Αν η βάση του λογαρίθμου είναι μικρότερη από 1. Λογαριθμικές ανισότητες - Υπεραγορά γνώσης
Λογαριθμικές ανισότητες
Σε προηγούμενα μαθήματα, γνωρίσαμε τις λογαριθμικές εξισώσεις και τώρα ξέρουμε ποιες είναι και πώς να τις λύσουμε. Και το σημερινό μάθημα θα είναι αφιερωμένο στη μελέτη των λογαριθμικών ανισοτήτων. Ποιες είναι αυτές οι ανισώσεις και ποια είναι η διαφορά μεταξύ της επίλυσης μιας λογαριθμικής εξίσωσης και των ανισώσεων;
Οι λογαριθμικές ανισώσεις είναι ανισώσεις που έχουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου ή στη βάση του.
Ή, μπορεί επίσης να πει κανείς ότι μια λογαριθμική ανισότητα είναι μια ανισότητα στην οποία η άγνωστη τιμή της, όπως στη λογαριθμική εξίσωση, θα βρίσκεται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου.
Οι απλούστερες λογαριθμικές ανισώσεις μοιάζουν με αυτό:
όπου f(x) και g(x) είναι κάποιες εκφράσεις που εξαρτώνται από το x.
Ας το δούμε χρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων
Πριν λύσουμε λογαριθμικές ανισώσεις, αξίζει να σημειωθεί ότι όταν επιλύονται, είναι παρόμοιες με τις εκθετικές ανισώσεις, δηλαδή:
Πρώτον, όταν μετακινούμαστε από λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, πρέπει επίσης να συγκρίνουμε τη βάση του λογάριθμου με ένα.
Δεύτερον, όταν λύνουμε μια λογαριθμική ανισότητα χρησιμοποιώντας μια αλλαγή μεταβλητών, πρέπει να λύσουμε ανισώσεις ως προς τη μεταβολή μέχρι να πάρουμε την απλούστερη ανισότητα.
Αλλά ήμασταν εμείς που εξετάσαμε τις παρόμοιες στιγμές επίλυσης λογαριθμικών ανισοτήτων. Τώρα ας δούμε μια αρκετά σημαντική διαφορά. Εσείς και εγώ γνωρίζουμε ότι η λογαριθμική συνάρτηση έχει περιορισμένο πεδίο ορισμού, επομένως όταν μετακινείστε από λογάριθμους σε εκφράσεις που βρίσκονται κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, πρέπει να λάβετε υπόψη το εύρος των αποδεκτών τιμών (ODV).
Δηλαδή, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι όταν λύνουμε μια λογαριθμική εξίσωση, μπορούμε πρώτα να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης και στη συνέχεια να ελέγξουμε αυτή τη λύση. Αλλά η επίλυση της λογαριθμικής ανισότητας δεν θα λειτουργήσει κατ' αυτόν τον τρόπο, αφού μεταβαίνοντας από τους λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, θα χρειαστεί να γράψουμε το ODZ της ανισότητας.
Επιπλέον, αξίζει να θυμηθούμε ότι η θεωρία των ανισώσεων αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι είναι θετικοί και αρνητικοί αριθμοί, καθώς και από τον αριθμό 0.
Για παράδειγμα, όταν ο αριθμός "a" είναι θετικός, τότε πρέπει να χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός: a > 0. Σε αυτήν την περίπτωση, τόσο το άθροισμα όσο και το γινόμενο αυτών των αριθμών θα είναι επίσης θετικά.
Η βασική αρχή της επίλυσης μιας ανισότητας είναι η αντικατάστασή της με μια απλούστερη ανισότητα, αλλά το κυριότερο είναι να είναι ισοδύναμη με τη δεδομένη. Επιπλέον, λάβαμε επίσης μια ανισότητα και την αντικαταστήσαμε ξανά με μια που έχει απλούστερη μορφή και ούτω καθεξής.
Επιλύοντας ανισότητες με μια μεταβλητή, πρέπει να βρείτε όλες τις λύσεις της. Αν δύο ανισώσεις έχουν την ίδια μεταβλητή x, τότε αυτές οι ανισώσεις είναι ισοδύναμες, με την προϋπόθεση ότι οι λύσεις τους είναι ίδιες.
Κατά την εκτέλεση εργασιών για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων, είναι απαραίτητο να θυμάστε ότι όταν a > 1, τότε η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται και όταν 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Τρόποι επίλυσης λογαριθμικών ανισώσεων
Τώρα ας δούμε μερικές από τις μεθόδους που λαμβάνουν χώρα κατά την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων. Για καλύτερη κατανόηση και αφομοίωση, θα προσπαθήσουμε να τα κατανοήσουμε χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.
Γνωρίζουμε ότι η απλούστερη λογαριθμική ανισότητα έχει την ακόλουθη μορφή:
Σε αυτήν την ανισότητα, το V - είναι ένα από αυτά τα σημάδια ανισότητας όπως:<,>, ≤ ή ≥.
Όταν η βάση αυτού του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη από ένα (a>1), κάνοντας τη μετάβαση από τους λογάριθμους σε εκφράσεις κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου, τότε σε αυτήν την έκδοση διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας και η ανισότητα θα μοιάζει με αυτό:
που ισοδυναμεί με το ακόλουθο σύστημα:
Στην περίπτωση που η βάση του λογαρίθμου είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και μικρότερη από ένα (0 Αυτό είναι ισοδύναμο με αυτό το σύστημα: Ας δούμε περισσότερα παραδείγματα επίλυσης των απλούστερων λογαριθμικών ανισώσεων που φαίνονται στην παρακάτω εικόνα: Ασκηση.Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτήν την ανισότητα: Η απόφαση της περιοχής των αποδεκτών αξιών. Τώρα ας προσπαθήσουμε να πολλαπλασιάσουμε τη δεξιά πλευρά του επί: Ας δούμε τι μπορούμε να κάνουμε: Τώρα, ας προχωρήσουμε στον μετασχηματισμό των υπολογαριθμικών παραστάσεων. Αφού η βάση του λογάριθμου είναι 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Και από αυτό προκύπτει ότι το διάστημα που λάβαμε ανήκει εξ ολοκλήρου στο ODZ και είναι μια λύση σε μια τέτοια ανισότητα. Εδώ είναι η απάντηση που πήραμε: Τώρα ας προσπαθήσουμε να αναλύσουμε τι χρειαζόμαστε για να λύσουμε με επιτυχία λογαριθμικές ανισότητες; Αρχικά, εστιάστε όλη σας την προσοχή και προσπαθήστε να μην κάνετε λάθη όταν εκτελείτε τους μετασχηματισμούς που δίνονται σε αυτή την ανισότητα. Επίσης, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι κατά την επίλυση τέτοιων ανισοτήτων, είναι απαραίτητο να αποτραπούν οι επεκτάσεις και οι στενώσεις της ανισότητας ODZ, οι οποίες μπορούν να οδηγήσουν στην απώλεια ή την απόκτηση εξωτερικών λύσεων. Δεύτερον, όταν λύνετε λογαριθμικές ανισότητες, πρέπει να μάθετε να σκέφτεστε λογικά και να κατανοείτε τη διαφορά μεταξύ εννοιών όπως ένα σύστημα ανισώσεων και ένα σύνολο ανισοτήτων, ώστε να μπορείτε να επιλέξετε εύκολα λύσεις σε μια ανισότητα, ενώ καθοδηγείτε από το DHS του. Τρίτον, για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοιες ανισότητες, ο καθένας από εσάς πρέπει να γνωρίζει πολύ καλά όλες τις ιδιότητες των στοιχειωδών συναρτήσεων και να κατανοεί σαφώς τη σημασία τους. Τέτοιες συναρτήσεις περιλαμβάνουν όχι μόνο λογαριθμικές, αλλά και ορθολογικές, ισχύς, τριγωνομετρικές κ.λπ., με μια λέξη, όλες εκείνες που μελετήσατε κατά τη σχολική άλγεβρα. Όπως μπορείτε να δείτε, έχοντας μελετήσει το θέμα των λογαριθμικών ανισοτήτων, δεν υπάρχει τίποτα δύσκολο στην επίλυση αυτών των ανισοτήτων, υπό την προϋπόθεση ότι είστε προσεκτικοί και επίμονοι στην επίτευξη των στόχων σας. Για να μην υπάρχουν προβλήματα στην επίλυση ανισοτήτων, πρέπει να εκπαιδεύσετε όσο το δυνατόν περισσότερο, λύνοντας διάφορες εργασίες και ταυτόχρονα να απομνημονεύσετε τους κύριους τρόπους επίλυσης τέτοιων ανισοτήτων και των συστημάτων τους. Με ανεπιτυχείς λύσεις σε λογαριθμικές ανισότητες, θα πρέπει να αναλύσετε προσεκτικά τα λάθη σας, ώστε να μην επιστρέψετε ξανά σε αυτά στο μέλλον. Για καλύτερη αφομοίωση του θέματος και εμπέδωση της ύλης που καλύπτει, λύστε τις παρακάτω ανισότητες: Μεταξύ όλης της ποικιλίας των λογαριθμικών ανισώσεων, οι ανισώσεις με μεταβλητή βάση μελετώνται χωριστά. Επιλύονται σύμφωνα με έναν ειδικό τύπο, ο οποίος για κάποιο λόγο σπάνια διδάσκεται στο σχολείο: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0 Αντί για ένα jackdaw "∨", μπορείτε να βάλετε οποιοδήποτε σημάδι ανισότητας: περισσότερο ή λιγότερο. Το κυριότερο είναι ότι και στις δύο ανισότητες τα ζώδια είναι ίδια. Απαλλαγούμε λοιπόν από τους λογάριθμους και ανάγουμε το πρόβλημα σε μια ορθολογική ανισότητα. Το τελευταίο είναι πολύ πιο εύκολο να λυθεί, αλλά κατά την απόρριψη λογαρίθμων, μπορεί να εμφανιστούν επιπλέον ρίζες. Για να τα κόψετε, αρκεί να βρείτε το εύρος των αποδεκτών τιμών. Εάν ξεχάσατε το ODZ του λογάριθμου, συνιστώ ανεπιφύλακτα να το επαναλάβετε - δείτε "Τι είναι ο λογάριθμος". Όλα όσα σχετίζονται με το εύρος των αποδεκτών τιμών πρέπει να γράφονται και να επιλύονται ξεχωριστά: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Αυτές οι τέσσερις ανισότητες αποτελούν ένα σύστημα και πρέπει να εκπληρωθούν ταυτόχρονα. Όταν βρεθεί το εύρος των αποδεκτών τιμών, μένει να το διασχίσουμε με τη λύση μιας ορθολογικής ανισότητας - και η απάντηση είναι έτοιμη. Εργο. Λύστε την ανισότητα: Αρχικά, ας γράψουμε το ODZ του λογαρίθμου: Οι δύο πρώτες ανισότητες εκτελούνται αυτόματα και η τελευταία θα πρέπει να γραφτεί. Εφόσον το τετράγωνο ενός αριθμού είναι μηδέν αν και μόνο αν ο ίδιος ο αριθμός είναι μηδέν, έχουμε: x 2 + 1 ≠ 1; Αποδεικνύεται ότι το ODZ του λογάριθμου είναι όλοι οι αριθμοί εκτός από το μηδέν: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Τώρα λύνουμε την κύρια ανισότητα: Εκτελούμε τη μετάβαση από τη λογαριθμική ανισότητα στην ορθολογική. Στην αρχική ανισότητα υπάρχει ένα πρόσημο "λιγότερο από", επομένως η προκύπτουσα ανισότητα θα πρέπει επίσης να είναι με ένα πρόσημο "λιγότερο από". Εχουμε: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0; Μηδενικά αυτής της έκφρασης: x = 3; x = -3; x = 0. Επιπλέον, x = 0 είναι η ρίζα της δεύτερης πολλαπλότητας, που σημαίνει ότι κατά τη διέλευση από αυτήν, το πρόσημο της συνάρτησης δεν αλλάζει. Εχουμε: Παίρνουμε x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Αυτό το σύνολο περιέχεται πλήρως στο ODZ του λογαρίθμου, που σημαίνει ότι αυτή είναι η απάντηση. Συχνά η αρχική ανισότητα διαφέρει από την παραπάνω. Αυτό είναι εύκολο να διορθωθεί σύμφωνα με τους τυπικούς κανόνες για την εργασία με λογάριθμους - δείτε "Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων". Και συγκεκριμένα: Ξεχωριστά, θέλω να σας υπενθυμίσω το εύρος των αποδεκτών τιμών. Επειδή μπορεί να υπάρχουν αρκετοί λογάριθμοι στην αρχική ανισότητα, απαιτείται να βρεθεί το DPV καθενός από αυτούς. Έτσι, το γενικό σχήμα για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων έχει ως εξής: Εργο. Λύστε την ανισότητα: Βρείτε το πεδίο ορισμού (ODZ) του πρώτου λογάριθμου: Λύνουμε με τη μέθοδο του διαστήματος. Βρίσκοντας τα μηδενικά του αριθμητή: 3x − 2 = 0; Τότε - τα μηδενικά του παρονομαστή: x − 1 = 0; Σημειώνουμε μηδενικά και σημάδια στο βέλος συντεταγμένων: Παίρνουμε x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Ο δεύτερος λογάριθμος του ODZ θα είναι ο ίδιος. Αν δεν με πιστεύετε, μπορείτε να ελέγξετε. Τώρα μετασχηματίζουμε τον δεύτερο λογάριθμο έτσι ώστε η βάση να είναι δύο: Όπως μπορείτε να δείτε, οι τριάδες στη βάση και πριν από τον λογάριθμο έχουν συρρικνωθεί. Πάρτε δύο λογάριθμους με την ίδια βάση. Ας τα συνδυάσουμε: log 2 (x − 1) 2< 2; Λάβαμε την τυπική λογαριθμική ανισότητα. Απαλλαγούμε από τους λογάριθμους με τον τύπο. Εφόσον υπάρχει σύμβολο μικρότερο από την αρχική ανισότητα, η προκύπτουσα ορθολογική έκφραση πρέπει επίσης να είναι μικρότερη από το μηδέν. Εχουμε: (f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0; Έχουμε δύο σετ: Απομένει να διασχίσουμε αυτά τα σύνολα - παίρνουμε την πραγματική απάντηση: Μας ενδιαφέρει η τομή των συνόλων, επομένως επιλέγουμε τα διαστήματα που σκιάζονται και στα δύο βέλη. Παίρνουμε x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - όλα τα σημεία είναι τρυπημένα. Μια ανισότητα ονομάζεται λογαριθμική αν περιέχει μια λογαριθμική συνάρτηση. Οι μέθοδοι για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων δεν διαφέρουν εκτός από δύο πράγματα. Πρώτον, όταν περνάμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, ακολουθεί ακολουθήστε το πρόσημο της προκύπτουσας ανισότητας. Υπακούει στον ακόλουθο κανόνα. Εάν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από $1$, τότε όταν περνάμε από τη λογαριθμική ανισότητα στην ανισότητα των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, διατηρείται το πρόσημο της ανισότητας και αν είναι μικρότερο από $1$, τότε αντιστρέφεται. Δεύτερον, η λύση οποιασδήποτε ανισότητας είναι ένα διάστημα και, επομένως, στο τέλος της λύσης της ανισότητας των υπολογαριθμικών συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να συντεθεί ένα σύστημα δύο ανισώσεων: η πρώτη ανισότητα αυτού του συστήματος θα είναι η ανισότητα του υπολογαριθμικές συναρτήσεις και η δεύτερη θα είναι το διάστημα του πεδίου ορισμού των λογαριθμικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται στη λογαριθμική ανισότητα. Ας λύσουμε τις ανισότητες: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0,$ $x \in (-3;+\infty)$ Η βάση του λογάριθμου είναι $2>1$, οπότε το πρόσημο δεν αλλάζει. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του λογάριθμου, παίρνουμε: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in )
Λύση παραδειγμάτων
3x > 24;
x > 8. 
Τι χρειάζεται για την επίλυση λογαριθμικών ανισοτήτων;
Εργασία για το σπίτι
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Μετασχηματισμός λογαριθμικών ανισοτήτων
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Πρακτική.
