الديناميكيات العامة:
,
والتي بموجبها مجموع عمل جميع القوى النشطة وقوى القصور الذاتي أثناء هذه الحركة يساوي الصفر.

تحديد مجموع عمل القوى النشطة الخارجية وقوى القصور الذاتي

الشغل الذي تقوم به القوة عند تحريك نقطة تطبيقها بإزاحة صغيرة يساوي حاصل الضرب القياسي للمتجهات، أي حاصل ضرب القيم المطلقة للمتجهين F وds في جيب تمام الزاوية الواقعة بينهما هم.

يتم حساب الشغل المبذول بواسطة عزم الدوران بالمثل:
.

نحدد عمل جميع القوى النشطة وقوى القصور الذاتي. بما أن مراكز محاور البكرات 1، 2 والكتلة عديمة الوزن لا تتحرك، فإن القوى P 1 ، ن 1 ، ن 2 وN لا تفعل العمل. منذ القوات N 4 و ن 6 تكون متعامدة مع حركات الحملين 4 و 6، فإن هذه القوى أيضًا لا تبذل شغلًا.

نجد مجموع الشغل الذي تبذله القوى النشطة المتبقية وقوى القصور الذاتي.

.
نستبدل تعبيرات قوى القصور الذاتي ونطبق العلاقات الحركية.

.
تقليل بمقدار δS 5 وتحويل.

.
استبدال القيم العددية.

;
;