كيفية حساب التقدم الهندسي. المتوالية الهندسية. تقليل التقدم الهندسي بلا حدود

>> الرياضيات: التقدم الهندسي

لراحة القارئ ، يتبع هذا القسم بالضبط نفس الخطة التي اتبعناها في القسم السابق.

1. مفاهيم أساسية.

تعريف.يُطلق على التسلسل العددي ، الذي تختلف جميع أعضائه عن 0 ، ويتم الحصول على كل عضو ، بدءًا من الثاني ، من العضو السابق بضربه في نفس الرقم ، التقدم الهندسي. في هذه الحالة ، يسمى الرقم 5 مقام التقدم الهندسي.

وبالتالي ، فإن التقدم الهندسي هو تسلسل رقمي (ب ن) يعطى بشكل متكرر من خلال العلاقات

هل من الممكن ، بالنظر إلى تسلسل رقمي ، تحديد ما إذا كان تسلسلًا هندسيًا؟ يستطيع. إذا كنت مقتنعًا بأن نسبة أي عضو في التسلسل إلى العضو السابق ثابتة ، فسيكون لديك تقدم هندسي.
مثال 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
ب 1 = 1 ، ف = 3.

مثال 2

هذا هو التقدم الهندسي
مثال 3

هذا هو التقدم الهندسي
مثال 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

هذا تسلسل هندسي حيث ب 1 - 8 ، ف = 1.

لاحظ أن هذا التسلسل هو أيضًا تقدم حسابي (انظر المثال 3 من الفقرة 15).

مثال 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

هذا تقدم هندسي ، حيث ب 1 \ u003d 2 ، ف \ u003d -1.

من الواضح أن التقدم الهندسي هو تسلسل متزايد إذا كانت b 1> 0 ، q> 1 (انظر المثال 1) ، وتسلسل تنازلي إذا كان b 1> 0 ، 0< q < 1 (см. пример 2).

للإشارة إلى أن التسلسل (ب ن) هو تقدم هندسي ، فإن الترميز التالي يكون مناسبًا في بعض الأحيان:

يحل الرمز محل عبارة "التقدم الهندسي".
نلاحظ خاصية واحدة غريبة وفي نفس الوقت واضحة تمامًا للتقدم الهندسي:
إذا كان التسلسل هو تسلسل هندسي ، ثم تسلسل المربعات ، أي هو تطور هندسي.
في التدرج الهندسي الثاني ، الحد الأول يساوي a يساوي q 2.
إذا تجاهلنا كل الحدود التي تلي b n أسيًا ، فسنحصل على تقدم هندسي محدود
في الفقرات التالية من هذا القسم ، سننظر في أهم خصائص التقدم الهندسي.

2. صيغة الحد n من التقدم الهندسي.

ضع في اعتبارك التقدم الهندسي المقام ف. لدينا:

ليس من الصعب تخمين ذلك لأي رقم ن المساواة

هذه هي صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي.

تعليق.

إذا كنت قد قرأت الملاحظة المهمة من الفقرة السابقة وفهمتها ، فحاول إثبات الصيغة (1) عن طريق الاستقراء الرياضي ، تمامًا كما تم ذلك مع صيغة المصطلح التاسع للتقدم الحسابي.

دعونا نعيد كتابة صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي

وإدخال التدوين: نحصل على y \ u003d mq 2 ، أو بمزيد من التفصيل ،
يتم تضمين الوسيطة x في الأس ، لذلك تسمى هذه الوظيفة بالدالة الأسية. هذا يعني أنه يمكن اعتبار التقدم الهندسي كدالة أسية معطاة في المجموعة N من الأعداد الطبيعية. على التين. يوضح 96 أ رسمًا بيانيًا لوظيفة الشكل. 966 - الرسم البياني للوظيفة في كلتا الحالتين ، لدينا نقاط معزولة (مع abscissas x = 1 ، x = 2 ، x = 3 ، وما إلى ذلك) ملقاة على منحنى ما (كلا الشكلين يظهران نفس المنحنى ، ولكنهما يختلفان في موقعهما ويصوران في مقاييس مختلفة). هذا المنحنى يسمى الأس. سيتم مناقشة المزيد حول الدالة الأسية ورسمها البياني في مقرر الجبر للصف الحادي عشر.

دعنا نعود إلى الأمثلة 1-5 من الفقرة السابقة.

1) 1 ، 3 ، 9 ، 27 ، 81 ، .... هذا تسلسل هندسي ، حيث b 1 \ u003d 1، q \ u003d 3. لنقم بصياغة صيغة للمصطلح n
2) هذا تسلسل هندسي ، لنصوغ فيه الحد من رقم n

هذا هو التقدم الهندسي قم بتكوين صيغة الحد التاسع
4) 8 ، 8 ، 8 ، ... ، 8 ، .... هذا تسلسل هندسي ، حيث b 1 \ u003d 8 ، q \ u003d 1. لنقم بصياغة صيغة للمصطلح n
5) 2 ، -2 ، 2 ، -2 ، 2 ، -2 ، .... هذا تقدم هندسي ، فيه b 1 = 2 ، q = -1. قم بتكوين صيغة الحد التاسع

مثال 6

بالنظر إلى التقدم الهندسي

في جميع الحالات ، يعتمد الحل على صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي

أ) بوضع n = 6 في صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي ، نحصل عليه

ب) لدينا

منذ 512 \ u003d 2 9 ، نحصل على n - 1 \ u003d 9 ، n \ u003d 10.

د) لدينا

مثال 7

الفرق بين العضوين السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 48 ، ومجموع العضوين الخامس والسادس من التقدم هو أيضًا 48. ابحث عن العضو الثاني عشر من هذا التقدم.

المرحلة الأولى.رسم نموذج رياضي.

يمكن كتابة شروط المهمة باختصار على النحو التالي:

باستخدام صيغة العضو n من التقدم الهندسي ، نحصل على:
ثم الشرط الثاني من المسألة (ب 7 - ب 5 = 48) يمكن كتابته على شكل

يمكن كتابة الشرط الثالث من المسألة (ب 5 + ب 6 = 48) على هيئة

نتيجة لذلك ، نحصل على نظام من معادلتين بمتغيرين b 1 و q:

والذي ، إلى جانب الشرط 1) المكتوب أعلاه ، هو النموذج الرياضي للمشكلة.

المرحلة الثانية.

العمل مع النموذج المترجم. معادلة الأجزاء اليسرى من كلا المعادلتين في النظام ، نحصل على:

(لقد قسمنا طرفي المعادلة إلى التعبير ب 1 ف 4 ، والذي يختلف عن الصفر).

من المعادلة q 2 - q - 2 = 0 نجد q 1 = 2 ، q 2 = -1. استبدال القيمة q = 2 في المعادلة الثانية للنظام ، نحصل عليها
بالتعويض عن القيمة q = -1 في المعادلة الثانية للنظام ، نحصل على b 1 1 0 = 48 ؛ هذه المعادلة ليس لها حلول.

لذا ، ب 1 \ u003d 1 ، ف \ u003d 2 - هذا الزوج هو الحل لنظام المعادلات المترجمة.

يمكننا الآن كتابة التقدم الهندسي المعني: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، ....

المرحلة الثالثة.

الجواب على سؤال المشكلة. مطلوب لحساب ب 12. لدينا

الجواب: ب 12 = 2048.

3. صيغة مجموع أعضاء التقدم الهندسي المحدود.

يجب أن يكون هناك تقدم هندسي محدود

قم بالإشارة بواسطة S n إلى مجموع شروطها ، أي

لنشتق صيغة لإيجاد هذا المجموع.

لنبدأ بأبسط حالة ، عندما q = 1. ثم التقدم الهندسي b 1 ، b 2 ، b 3 ، ... ، bn يتكون من n أعداد تساوي b 1 ، أي التقدم هو ب 1 ، ب 2 ، ب 3 ، ... ، ب 4. مجموع هذه الأرقام هو nb 1.

دعنا الآن q = 1 لإيجاد S n نستخدم طريقة اصطناعية: لنقم ببعض تحويلات التعبير S n q. لدينا:

عند إجراء التحويلات ، استخدمنا أولاً تعريف التقدم الهندسي ، وفقًا لذلك (انظر السطر الثالث من التفكير) ؛ ثانيًا ، أضافوا وطرحوا سبب عدم تغيير معنى التعبير بالطبع (انظر السطر الرابع من التفكير) ؛ ثالثًا ، استخدمنا صيغة العضو رقم n للتقدم الهندسي:

من الصيغة (1) نجد:

هذه هي صيغة مجموع n من أعضاء التقدم الهندسي (للحالة عندما q = 1).

المثال 8

بالنظر إلى التقدم الهندسي المحدود

أ) مجموع أعضاء التقدم ؛ ب) مجموع مربعات شروطه.

ب) أعلاه (انظر ص 132) لاحظنا بالفعل أنه إذا تم تربيع جميع أعضاء التقدم الهندسي ، فسيتم الحصول على تسلسل هندسي مع العضو الأول ب 2 والمقام q 2. ثم سيتم حساب مجموع الفترات الستة للتقدم الجديد

المثال 9

أوجد الحد الثامن للتقدم الهندسي الذي من أجله

في الواقع ، لقد أثبتنا النظرية التالية.

التسلسل العددي هو تسلسل هندسي إذا وفقط إذا كان مربع كل من مصطلحاته ، باستثناء الأول (والأخير ، في حالة التسلسل المحدود) ، مساويًا لمنتج المصطلحات السابقة واللاحقة (خاصية مميزة للتقدم الهندسي).

درس وعرض تقديمي حول موضوع: "التسلسل الرقمي. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين ، لا تنسوا ترك تعليقاتكم وملاحظاتكم واقتراحاتكم! يتم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية وأجهزة المحاكاة في المتجر الإلكتروني "Integral" للصف التاسع
القوى والجذور وظائف ورسوم بيانية

يا رفاق ، اليوم سنتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

المتوالية الهندسية

مثال. 1،2،4،8،16 ... التقدم الهندسي ، حيث يكون العضو الأول مساوياً لواحد ، و $ q = 2 دولار.

مثال. 8،8،8،8 ... تسلسل هندسي يكون أول حد له ثمانية ،
و $ q = 1 دولار.

مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ثلاثة ،
و $ q = -1 دولار.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، $ q> 1 $ ،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $ b_ (1)> 0 $ ، 0 $ يُشار إلى التسلسل عادةً على النحو التالي: $ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n) ، ... $.

تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي ، إذا كان عدد العناصر في التقدم الهندسي محدودًا ، فإن التقدم يسمى التقدم الهندسي المحدود.

$ b_ (1) ، b_ (2) ، b_ (3) ، ... ، b_ (n-2) ، b_ (n-1) ، b_ (n) $.
لاحظ أنه إذا كان التسلسل عبارة عن تقدم هندسي ، فإن تسلسل تربيع الحدود هو أيضًا تقدم هندسي. التسلسل الثاني له الحد الأول $ b_ (1) ^ 2 $ والمقام $ q ^ 2 $.

صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي

دعنا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16 ... تسلسل هندسي يساوي حده الأول واحدًا ،
و $ q = 2 دولار.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.

مثال. 16،8،4،2،1،1 / 2 ... تسلسل هندسي ، مصطلحه الأول هو ستة عشر و $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

مثال. 8،8،8،8 ... تقدم هندسي حيث الحد الأول هو ثمانية و $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 دولارات.

مثال. 3 ، -3 ، 3 ، -3 ، 3 ... تقدم هندسي ، حده الأول هو ثلاثة و $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $ b_ (1) ، b_ (2) ، ... ، b_ (n) ، ... $.
أ) من المعروف أن $ b_ (1) = 6 ، q = 3 $. ابحث عن $ b_ (5) $.
ب) من المعروف أن $ b_ (1) = 6، q = 2، b_ (n) = 768 $. تجد n.
ج) من المعروف أن $ q = -2، b_ (6) = 96 $. ابحث عن $ b_ (1) $.
د) من المعروف أن $ b_ (1) = - 2، b_ (12) = 4096 $. ابحث عن q.

حل.
أ) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 دولار.
ب) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 دولار.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ منذ $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7 ؛ ن = 8 دولارات.
ج) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
د) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 دولار.

مثال. الفرق بين العضوين السابع والخامس للتقدم الهندسي هو 192 ، ومجموع العضوين الخامس والسادس من التقدم هو 192. أوجد العضو العاشر في هذا التقدم.

حل.
نعلم أن: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ و $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
نعلم أيضًا: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $ ؛ $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $ ؛ $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
ثم:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 دولار.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 دولار.
حصلنا على نظام المعادلات:
$ \ start (الحالات) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ end (الحالات) $.
معادلة ، تحصل معادلاتنا على:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 دولار.
حصلنا على حلين q: $ q_ (1) = 2، q_ (2) = - 1 $.
استبدل تباعا في المعادلة الثانية:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 دولارات.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $ b_ (1) = 4 ، q = 2 $.
لنجد المصطلح العاشر: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

لنفترض تقدمًا هندسيًا محدودًا: $ b_ (1)، b_ (2)، ...، b_ (n-1)، b_ (n) $.
دعنا نقدم الترميز لمجموع شروطه: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
في الحالة التي يكون فيها $ q = 1 $. جميع أعضاء التقدم الهندسي متساوون مع العضو الأول ، ومن ثم فمن الواضح أن $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
ضع في اعتبارك الآن الحالة $ q ≠ 1 $.
اضرب المبلغ أعلاه في q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
ملحوظة:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

حل.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 دولار.

مثال.
أوجد العضو الخامس في التقدم الهندسي المعروف: $ b_ (1) = - 3 $؛ $ b_ (n) = - 3072 $ ؛ $ S_ (ن) = - 4095 دولار.

حل.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 دولار.
$ q ^ (n-1) = 1024 دولارًا.
$ q ^ (n) = 1024q دولار.

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 دولار.
-4095 دولارًا أمريكيًا (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) دولار أمريكي.
-4095 دولار (q-1) = - 3 * (1024q-1) دولار.
1365 ك -1365 دولارًا = 1024 ك -1 دولار.
341Q = 1364 دولارًا أمريكيًا.
q دولار = 4 دولارات.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 دولار.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل من مصطلحاته مساويًا لمنتج الحدين المجاورين للتقدم. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود ، لا يتم استيفاء هذا الشرط للمدة الأولى والأخيرة.

يساوي مقياس أي عضو في التقدم الهندسي المتوسط ​​الهندسي للعضوين المجاورين له.

حل.
دعنا نستخدم الخاصية المميزة:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
4 س ^ 2 + 8 س + 4 = 3 س ^ 2 + 3 س + 6 س + 6 دولار.
$ x ^ 2-x-2 = 0 دولار.
$ x_ (1) = 2 $ و $ x_ (2) = - 1 $.
عوض بالتسلسل في التعبير الأصلي ، حلولنا:
مع $ x = 2 $ ، حصلنا على التسلسل: 4 ؛ 6 ؛ 9 هو تقدم هندسي مع $ q = 1.5 $.
مع $ x = -1 $ ، حصلنا على التسلسل: 1 ؛ 0 ؛ 0.
الإجابة: $ x = 2. $

مهام الحل المستقل

التقدم الهندسي هو متتالية عددية ، الحد الأول منها لا يساوي الصفر ، وكل حد تالي يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري. يُشار إلى التقدم الهندسي بالرمز b1 ، b2 ، b3 ، ... ، bn ، ...

خصائص التقدم الهندسي

نسبة أي حد للخطأ الهندسي إلى حده السابق تساوي نفس الرقم ، أي ، b2 / b1 = b3 / b2 = b4 / b3 = ... = bn / b (n-1) = b (n + 1) / مليار =…. هذا يتبع مباشرة من تعريف التقدم الحسابي. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي. عادةً ما يُشار إلى مقام التقدم الهندسي بالحرف q.

تتمثل إحدى طرق تعيين التقدم الهندسي في تعيين المصطلح الأول b1 والمقام للخطأ الهندسي q. على سبيل المثال ، b1 = 4 ، q = -2. هذان الشرطان يعطيان تقدمًا هندسيًا من 4 ، -8 ، 16 ، -32 ،….

إذا كانت q> 0 (q لا تساوي 1) ، فإن التقدم هو تسلسل رتيب. على سبيل المثال ، التسلسل ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، ... هو تسلسل متزايد بشكل رتيب (b1 = 2 ، q = 2).

إذا كان المقام q = 1 في الخطأ الهندسي ، فسيكون كل أعضاء التقدم الهندسي متساويين مع بعضهم البعض. في مثل هذه الحالات ، يُقال إن التقدم هو تسلسل ثابت.

صيغة العضو التاسع في التقدم

لكي يكون التسلسل العددي (bn) تسلسلاً هندسيًا ، من الضروري أن يكون كل من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، هو الوسط الهندسي للأعضاء المجاورة. أي أنه من الضروري تحقيق المعادلة التالية - (b (n + 1)) ^ 2 = bn * b (n + 2) ، لأي n> 0 ، حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.

صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي هي:

bn = b1 * q ^ (n-1) ، حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.

فكر في مثال بسيط:

في التقدم الهندسي b1 = 6، q = 3، n = 8 أوجد bn.

دعنا نستخدم صيغة العضو رقم n للتقدم الهندسي.

التقدم الهندسي هو نوع جديد من التسلسل الرقمي يجب أن نتعرف عليه. بالنسبة إلى التعارف الناجح ، لا يضر أن تعرف وتفهم على الأقل. ثم لن تكون هناك مشكلة في التقدم الهندسي.)

ما هو التقدم الهندسي؟ مفهوم التقدم الهندسي.

نبدأ الجولة ، كالعادة ، بالمرحلة الابتدائية. أكتب سلسلة غير مكتملة من الأرقام:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

هل يمكنك التقاط نمط وتحديد الأرقام التي ستذهب بعد ذلك؟ الفلفل واضح ، والأرقام 100000 و 1000000 وما إلى ذلك ستذهب إلى أبعد من ذلك. حتى بدون الكثير من الضغط النفسي ، كل شيء واضح ، أليس كذلك؟)

نعم. مثال آخر. أكتب التسلسل التالي:

1, 2, 4, 8, 16, …

هل يمكنك معرفة الأرقام التي ستنتقل بعد ذلك ، بعد الرقم 16 والاسم ثامنعضو تسلسل؟ إذا اكتشفت أنه سيكون الرقم 128 ، فهذا جيد جدًا. لذا ، نصف المعركة في الفهم معنىو النقاط الرئيسيةتم بالفعل التقدم الهندسي. يمكنك أن تنمو أكثر.)

والآن ننتقل مرة أخرى من الأحاسيس إلى الرياضيات الصارمة.

اللحظات الرئيسية للتقدم الهندسي.

اللحظة الأساسية # 1

التقدم الهندسي هو تسلسل الأرقام.كما هو التقدم. لا شيء صعب. فقط رتبت هذا التسلسل بشكل مختلف.ومن ثم ، بالطبع ، لها اسم آخر ، نعم ...

اللحظة الأساسية # 2

مع النقطة الرئيسية الثانية ، سيكون السؤال أكثر تعقيدًا. دعنا نعود قليلاً ونتذكر الخاصية الأساسية للتقدم الحسابي. ها هو: يختلف كل عضو عن السابق بنفس المقدار.

هل من الممكن صياغة خاصية مفتاح مشابهة للتقدم الهندسي؟ فكر قليلاً ... ألق نظرة على الأمثلة المقدمة. خمن؟ نعم! في تقدم هندسي (أي!) يختلف كل عضو من أعضائه عن السابق في نفس العدد من المرات.دائماً!

في المثال الأول ، هذا الرقم هو عشرة. أيًا كان حد التسلسل الذي تأخذه ، فهو أكبر من السابق عشرة مرات.

في المثال الثاني ، هذا اثنان: كل عضو أكبر من السابق. مرتين.

في هذه النقطة الأساسية يختلف التقدم الهندسي عن الحسابي. في التقدم الحسابي ، يتم الحصول على كل مصطلح تالي مضيفامن نفس القيمة إلى المصطلح السابق. و هنا - عمليه الضربالفترة السابقة بنفس المبلغ. هذا هو الفرق.)

اللحظة الأساسية # 3

هذه النقطة الأساسية مطابقة تمامًا لتلك الخاصة بالتقدم الحسابي. يسمى: كل عضو في التقدم الهندسي في مكانه.كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي ، وأعتقد أن التعليقات غير ضرورية. هناك المصطلح الأول ، وهناك المصطلح الأول ، ومائة ، وهكذا. دعنا نعيد ترتيب عضوين على الأقل - سيختفي النمط (ومعه التدرج الهندسي). ما تبقى هو مجرد سلسلة من الأرقام دون أي منطق.

هذا كل شئ. هذا هو بيت القصيد من التقدم الهندسي.

الشروط والتعيينات.

والآن ، بعد أن تعاملنا مع المعنى والنقاط الأساسية للتقدم الهندسي ، يمكننا الانتقال إلى النظرية. وإلا ما هي النظرية دون فهم المعنى ، أليس كذلك؟

ما هو التقدم الهندسي؟

كيف يتم كتابة التقدم الهندسي بعبارات عامة؟ لا مشكلة! يتم أيضًا كتابة كل عضو في التقدم كرسالة. للتقدم الحسابي فقط ، عادة ما يتم استخدام الحرف "أ"، للحرف الهندسي "ب". رقم عضوية، كالعادة ، يشار إليه الفهرس الأيمن السفلي. يتم ببساطة سرد أعضاء التقدم أنفسهم مفصولة بفواصل أو فاصلة منقوطة.

مثله:

ب 1 ،ب 2 , ب 3 , ب 4 , ب 5 , ب 6 , …

باختصار ، يتم كتابة هذا التقدم على النحو التالي: (ب ن) .

أو هكذا ، للتعاقب المحدود:

ب 1 ، ب 2 ، ب 3 ، ب 4 ، ب 5 ، ب 6.

ب 1 ، ب 2 ، ... ، ب 29 ، ب 30.

أو باختصار:

(ب ن), ن=30 .

هذا ، في الواقع ، هو كل التعيينات. كل شيء هو نفسه ، فقط الحرف مختلف ، نعم.) والآن ننتقل مباشرة إلى التعريف.

تعريف التقدم الهندسي.

التقدم الهندسي هو متتالية عددية ، الحد الأول منها ليس صفريًا ، وكل حد تالي يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري.

هذا هو التعريف الكامل. معظم الكلمات والعبارات واضحة ومألوفة لك. ما لم تفهم بالطبع معنى التقدم الهندسي "على الأصابع" وبشكل عام. لكن هناك أيضًا بعض العبارات الجديدة التي أود أن ألفت إليها اهتمامًا خاصًا.

أولاً: الكلمات: "الفترة الأولى منها يختلف عن الصفر".

هذا القيد على الفصل الدراسي الأول لم يتم تقديمه عن طريق الصدفة. ما رأيك سيحدث إذا كان الفصل الأول ب 1 تبين أنه صفر؟ ماذا سيكون المصطلح الثاني إذا كان كل حد أكبر من السابق نفس العدد من المرات؟دعنا نقول ثلاث مرات؟ دعونا نرى ... اضرب الحد الأول (أي 0) في 3 واحصل على ... صفر! والعضو الثالث؟ صفر أيضا! والحد الرابع هو أيضًا صفر! وما إلى ذلك وهلم جرا…

نحصل فقط على كيس من الخبز من سلسلة من الأصفار:

0, 0, 0, 0, …

بالطبع ، مثل هذا التسلسل له الحق في الحياة ، لكنه ليس ذا فائدة عملية. كل شيء واضح جدا. أي من أعضائها هو صفر. مجموع أي عدد من الأعضاء هو أيضًا صفر ... ما الأشياء الشيقة التي يمكنك أن تفعلها به؟ لا شئ…

الكلمات الرئيسية التالية: "مضروبة في نفس العدد غير الصفري".

هذا الرقم نفسه له أيضًا اسم خاص به - مقام التقدم الهندسي. لنبدأ المواعدة.)

مقام التقدم الهندسي.

كل شيء بسيط.

مقام التقدم الهندسي هو رقم غير صفري (أو قيمة) تشيركم مرةكل عضو في التقدم أكثر من السابق.

مرة أخرى ، عن طريق القياس مع التقدم الحسابي ، فإن الكلمة الأساسية التي يجب الانتباه إليها في هذا التعريف هي الكلمة "أكثر". هذا يعني أنه يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم الهندسي عمليه الضربلهذا المقام بالذات العضو السابق.

أشرح.

لحساب ، دعنا نقول ثانيةعضو ليأخذ أولاًعضو و تتضاعفإلى المقام. للحساب العاشرعضو ليأخذ تاسععضو و تتضاعفإلى المقام.

يمكن أن يكون مقام التقدم الهندسي نفسه أي شيء. بالتأكيد أي شخص! صحيح ، كسري ، إيجابي ، سلبي ، غير عقلاني - الجميع. باستثناء الصفر. هذا ما تخبرنا به كلمة "غير صفري" في التعريف. لماذا هذه الكلمة مطلوبة هنا - المزيد عن ذلك لاحقًا.

مقام التقدم الهندسيعادة ما يشار إليها بحرف ف.

كيف تجد هذا ف؟ لا مشكلة! يجب أن نتخذ أي مصطلح من التقدم و قسمة على المصطلح السابق. القسمة جزء. ومن هنا جاء الاسم - "قاسم التقدم". المقام ، عادة ما يقع في كسر ، نعم ...) على الرغم من القيمة المنطقية فيجب أن يسمى خاصالتقدم الهندسي ، على غرار اختلافمن أجل التقدم الحسابي. لكنه وافق على الاتصال المقام - صفة مشتركة - حالة. ولن نعيد اختراع العجلة أيضًا).

دعونا نحدد ، على سبيل المثال ، القيمة فلهذا التقدم الهندسي:

2, 6, 18, 54, …

كل شيء أساسي. نحن نأخذ أيرقم التسلسل. ما نريده هو ما نأخذه. باستثناء أول واحد. على سبيل المثال ، 18. واقسم على الرقم السابق. هذا هو ، في 6.

نحن نحصل:

ف = 18/6 = 3

هذا كل شئ. هذا هو الجواب الصحيح. في أي تقدم هندسي ، المقام هو ثلاثة.

لنجد المقام فلتقدم هندسي آخر. على سبيل المثال ، مثل هذا:

1, -2, 4, -8, 16, …

كل نفس. مهما كانت الإشارات التي يحملها الأعضاء أنفسهم ، فإننا لا نزال نأخذها أيالرقم التسلسلي (على سبيل المثال ، 16) وقسمه على الرقم السابق(أي -8).

نحن نحصل:

د = 16/(-8) = -2

وهذا كل شيء). هذه المرة تبين أن مقام التقدم سلبي. ناقص اثنين. يحدث.)

لنأخذ هذا التقدم:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

ومرة أخرى ، بغض النظر عن نوع الأرقام في التسلسل (أعداد صحيحة زوجية ، حتى كسرية ، وحتى سالبة ، وحتى غير منطقية) ، فإننا نأخذ أي رقم (على سبيل المثال ، 1/9) ونقسمه على الرقم السابق (1/3). طبعا وفقا لقواعد العمليات مع الكسور.

نحن نحصل:

هذا كل شيء.) هنا تبين أن المقام كسري: ف = 1/3.

لكن مثل هذا "التقدم" مثلك؟

3, 3, 3, 3, 3, …

من الواضح هنا ف = 1 . رسميًا ، يعد هذا أيضًا تقدمًا هندسيًا ، فقط مع نفس الأعضاء.) لكن مثل هذه التعاقب ليست مثيرة للاهتمام للدراسة والتطبيق العملي. تمامًا مثل التعاقب مع الأصفار الصلبة. لذلك ، لن نفكر فيها.

كما ترى ، يمكن أن يكون مقام التقدم أي شيء - عدد صحيح ، كسري ، موجب ، سلبي - أي شيء! لا يمكن أن تكون صفرًا فقط. لم تخمن لماذا؟

حسنًا ، لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة المحددة ، ماذا سيحدث إذا أخذنا كمقام فصفر.) دعونا ، على سبيل المثال ، لدينا ب 1 = 2 ، أ ف = 0 . ماذا سيكون الفصل الثاني بعد ذلك؟

نعتقد:

ب 2 = ب 1 · ف= 2 0 = 0

والعضو الثالث؟

ب 3 = ب 2 · ف= 0 0 = 0

أنواع وسلوك التعاقب الهندسي.

مع كل شيء كان أكثر أو أقل وضوحًا: إذا كان الاختلاف في التقدم دأمر إيجابي ، والتقدم آخذ في الازدياد. إذا كان الاختلاف سالبًا ، فسيقل التقدم. هناك خياران فقط. لا يوجد ثالث.)

ولكن مع سلوك التقدم الهندسي ، سيكون كل شيء أكثر تشويقًا وتنوعًا!)

بمجرد أن يتصرف الأعضاء هنا: يزدادون وينقصون ، ويقتربون من الصفر إلى أجل غير مسمى ، وحتى يغيرون الإشارات ، بالتناوب إما إلى "زائد" أو "ناقص"! وفي كل هذا التنوع يجب أن يكون المرء قادرًا على الفهم جيدًا ، نعم ...

نحن نفهم؟) لنبدأ بأبسط حالة.

المقام موجب ( ف >0)

مع المقام الموجب ، أولاً ، يمكن لأعضاء التقدم الهندسي الدخول بالإضافة إلى اللانهاية(أي زيادة إلى أجل غير مسمى) ويمكن أن تدخل ناقص ما لا نهاية(أي النقصان إلى أجل غير مسمى). لقد اعتدنا بالفعل على مثل هذا السلوك من التعاقب.

على سبيل المثال:

(ب ن): 1, 2, 4, 8, 16, …

كل شيء بسيط هنا. كل عضو في التقدم هو أكثر من السابق. ويحصل كل عضو عمليه الضربعضو سابق في إيجابيالرقم +2 (أي ف = 2 ). سلوك مثل هذا التقدم واضح: كل أعضاء التقدم ينمون إلى أجل غير مسمى ، ويذهبون إلى الفضاء. بالإضافة إلى اللانهاية ...

الآن هذا هو التقدم:

(ب ن): -1, -2, -4, -8, -16, …

هنا ، أيضًا ، يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربعضو سابق في إيجابيرقم +2. لكن سلوك مثل هذا التقدم هو بالفعل عكس ذلك مباشرة: يتم الحصول على كل عضو في التقدم أقل من السابق، وكل شروطها تنخفض إلى أجل غير مسمى ، وتذهب إلى سالب اللانهاية.

لنفكر الآن: ما هو العامل المشترك بين هذين التعاقبين؟ هذا صحيح ، المقام! هنا وهناك ف = +2 . رقم موجب، عدد إيجابي.تعؤل. و هنا سلوكهذان التسلسلان مختلفان اختلافًا جوهريًا! لم تخمن لماذا؟ نعم! انها كل شيء عن أول عضو!إنه ، كما يقولون ، هو الذي يأمر بالموسيقى.) انظر بنفسك.

في الحالة الأولى ، المصطلح الأول من التقدم إيجابي(+1) وبالتالي جميع المصطلحات اللاحقة التي تم الحصول عليها بضربها إيجابيالمقام - صفة مشتركة - حالة ف = +2 ، سيتم أيضا إيجابي.

لكن في الحالة الثانية ، المصطلح الأول سلبي(-1). لذلك ، تم الحصول على جميع أعضاء التقدم اللاحقين عن طريق الضرب في إيجابي ف = +2 ، سيتم الحصول عليها أيضًا سلبي.بالنسبة إلى "ناقص" إلى "زائد" ، يتم دائمًا توفير "ناقص" ، نعم).

كما ترون ، على عكس التقدم الحسابي ، يمكن للتقدم الهندسي أن يتصرف بطرق مختلفة تمامًا ، ليس فقط اعتمادًا على من المقامف، ولكن أيضًا اعتمادًا من العضو الأول، نعم.)

تذكر: يتم تحديد سلوك التقدم الهندسي بشكل فريد من قبل العضو الأول ب 1 والمقامف .

والآن نبدأ في تحليل حالات أقل شيوعًا ولكنها أكثر إثارة للاهتمام!

خذ على سبيل المثال التسلسل التالي:

(ب ن): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

هذا التسلسل هو أيضًا تقدم هندسي! يتم الحصول أيضًا على كل عضو في هذا التقدم عمليه الضربالفترة السابقة ، بنفس العدد. فقط الرقم كسري: ف = +1/2 . أو +0,5 . ورقم (مهم!) ، أصغر واحد:ف = 1/2<1.

ما المثير للاهتمام في هذا التقدم الهندسي؟ إلى أين يذهب أعضائها؟ دعنا نلقي نظرة:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

ما المثير للاهتمام هنا؟ أولاً ، الانخفاض في أعضاء التقدم مذهل على الفور: كل عضو من أعضائه أقلالسابق بالضبط 2 مرات.أو ، وفقًا لتعريف التقدم الهندسي ، كل مصطلح أكثرسابق 1/2 مرة، لأن مقام التقدم ف = 1/2 . ومن الضرب في عدد موجب أقل من واحد تنخفض النتيجة عادة ، نعم ...

ماذا أكثريمكن رؤيته في سلوك هذا التقدم؟ هل يختفي أعضاؤها؟ غير محدود، الذهاب إلى ما لا نهاية؟ لا! يختفون بطريقة خاصة. في البداية تتناقص بسرعة كبيرة ، ثم ببطء أكثر فأكثر. وطوال فترة الإقامة إيجابي. وإن كان صغيرًا جدًا جدًا. وماذا يسعون جاهدين؟ لم تخمن؟ نعم! إنهم يميلون إلى الصفر!) وانتبهوا ، أعضاء تقدمنا لا تصل!فقط قريب منه بشكل لا نهائي. انها مهمة جدا.)

سيكون وضع مماثل في مثل هذا التقدم:

(ب ن): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

هنا ب 1 = -1 ، أ ف = 1/2 . كل شيء هو نفسه ، الآن فقط سيقترب الأعضاء من الصفر من الجانب الآخر ، من الأسفل. البقاء طوال الوقت سلبي.)

مثل هذا التقدم الهندسي ، وأعضائه تقترب من الصفر إلى أجل غير مسمى.(لا يهم ، من الناحية الإيجابية أو السلبية) ، في الرياضيات لها اسم خاص - تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.هذا التقدم مثير للاهتمام وغير عادي حتى أنه سيكون كذلك درس منفصل .)

لذلك ، نظرنا في كل ما هو ممكن إيجابيالقواسم كبيرة وصغيرة. نحن لا نعتبر الشخص نفسه قاسمًا للأسباب المذكورة أعلاه (تذكر المثال مع تسلسل الثلاثيات ...)

كي تختصر:

إيجابيو أكثر من واحد (ف> 1) ، ثم أعضاء التقدم:

أ) زيادة إلى أجل غير مسمى (إذاب 1 >0);

ب) النقصان إلى أجل غير مسمى (إذاب 1 <0).

إذا كان المقام من التقدم الهندسي إيجابي و أقل من واحد (0< ف<1), то члены прогрессии:

أ) قريبة من الصفر بلا حدود فوق(لوب 1 >0);

ب) قريب بلا حدود من الصفر من الأسفل(لوب 1 <0).

يبقى الآن للنظر في القضية مقام سلبي.

المقام سالب ( ف <0)

لن نذهب بعيدا كمثال. لماذا ، في الواقع ، الجدة الأشعث؟!) دع ، على سبيل المثال ، أول عضو في التقدم يكون ب 1 = 1 وخذ المقام ف = -2.

نحصل على التسلسل التالي:

(ب ن): 1, -2, 4, -8, 16, …

وهلم جرا.) يتم الحصول على كل مصطلح من التقدم عمليه الضربعضو سابق في رقم سالب-2. في هذه الحالة ، سيكون جميع الأعضاء في الأماكن الفردية (الأول ، الثالث ، الخامس ، إلخ) إيجابي، وفي الأماكن الزوجية (الثاني ، الرابع ، إلخ) - سلبي.الإشارات مشذرة بدقة. زائد ناقص زائد ناقص ... يسمى هذا التقدم الهندسي - زيادة علامة بالتناوب.

إلى أين يذهب أعضائها؟ ولا مكان.) نعم ، في القيمة المطلقة (أي modulo)تزداد شروط تقدمنا ​​إلى أجل غير مسمى (ومن هنا جاء الاسم "زيادة"). ولكن في الوقت نفسه ، يقوم كل عضو من أعضاء التقدم بإلقائه بالتناوب في الحرارة ، ثم في البرد. إما زائد أو ناقص. تقدمنا ​​يتقلب ... علاوة على ذلك ، فإن نطاق التقلبات ينمو بسرعة مع كل خطوة ، نعم.) لذلك ، فإن تطلعات أعضاء التقدم للذهاب إلى مكان ما خاصةهنا لا.لا إلى زائد ما لا نهاية ، ولا إلى سالب ما لا نهاية ، ولا إلى صفر - لا مكان.

ضع في اعتبارك الآن مقامًا كسريًا بين صفر وسالب واحد.

على سبيل المثال ، فليكن ب 1 = 1 ، أ ف = -1/2.

ثم نحصل على التقدم:

(ب ن): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

ومرة أخرى لدينا تناوب العلامات! ولكن ، على عكس المثال السابق ، يوجد هنا بالفعل اتجاه واضح للمصطلحات لتقترب من الصفر.) فقط هذه المرة تقترب شروطنا من الصفر ليس من أعلى أو أسفل بشكل صارم ، ولكن مرة أخرى متردد. أخذ القيم الإيجابية أو السلبية بالتناوب. لكن في نفس الوقت هم الوحداتتقترب أكثر فأكثر من الصفر العزيزة.)

يسمى هذا التقدم الهندسي تناقص علامة بالتناوب بشكل لا نهائي.

لماذا هذان المثالان مثيران للاهتمام؟ وحقيقة أنه في كلتا الحالتين يحدث بالتناوب الشخصيات!هذه الشريحة نموذجية فقط للتقدم مع مقام سالب ، نعم.) لذلك ، إذا رأيت في مهمة ما تقدمًا هندسيًا مع الأعضاء المتناوبين ، فستعرف بالفعل أن مقامها سالب بنسبة 100٪ ولن تكون مخطئًا في العلامة).

بالمناسبة ، في حالة المقام السلبي ، لا تؤثر علامة المصطلح الأول على سلوك التقدم نفسه على الإطلاق. مهما كانت علامة العضو الأول في التقدم ، في أي حال ، سيتم ملاحظة علامة تناوب الأعضاء. السؤال كله عادل في أي مكان(زوجي أو فردي) سيكون هناك أعضاء بعلامات محددة.

يتذكر:

إذا كان المقام من التقدم الهندسي سلبي ، ثم علامات شروط التقدم دائما البديل.

في نفس الوقت ، الأعضاء أنفسهم:

أ) زيادة إلى أجل غير مسمىمودولو، لوف<-1;

ب) اقترب من الصفر بلا حدود إذا -1< ف<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

هذا كل شئ. يتم تحليل جميع الحالات النموذجية.)

في عملية تحليل مجموعة متنوعة من الأمثلة للتعاقب الهندسي ، استخدمت بشكل دوري الكلمات: "يميل إلى الصفر", "يميل إلى إضافة ما لا نهاية", يميل إلى طرح ما لا نهاية... لا بأس.) يتحول هذا الكلام (وأمثلة محددة) ما هي إلا معرفة أولية بـ سلوكتسلسلات رقمية مختلفة. مثال على التقدم الهندسي.

لماذا نحتاج حتى إلى معرفة سلوك التقدم؟ ما الفرق الذي يحدثه حيث تذهب؟ إلى الصفر ، إلى زائد ما لا نهاية ، إلى سالب ما لا نهاية ... ما الذي يهمنا بشأن هذا؟

الشيء هو أنه بالفعل في الجامعة ، في سياق الرياضيات العليا ، ستحتاج إلى القدرة على العمل مع مجموعة متنوعة من المتواليات الرقمية (مع أي ، وليس فقط التقدم!) والقدرة على تخيل بالضبط كيف يتصرف هذا التسلسل أو ذاك. - ما إذا كان يزيد بشكل غير محدود ، سواء كان يتناقص ، سواء كان يميل إلى رقم معين (وليس بالضرورة إلى الصفر) ، أو حتى لا يميل إلى أي شيء على الإطلاق ... قسم كامل مخصص لهذا الموضوع في سياق الرياضيات تحليل - نظرية الحد.بشكل أكثر تحديدًا ، المفهوم حد التسلسل الرقمي.موضوع مثير جدا للاهتمام! من المنطقي أن تذهب إلى الكلية وتكتشف ذلك).

بعض الأمثلة من هذا القسم (التسلسلات التي لها حدود) وعلى وجه الخصوص ، تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائيتبدأ التعلم في المدرسة. التعود.)

علاوة على ذلك ، فإن القدرة على دراسة سلوك التسلسلات جيدًا في المستقبل ستلعب بشكل كبير في أيديهم وستكون مفيدة جدًا في البحث الوظيفي.الأكثر تنوعًا. لكن القدرة على العمل بكفاءة مع الوظائف (حساب المشتقات ، واستكشافها بالكامل ، وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم) تزيد بالفعل من مستواك الرياضي بشكل كبير! شك؟ لا حاجة. تذكر أيضًا كلماتي.)

دعونا نلقي نظرة على التقدم الهندسي في الحياة؟

في الحياة من حولنا ، نواجه تقدمًا أسيًا في كثير من الأحيان. دون معرفة ذلك.)

على سبيل المثال ، الكائنات الحية الدقيقة المختلفة التي تحيط بنا في كل مكان بكميات هائلة والتي لا نراها بدون مجهر تتكاثر بدقة في التقدم الهندسي.

لنفترض أن بكتيريا واحدة تتكاثر عن طريق الانقسام إلى نصفين ، مما يعطي ذرية في 2 بكتيريا. في المقابل ، يتكاثر كل منهم ، وينقسم أيضًا إلى نصفين ، مما يعطي ذرية مشتركة من 4 بكتيريا. الجيل القادم سيعطي 8 بكتيريا ، ثم 16 بكتيريا ، 32 ، 64 وهكذا. مع كل جيل متتالي ، يتضاعف عدد البكتيريا. مثال نموذجي للتقدم الهندسي.)

كما أن بعض الحشرات - المن ، والذباب - تتكاثر أضعافا مضاعفة. وبالمناسبة ، فإن الأرانب أحيانًا أيضًا).

مثال آخر للتقدم الهندسي ، أقرب إلى الحياة اليومية ، هو ما يسمى الفائدة المركبة.غالبًا ما توجد مثل هذه الظاهرة المثيرة للاهتمام في الودائع المصرفية وتسمى رسملة الفائدة.ما هذا؟

أنت نفسك ما زلت ، بالطبع ، شابًا. أنت تدرس في المدرسة ، ولا تتقدم إلى البنوك. لكن والديك بالغين وأشخاص مستقلين. يذهبون إلى العمل ، ويكسبون نقودًا مقابل الخبز اليومي ، ويضعون بعضًا من المال في البنك ، ويدخرون.)

لنفترض أن والدك يريد توفير مبلغ معين من المال لقضاء إجازة عائلية في تركيا ووضع 50000 روبل في البنك بمعدل 10٪ سنويًا لمدة ثلاث سنوات مع رسملة الفائدة السنوية.علاوة على ذلك ، لا يمكن فعل أي شيء مع الإيداع خلال هذه الفترة بأكملها. لا يمكنك تجديد الإيداع ولا سحب الأموال من الحساب. ما هو الربح الذي سيحققه في هذه السنوات الثلاث؟

حسنًا ، أولاً ، تحتاج إلى معرفة ما هو 10٪ سنويًا. هذا يعني انه في سنةيضاف 10٪ إلى مبلغ الإيداع الأولي من قبل البنك. من ماذا؟ بالطبع من مبلغ الإيداع الأولي.

احسب مبلغ الحساب في السنة. إذا كان المبلغ الأولي للإيداع 50000 روبل (أي 100 ٪) ، فما مقدار الفائدة على الحساب في السنة؟ هذا صحيح ، 110٪! من 50000 روبل.

لذلك نعتبر 110٪ من 50000 روبل:

50000 1.1 \ u003d 55000 روبل.

أرجو أن تفهم أن إيجاد 110٪ من القيمة يعني ضرب هذه القيمة في الرقم 1.1؟ إذا كنت لا تفهم سبب ذلك ، فتذكر الصفين الخامس والسادس. يسمى - علاقة النسب المئوية بالكسور والأجزاء.)

وبالتالي ، فإن الزيادة في السنة الأولى ستكون 5000 روبل.

كم سيكون المال في الحساب بعد سنتين؟ 60000 روبل؟ لسوء الحظ (أو بالأحرى ، لحسن الحظ) ، الأمر ليس بهذه البساطة. تكمن الحيلة الكاملة في رسملة الفائدة في أنه مع كل تراكم فائدة جديد ، سيتم اعتبار هذه الفائدة نفسها بالفعل من المبلغ الجديد!من الذي بالفعلعلى حساب في اللحظة.وتضاف الفائدة المتراكمة عن المدة السابقة إلى المبلغ الأولي للإيداع ، وبالتالي ، يشاركون هم أنفسهم في احتساب الفائدة الجديدة! أي أنهم أصبحوا جزءًا كاملاً من الحساب الإجمالي. أو عام عاصمة.ومن هنا الاسم - رسملة الفائدة.

إنه في الاقتصاد. وفي الرياضيات ، تسمى هذه النسب المئوية الفائدة المركبة.أو في المئة من المئة.) خدعتهم هي أنه في الحساب المتسلسل ، يتم حساب النسب المئوية في كل مرة من القيمة الجديدة.ليس من الأصل ...

لذلك ، من أجل حساب المبلغ من خلال سنتان، نحتاج إلى حساب 110٪ من المبلغ الذي سيكون في الحساب في سنة.هذا هو بالفعل من 55000 روبل.

نعتبر 110 ٪ من 55000 روبل:

55000 1.1 = 60500 روبل.

هذا يعني أن النسبة المئوية للزيادة للسنة الثانية ستكون بالفعل 5500 روبل ، ولمدة عامين - 10500 روبل.

يمكنك الآن تخمين أنه في غضون ثلاث سنوات ، سيكون المبلغ في الحساب 110 ٪ من 60500 روبل. هذا مرة أخرى 110٪ من العام الماضي (العام الماضي)كميات.

هنا نعتبر:

60500 1.1 = 66550 روبل.

والآن نبني مبالغنا النقدية بالسنوات بالتتابع:

50000;

55000 = 50000 1.1 ؛

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1 ؛

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

اذا كيف كانت؟ لماذا لا تقدم هندسي؟ أول عضو ب 1 = 50000 والمقام ف = 1,1 . كل مصطلح أكبر بمقدار 1.1 مرة من السابق. كل شيء يتوافق بدقة مع التعريف.)

وكم نسبة المكافآت الإضافية التي "سينخفضها" والدك بينما كان 50 ألف روبل في الحساب المصرفي لمدة ثلاث سنوات؟

نعتقد:

66550-50000 = 16550 روبل

إنه أمر سيء بالطبع. ولكن هذا إذا كان المبلغ الأولي للمساهمة صغيرًا. ماذا لو كان هناك المزيد؟ قل ، ليس 50 بل 200 ألف روبل؟ ثم ستكون الزيادة لمدة ثلاث سنوات بالفعل 66200 روبل (إذا كنت تحسب). أيهما جيد جدًا بالفعل.) وإذا كانت المساهمة أكبر؟ هذا ما هو عليه...

الخلاصة: كلما زادت المساهمة الأولية ، ازدادت ربحية رسملة الفائدة. هذا هو السبب في أن الودائع برسملة الفائدة تقدم من قبل البنوك لفترات طويلة. دعنا نقول خمس سنوات.

أيضًا ، جميع أنواع الأمراض السيئة مثل الأنفلونزا والحصبة وحتى الأمراض الأكثر فظاعة (نفس السارس في أوائل القرن الحادي والعشرين أو الطاعون في العصور الوسطى) تحب الانتشار بشكل كبير. ومن هنا جاء حجم الأوبئة ، نعم ...) وكل ذلك بسبب حقيقة أنه مع تقدم هندسي القاسم الإيجابي كله (ف>1) - شيء ينمو بسرعة كبيرة! تذكر تكاثر البكتيريا: من بكتيريا واحدة يتم الحصول على اثنين ، من اثنين - أربعة ، من أربعة إلى ثمانية ، وهكذا ... مع انتشار أي عدوى ، كل شيء هو نفسه.)

أبسط المشاكل في التقدم الهندسي.

لنبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بمشكلة بسيطة. بحتة لفهم المعنى.

1. من المعروف أن الحد الثاني للتقدم الهندسي هو 6 والمقام -0.5. أوجد الحدود الأول والثالث والرابع.

لذلك نحن معطى بلا نهايةالتقدم الهندسي المعروف العضو الثانيهذا التقدم:

ب 2 = 6

بالإضافة إلى ذلك ، نحن نعلم أيضًا مقام التقدم:

ف = -0.5

وتحتاج أن تجد الاول الثالثو الرابعأعضاء هذا التقدم.

نحن هنا نتصرف. نكتب التسلسل حسب حالة المشكلة. مباشرة بشكل عام ، حيث يكون العضو الثاني هو الستة:

ب 1،6 ،ب 3 , ب 4 , …

لنبدأ الآن في البحث. نبدأ ، كما هو الحال دائمًا ، بالأبسط. يمكنك حساب ، على سبيل المثال ، المصطلح الثالث ب 3؟ يستطيع! نحن نعلم بالفعل (مباشرة بمعنى التقدم الهندسي) أن الحد الثالث (ب 3)أكثر من ثانية (ب 2 ) الخامس "ف"مرة واحدة!

لذلك نكتب:

ب 3 =ب 2 · ف

نعوض بستة في هذا المقدار بدلاً من ب 2و -0.5 بدلاً من ذلك فونفكر. ولا يتم تجاهل الطرح أيضًا ، بالطبع ...

ب 3 \ u003d 6 (-0.5) \ u003d -3

مثله. تبين أن المصطلح الثالث سلبي. لا عجب: قاسمنا ف- سلبي. بالإضافة إلى أنه مضروبًا في ناقص ، سيكون بالطبع سالب).

نحن الآن ننظر في الفصل الدراسي الرابع التالي من التقدم:

ب 4 =ب 3 · ف

ب 4 \ u003d -3 (-0.5) \ u003d 1.5

المصطلح الرابع مرة أخرى مع موجب. سيكون الحد الخامس مرة أخرى بسالب ، والسادس بعلامة موجب ، وهكذا. علامات - بديل!

لذلك ، تم العثور على العضوين الثالث والرابع. والنتيجة هي التسلسل التالي:

ب 1 ؛ 6 ؛ -3 ؛ 1.5 ؛ ...

يبقى الآن أن نجد المصطلح الأول ب 1وفقًا للثانية المعروفة. للقيام بذلك ، نخطو في الاتجاه الآخر ، إلى اليسار. هذا يعني أنه في هذه الحالة ، لا نحتاج إلى ضرب الحد الثاني من التقدم في المقام ، ولكن يشارك.

نقسم ونحصل على:

هذا كل شيء.) ستكون الإجابة على المشكلة كما يلي:

-12; 6; -3; 1,5; …

كما ترى ، فإن مبدأ الحل هو نفسه في. نعلم أيعضو و المقام - صفة مشتركة - حالةالتقدم الهندسي - يمكننا إيجاد أي مصطلح آخر. كل ما نريد ، سنجد واحدًا.) والفرق الوحيد هو أن الجمع / الطرح يتم استبداله بالضرب / القسمة.

تذكر: إذا عرفنا عضوًا واحدًا على الأقل ومقامًا للتقدم الهندسي ، فيمكننا دائمًا العثور على أي عضو آخر في هذا التقدم.

المهمة التالية ، وفقًا للتقاليد ، مأخوذة من الإصدار الحقيقي لـ OGE:

2.

… ؛ 150 ؛ X ؛ 6 ؛ 1.2 ؛ ...

اذا كيف كانت؟ هذه المرة لا يوجد حد أول ولا مقام ف، يتم إعطاء مجرد تسلسل من الأرقام ... شيء مألوف بالفعل ، أليس كذلك؟ نعم! تم بالفعل التعامل مع مشكلة مماثلة في التقدم الحسابي!

نحن هنا لسنا خائفين. كل نفس. اقلب رأسك وتذكر المعنى الأولي للتقدم الهندسي. نحن ننظر بعناية في تسلسلنا ونكتشف أي معلمات للتقدم الهندسي للعناصر الثلاثة الرئيسية (العضو الأول ، المقام ، رقم العضو) مخفية فيه.

أرقام الأعضاء؟ لا توجد أرقام أعضاء ، نعم ... لكن هناك أربعة متتاليأعداد. ما تعنيه هذه الكلمة ، لا أرى الهدف من الشرح في هذه المرحلة.) هل هناك اثنان الأرقام المجاورة المعروفة؟يأكل! هذه هي 6 و 1.2. لذلك يمكننا أن نجد مقام التقدم.إذن ، نأخذ العدد 1.2 ونقسمه إلى الرقم السابق.لمدة ستة.

نحن نحصل:

نحن نحصل:

x= 150 0.2 = 30

إجابة: x = 30 .

كما ترى ، كل شيء بسيط للغاية. الصعوبة الرئيسية تكمن فقط في الحسابات. إنه صعب بشكل خاص في حالة القواسم السالبة والكسرية. إذن لمن لديه مشاكل كرر الحساب! كيفية التعامل مع الكسور ، وكيفية التعامل مع الأعداد السالبة ، وما إلى ذلك ... وإلا فسوف تبطئ هنا بلا رحمة.

الآن دعونا نغير المشكلة قليلاً. الآن سوف تصبح مثيرة للاهتمام! دعنا نزيل آخر رقم 1.2 فيه. لنحل هذه المشكلة الآن:

3. تمت كتابة عدة مصطلحات متتالية للتقدم الهندسي:

… ؛ 150 ؛ X ؛ 6 ؛ ...

أوجد مصطلح التقدم ، المشار إليه بالحرف x.

كل شيء هو نفسه ، اثنان فقط المجاورة مشهورلم يعد لدينا أعضاء في التقدم. هذه هي المشكلة الرئيسية. لأن الحجم فمن خلال فترتين متجاورتين ، يمكننا بالفعل تحديد ذلك بسهولة لا نستطيع.هل لدينا فرصة لمواجهة التحدي؟ بالتأكيد!

دعونا نكتب المصطلح المجهول " x"مباشرة بمعنى التقدم الهندسي! بشكل عام.

نعم نعم! مباشرة بقاسم غير معروف!

من ناحية ، يمكننا كتابة النسبة التالية لـ x:

x= 150ف

من ناحية أخرى ، لدينا كل الحق في رسم نفس X من خلال التاليعضو من خلال الستة! اقسم ستة على المقام.

مثله:

x = 6/ ف

من الواضح أنه يمكننا الآن معادلة هاتين النسبتين. بما أننا نعبر عن ذلك نفس الشيءالقيمة (س) ، ولكن اثنين طرق مختلفة.

نحصل على المعادلة:

ضرب كل شيء ف، التبسيط ، التقليل ، نحصل على المعادلة:

ف 2 \ u003d 1/25

نحل ونحصل على:

q = ± 1/5 = ± 0.2

أُووبس! القاسم مزدوج! +0.2 و -0.2. وأي واحد تختار؟ نهاية؟

هادئ! نعم ، المشكلة بالفعل حلين!لا حرج في ذلك. يحدث ذلك.) لا تتفاجأ عندما تحصل ، على سبيل المثال ، على جذرين من خلال حل المعتاد؟ إنها نفس القصة هنا.)

ل ف = +0.2سوف نحصل على:

س = 150 0.2 = 30

ولل ف = -0,2 سوف:

س = 150 (-0.2) = -30

نحصل على إجابة مزدوجة: x = 30; x = -30.

ماذا تعني هذه الحقيقة الشيقة؟ وماذا يوجد تقدمان، تلبية لحالة المشكلة!

مثل هؤلاء:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

كلاهما مناسب.) ما هو برأيك سبب تشعب الإجابات؟ فقط بسبب القضاء على عضو معين من التقدم (1،2) ، يأتي بعد الستة. وبمعرفة الأعضاء السابقة (n-1) واللاحقة (n + 1) -th من التقدم الهندسي ، لم يعد بإمكاننا أن نقول بشكل لا لبس فيه أي شيء عن العضو n الذي يقف بينهما. هناك خياران - زائد وناقص.

لكن لا يهم. كقاعدة عامة ، في مهام التقدم الهندسي ، هناك معلومات إضافية تعطي إجابة لا لبس فيها. دعنا نقول الكلمات: "التقدم بالتناوب بين الإشارات"أو "التقدم بقاسم إيجابي"وهكذا ... فهذه الكلمات هي التي يجب أن تكون بمثابة دليل ، والتي يجب اختيار الإشارة ، زائد أو ناقص ، عند تقديم الإجابة النهائية. إذا لم تكن هناك مثل هذه المعلومات ، إذن - نعم ، سيكون للمهمة حلين.)

والآن نقرر بأنفسنا.

4. حدد ما إذا كان الرقم 20 سيكون جزءًا من تسلسل هندسي:

4 ; 6; 9; …

5. يتم إعطاء تسلسل هندسي متناوب:

…; 5; x ; 45; …

ابحث عن مصطلح التقدم المشار إليه بالحرف x .

6. أوجد الحد الرابع الإيجابي للتقدم الهندسي:

625; -250; 100; …

7. الحد الثاني للتقدم الهندسي هو -360 ، والحد الخامس 23.04. ابحث عن الفصل الأول من هذا التقدم.

الإجابات (في حالة فوضى): -15 ؛ 900 ؛ لا؛ 2.56.

مبروك إذا نجح كل شيء!

شيء لا يصلح؟ هل هناك إجابة مزدوجة في مكان ما؟ نقرأ شروط المهمة بعناية!

اللغز الأخير لا يعمل؟ لا يوجد شيء معقد هناك.) نحن نعمل مباشرة وفقًا لمعنى التقدم الهندسي. حسنًا ، يمكنك رسم صورة. تساعد.)

كما ترى ، كل شيء أساسي. إذا كان التقدم قصير. ماذا لو كانت طويلة؟ أم أن عدد العضو المطلوب كبير جدًا؟ أود ، بالقياس مع التقدم الحسابي ، أن أحصل بطريقة ما على صيغة ملائمة تجعل من السهل العثور على أيعضو في أي تقدم هندسي برقمه.دون مضاعفة مرات عديدة ف. وهناك مثل هذه الصيغة!) التفاصيل - في الدرس التالي.

معادلة العضو التاسع في التقدم الهندسي هي أمر بسيط للغاية. سواء في المعنى أو بشكل عام. ولكن هناك كل أنواع المشاكل لصيغة العضو التاسع - من البدائية جدًا إلى الجادة جدًا. وفي عملية التعارف ، سننظر بالتأكيد في كلاهما. حسنًا ، دعنا نتقابل؟)

لذلك ، بالنسبة للمبتدئين ، في الواقع معادلةن

ها هي:

ب ن = ب 1 · ف ن -1

الصيغة كصيغة ، لا شيء خارق للطبيعة. يبدو أبسط وأكثر إحكاما من الصيغة المماثلة لـ. معنى الصيغة بسيط أيضًا ، مثل حذاء من اللباد.

تسمح لك هذه الصيغة بالعثور على أي عضو في تقدم هندسي بأرقامه " ن".

كما ترى ، المعنى هو تشبيه كامل بالتقدم الحسابي. نحن نعرف العدد n - يمكننا أيضًا حساب الحد الموجود تحت هذا الرقم. ماذا نريد. عدم الضرب بالتسلسل بـ "q" مرات عديدة. هذا هو بيت القصيد.)

أفهم أنه في هذا المستوى من العمل مع التقدم ، يجب أن تكون جميع الكميات المدرجة في الصيغة واضحة لك بالفعل ، لكنني أعتبر أنه من واجبي فك كل منها. فقط في حالة.

إذا هيا بنا:

ب 1 – أولاًعضو في التقدم الهندسي.

ف – ;

ن- رقم عضوية؛

ب ن – ن (نذ)عضو في التقدم الهندسي.

تربط هذه الصيغة المعلمات الرئيسية الأربعة لأي تقدم هندسي - بن, ب 1 , فو ن. وحول هذه الأرقام الرئيسية الأربعة ، تدور جميع المهام قيد التقدم.

"وكيف يتم عرضها؟"- أسمع سؤالاً فضولياً .. ابتدائي! ينظر!

ما يساوي ثانيةعضو التقدم؟ لا مشكلة! نكتب مباشرة:

ب 2 = ب 1 ف

والعضو الثالث؟ ليست مشكلة أيضا! نضرب الحد الثاني مرة أخرىف.

مثله:

ب 3 \ u003d ب 2 س

تذكر الآن أن المصطلح الثاني ، بدوره ، يساوي b 1 q واستبدل هذا التعبير في مساواتنا:

ب 3 = ب 2 س = (ب 1 ف) س = ب 1 ف ف = ب 1 س 2

نحن نحصل:

ب 3 = ب 1 ف 2

الآن دعنا نقرأ دخولنا باللغة الروسية: ثالثالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q في ثانيةدرجة. هل حصلت عليه؟ ليس بعد؟ حسنًا ، خطوة أخرى.

ما هو المصطلح الرابع؟ كل نفس! تتضاعف سابق(أي المصطلح الثالث) في q:

B 4 \ u003d b 3 q \ u003d (b 1 q 2) q \ u003d b 1 q 2 q \ u003d b 1 q 3

المجموع:

ب 4 = ب 1 ف 3

ومرة أخرى نترجم إلى اللغة الروسية: الرابعالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q في ثالثدرجة.

وما إلى ذلك وهلم جرا. اذا كيف كانت؟ هل التقطت النمط؟ نعم! لأي مصطلح بأي رقم ، سيكون عدد العوامل المتساوية q (أي قوة المقام) دائمًا واحد أقل من عدد العضو المطلوبن.

لذلك ، ستكون صيغتنا بدون خيارات:

ب ن =ب 1 · ف ن -1

هذا كل شئ.)

حسنًا ، دعنا نحل المشكلات ، أليس كذلك؟)

حل المشاكل في صيغةنال مصطلح للتقدم الهندسي.

لنبدأ ، كالعادة ، بتطبيق مباشر للصيغة. هذه مشكلة نموذجية:

ومن المعروف أن أضعافا مضاعفة ب 1 = 512 و ف = -1/2. أوجد الحد العاشر من التقدم.

بالطبع ، يمكن حل هذه المشكلة بدون أي صيغ على الإطلاق. تمامًا مثل التقدم الهندسي. لكننا نحتاج إلى الإحماء باستخدام صيغة الحد التاسع ، أليس كذلك؟ نحن هنا نفترق.

بياناتنا لتطبيق الصيغة على النحو التالي.

المصطلح الأول معروف. هذا هو 512.

ب 1 = 512.

قاسم التقدم معروف أيضًا: ف = -1/2.

يبقى فقط معرفة ما يساوي عدد المصطلح n. لا مشكلة! هل نحن مهتمون بالفترة العاشرة؟ لذا نعوض عن عشرة بدلًا من n في الصيغة العامة.

وحساب الحساب بعناية:

الجواب: -1

كما ترون ، تبين أن الحد العاشر للتقدم هو سالب. لا عجب: مقام التقدم هو -1/2 ، أي سلبيرقم. وهذا يخبرنا أن علامات تقدمنا ​​تتبدل ، نعم).

كل شيء بسيط هنا. وهنا مشكلة مماثلة ، لكنها أكثر تعقيدًا من ناحية الحسابات.

في التقدم الهندسي ، نعلم أن:

ب 1 = 3

أوجد الحد الثالث عشر من التقدم.

كل شيء هو نفسه ، هذه المرة فقط قاسم التقدم - غير منطقي. جذر اثنين. حسنًا ، ليس بالأمر المهم. الصيغة هي شيء عالمي ، فهي تتواءم مع أي أرقام.

نعمل مباشرة حسب الصيغة:

الصيغة ، بالطبع ، عملت كما ينبغي ، لكن ... هذا هو المكان الذي سيتعطل فيه البعض. ماذا تفعل بعد ذلك مع الجذر؟ كيف ترفع جذرًا إلى القوة الثانية عشرة؟

كيف كيف ... عليك أن تفهم أن أي معادلة ، بالطبع ، شيء جيد ، لكن المعرفة بكل الرياضيات السابقة لا تلغى! كيف ترفع؟ نعم ، تذكر خصائص الدرجات! دعنا نغير الجذر إلى درجة كسريةو - بصيغة رفع السلطة إلى سلطة.

مثله:

الجواب: 192

وكل الأشياء.)

ما هي الصعوبة الرئيسية في التطبيق المباشر لصيغة المصطلح التاسع؟ نعم! الصعوبة الرئيسية هي العمل مع الدرجات!وهي الأس الأعداد السالبة والكسور والجذور والتركيبات المماثلة. إذن لمن لديه مشاكل مع هذا ، طلب عاجل لتكرار الدرجات وخصائصها! خلاف ذلك ، سوف تتباطأ في هذا الموضوع ، نعم ...)

الآن دعنا نحل مشاكل البحث النموذجية أحد عناصر الصيغةإذا تم إعطاء كل الآخرين. من أجل حل ناجح لمثل هذه المشاكل ، فإن الوصفة مفردة وبسيطة للرعب - اكتب الصيغةنالعضو ال بشكل عام!الحق في دفتر الملاحظات بجانب الشرط. وبعد ذلك ، من الحالة ، نكتشف ما يُعطى لنا وما لا يكفي. ونعبر عن القيمة المطلوبة من الصيغة. الجميع!

على سبيل المثال ، هذه مشكلة غير ضارة.

الحد الخامس للتقدم الهندسي بمقامه 3 هو 567. أوجد الحد الأول من هذا التقدم.

لا شيء معقد. نحن نعمل مباشرة حسب التعويذة.

نكتب صيغة الحد النوني!

ب ن = ب 1 · ف ن -1

ماذا يعطى لنا؟ أولاً ، يتم إعطاء قاسم التقدم: ف = 3.

بالإضافة إلى ذلك ، نحن معطى العضو الخامس: ب 5 = 567 .

الجميع؟ لا! كما حصلنا على الرقم n! هذا خمسة: ن = 5.

آمل أن تكون قد فهمت بالفعل ما هو موجود في السجل ب 5 = 567 يتم إخفاء معلمتين في وقت واحد - هذا هو العضو الخامس نفسه (567) ورقمه (5). في درس مشابه تحدثت بالفعل عن هذا ، لكنني أعتقد أنه ليس من الضروري أن أذكر هنا.)

الآن نستبدل بياناتنا في الصيغة:

567 = ب 1 3 5-1

نحن نعتبر الحساب ، نبسط ونحصل على معادلة خطية بسيطة:

81 ب 1 = 567

نحل ونحصل على:

ب 1 = 7

كما ترى ، لا توجد مشاكل في العثور على العضو الأول. لكن عند البحث عن المقام فوالأرقام نقد تكون هناك مفاجآت. وتحتاج أيضًا إلى الاستعداد لها (مفاجآت) ، نعم.)

على سبيل المثال ، مثل هذه المشكلة:

الحد الخامس للتقدم الهندسي ذي المقام الموجب هو 162 ، والحد الأول من هذا التقدم هو 2. أوجد مقام التقدم.

هذه المرة لدينا العضوان الأول والخامس ، ومطلوب منا إيجاد مقام التقدم. هنا نبدأ.

نكتب الصيغةنالعضو ال!

ب ن = ب 1 · ف ن -1

ستكون بياناتنا الأولية على النحو التالي:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

ن = 5

قيمة غير كافية ف. لا مشكلة! لنجدها الآن.) نعوض بكل ما نعرفه في الصيغة.

نحن نحصل:

162 = 2ف 5-1

2 ف 4 = 162

ف 4 = 81

معادلة بسيطة من الدرجة الرابعة. لكن الآن - بحرص!في هذه المرحلة من الحل ، يقوم العديد من الطلاب على الفور باستخراج الجذر (من الدرجة الرابعة) بفرح والحصول على الإجابة ف=3 .

مثله:

س 4 = 81

ف = 3

لكن بشكل عام ، هذه إجابة غير مكتملة. أو بالأحرى غير مكتمل. لماذا؟ النقطة هي أن الجواب ف = -3 يناسب أيضًا: (-3) 4 سيكون أيضًا 81!

هذا بسبب معادلة القوة x ن = أدائما جذران متعاكسانفي حتىن . زائد وناقص:

كلاهما مناسب.

على سبيل المثال ، حل (أي ثانيةدرجات)

س 2 = 9

لسبب ما لا تتفاجأ بالمظهر اثنينالجذور س = ± 3؟ إنه نفس الشيء هنا. ومع أي شخص آخر حتىالدرجة (الرابعة ، السادسة ، العاشرة ، إلخ) ستكون هي نفسها. التفاصيل - في موضوع حول

لذا فإن الحل الصحيح هو:

ف 4 = 81

ف= ± 3

حسنًا ، لقد حصلنا على العلامات. أيهما هو الصحيح - زائد أم ناقص؟ حسنًا ، قرأنا حالة المشكلة مرة أخرى بحثًا عن معلومات إضافية.إنه ، بالطبع ، قد لا يكون موجودًا ، لكن في هذه المشكلة مثل هذه المعلومات متاح.في حالتنا ، يُذكر مباشرة أنه يتم إعطاء تقدم مقام موجب.

إذن الجواب واضح:

ف = 3

كل شيء بسيط هنا. ما الذي تعتقد أنه سيحدث إذا كانت عبارة المشكلة على النحو التالي:

الحد الخامس للتقدم الهندسي هو 162 ، والحد الأول من هذا التقدم هو 2. أوجد مقام التقدم.

ماهو الفرق؟ نعم! في الحالة لا شئلا ذكر للمقام. لا بشكل مباشر ولا غير مباشر. وهنا ستكون المشكلة بالفعل حلين!

ف = 3 و ف = -3

نعم نعم! ومع الجمع والسالب) رياضيا ، هذه الحقيقة تعني أن هناك تقدمانالتي تناسب المهمة. ولكل - قاسمها. من أجل المتعة ، تدرب واكتب أول خمسة فصول من كل منها.)

لنتدرب الآن على إيجاد رقم العضو. هذا هو الأصعب ، نعم. ولكن أيضًا أكثر إبداعًا.

بالنظر إلى التقدم الهندسي:

3; 6; 12; 24; …

ما هو الرقم 768 في هذا التقدم؟

الخطوة الأولى هي نفسها: اكتب الصيغةنالعضو ال!

ب ن = ب 1 · ف ن -1

والآن ، كالعادة ، نستبدل بها البيانات المعروفة لدينا. حسنًا ... لا يصلح! أين العضو الأول وأين المقام وأين كل شيء ؟!

أين وأين ... لماذا نحتاج العيون؟ ترفرف الرموش؟ هذه المرة يتم تقديم التقدم إلينا مباشرة في النموذج التسلسلات.هل يمكننا رؤية الفصل الأول؟ نحن نرى! هذا ثلاثي (ب 1 = 3). ماذا عن المقام؟ لم نتمكن من رؤيته بعد ، لكن من السهل جدًا حسابه. إذا كنت تفهم بالطبع.

نحن هنا نعتبر. مباشرة وفقًا لمعنى التقدم الهندسي: نأخذ أيًا من أعضائه (باستثناء الأول) ونقسمه على العنصر السابق.

على الأقل مثل هذا:

ف = 24/12 = 2

ماذا نعرف؟ نحن نعرف أيضًا بعضًا من هذا التقدم ، يساوي 768. تحت رقم ما ن:

ب ن = 768

لا نعرف رقمه ، لكن مهمتنا تحديدًا هي العثور عليه). لذلك نحن نبحث عنه. لقد قمنا بالفعل بتنزيل جميع البيانات اللازمة للاستبدال في الصيغة. بشكل غير محسوس.)

هنا نستبدل:

768 = 3 2ن -1

نصنع الأجزاء الابتدائية - نقسم كلا الجزأين على ثلاثة ونعيد كتابة المعادلة بالشكل المعتاد: المجهول على اليسار ، والمعروف على اليمين.

نحن نحصل:

2 ن -1 = 256

ها هي معادلة مثيرة للاهتمام. نحن بحاجة إلى إيجاد "ن". ما هو غير عادي؟ نعم ، أنا لا أجادل. في الواقع ، هذا هو الأبسط. يطلق عليه كذلك لأن المجهول (في هذه الحالة ، هو الرقم ن) يقف في مؤشردرجة.

في مرحلة التعارف مع التقدم الهندسي (هذا هو الصف التاسع) ، لا يتم تدريس المعادلات الأسية لحلها ، نعم ... هذا موضوع للمدرسة الثانوية. لكن لا يوجد شيء رهيب. حتى إذا كنت لا تعرف كيف يتم حل هذه المعادلات ، فلنحاول إيجاد نمسترشدين بالمنطق البسيط والفطرة السليمة.

نبدأ في المناقشة. على اليسار لدينا شيطان إلى درجة معينه. لا نعرف حتى الآن ما هي هذه الدرجة بالضبط ، لكن هذا ليس مخيفًا. لكن من ناحية أخرى ، نعلم تمامًا أن هذه الدرجة تساوي 256! لذلك نتذكر إلى أي مدى يعطينا الشيطان 256. تذكر؟ نعم! في ثامندرجات!

256 = 2 8

إذا لم تتذكر درجات المشكلة أو لم تتعرف عليها ، فلا بأس أيضًا: نرفع الاثنين بالتتابع إلى المربع ، إلى المكعب ، إلى القوة الرابعة ، والخامس ، وهكذا. الاختيار ، في الواقع ، ولكن على هذا المستوى ، هو تماما مطية.

بطريقة أو بأخرى ، سوف نحصل على:

2 ن -1 = 2 8

ن-1 = 8

ن = 9

إذن 768 هو تاسععضو في تقدمنا. هذا كل شيء ، تم حل المشكلة.)

الجواب: 9

ماذا؟ ممل؟ تعبت من الابتدائية؟ يوافق. وأنا أيضا. دعنا ننتقل إلى المستوى التالي.)

مهام أكثر تعقيدًا.

والآن نحل الألغاز بشكل مفاجئ. ليس رائعًا تمامًا ، ولكن عليك العمل قليلاً للوصول إلى الإجابة.

على سبيل المثال ، مثل هذا.

أوجد الحد الثاني للتقدم الهندسي إذا كان حده الرابع -24 والحد السابع هو 192.

هذا هو كلاسيكي من هذا النوع. يُعرف بعض عضوين مختلفين من التقدم ، ولكن يجب العثور على عضو آخر. علاوة على ذلك ، كل الأعضاء ليسوا جيرانًا. ما يربك في البداية ، نعم ...

كما هو الحال في ، فإننا نعتبر طريقتين لحل مثل هذه المشاكل. الطريقة الأولى عالمية. جبري. يعمل بشكل لا تشوبه شائبة مع أي بيانات مصدر. لذلك من هنا سنبدأ.)

نرسم كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو ال!

كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال مع التقدم الحسابي. هذه المرة فقط نعمل معها آخرالصيغة العامة. هذا كل شيء.) لكن الجوهر هو نفسه: نحن نأخذ و بدورهنعوض ببياناتنا الأولية في صيغة الحد النوني. لكل عضو - خاصة بهم.

في الفصل الرابع نكتب:

ب 4 = ب 1 · ف 3

-24 = ب 1 · ف 3

يأكل. معادلة واحدة كاملة.

نكتب عن الفصل السابع:

ب 7 = ب 1 · ف 6

192 = ب 1 · ف 6

في المجموع ، تم الحصول على معادلتين لـ نفس التقدم .

نقوم بتجميع نظام منهم:

على الرغم من مظهره الرائع ، إلا أن النظام بسيط للغاية. الطريقة الأكثر وضوحًا للحل هي التبديل المعتاد. نحن نعبر ب 1 من المعادلة العليا واستبدالها بالمعادلة السفلية:

القليل من العبث بالمعادلة السفلية (تقليل الأسس والقسمة على -24) ينتج عنه:

ف 3 = -8

بالمناسبة ، يمكن الوصول إلى نفس المعادلة بطريقة أبسط! ماذا؟ الآن سوف أريكم سرًا آخر ، ولكنه طريقة جميلة جدًا وقوية ومفيدة لحل مثل هذه الأنظمة. مثل هذه الأنظمة ، في المعادلات التي يجلسون عليها يعمل فقط.على الأقل في واحدة. مُسَمًّى طريقة تقسيم المدىمعادلة إلى أخرى.

لذلك لدينا نظام:

في كلا المعادلتين على اليسار - عمل، وعلى اليمين مجرد رقم. هذه علامة جيدة جدًا.) لنأخذ و ... نقسم ، على سبيل المثال ، المعادلة السفلية على المعادلة العليا! ماذا يعني، قسمة معادلة على أخرى؟بسيط جدا. نحن نأخذ الجهه اليسرىمعادلة واحدة (أقل) و نقسملها الجهه اليسرىمعادلة أخرى (عليا). الجانب الأيمن مشابه: الجانب الأيمنمعادلة واحدة نقسمعلى الجانب الأيمنآخر.

تبدو عملية التقسيم بأكملها كما يلي:

الآن ، بتقليل كل شيء يتم تقليله ، نحصل على:

ف 3 = -8

ما هو الجيد في هذه الطريقة؟ نعم ، لأنه في عملية هذا التقسيم ، يمكن تقليل كل شيء سيء وغير مريح بأمان وتبقى معادلة غير ضارة تمامًا! هذا هو السبب في أنه من المهم للغاية أن يكون لديك الضرب فقطفي واحدة على الأقل من معادلات النظام. لا يوجد عملية ضرب - ليس هناك ما يختصر ، نعم ...

بشكل عام ، تستحق هذه الطريقة (مثل العديد من الطرق غير التافهة الأخرى لحل الأنظمة) درسًا منفصلاً. سألقي نظرة فاحصة عليه بالتأكيد. في يوم ما…

ومع ذلك ، بغض النظر عن كيفية حل النظام ، على أي حال ، نحتاج الآن إلى حل المعادلة الناتجة:

ف 3 = -8

لا مشكلة: نستخرج الجذر (مكعب) و- انتهى!

يرجى ملاحظة أنه ليس من الضروري وضع علامة زائد / ناقص هنا عند الاستخراج. لدينا جذر فردي (ثالث). والجواب هو نفسه ، نعم.

لذلك ، تم العثور على مقام التقدم. ناقص اثنين. عظيم! العملية جارية.)

بالنسبة للمصطلح الأول (قل من المعادلة العليا) نحصل على:

عظيم! نعرف الحد الأول ونعرف المقام. والآن لدينا الفرصة للعثور على أي عضو في التقدم. بما في ذلك الثانية.)

بالنسبة للعضو الثاني ، كل شيء بسيط للغاية:

ب 2 = ب 1 · ف= 3 (-2) = -6

الجواب: -6

لذلك ، قمنا بفرز الطريقة الجبرية لحل المشكلة. صعب؟ ليس كثيرًا ، أوافق. طويلة ومملة؟ نعم بالتأكيد. لكن في بعض الأحيان يمكنك تقليل حجم العمل بشكل كبير. لهذا هناك طريقة الرسم.قديم جيد ومألوف لنا.)

لنرسم المشكلة!

نعم! بالضبط. مرة أخرى نصور تقدمنا ​​على محور الأعداد. ليس بالضرورة بواسطة مسطرة ، ليس من الضروري الحفاظ على فترات متساوية بين الأعضاء (والتي ، بالمناسبة ، لن تكون هي نفسها ، لأن التقدم هندسي!) ، ولكن ببساطة بشكل تخطيطيارسم تسلسلنا.

حصلت عليه مثل هذا:

الآن انظر إلى الصورة وفكر. كم عدد العوامل المتساوية "ف" حصة الرابعو السابعأعضاء؟ هذا صحيح ، ثلاثة!

لذلك ، لدينا كل الحق في أن نكتب:

-24ف 3 = 192

من هنا أصبح من السهل الآن العثور على q:

ف 3 = -8

ف = -2

هذا رائع ، المقام في جيوبنا بالفعل. والآن ننظر إلى الصورة مرة أخرى: كم عدد هذه القواسم الموجودة بينها ثانيةو الرابعأعضاء؟ اثنين! لذلك ، لتسجيل العلاقة بين هؤلاء الأعضاء ، سنرفع المقام تربيع.

نكتب هنا:

ب 2 · ف 2 = -24 ، أين ب 2 = -24/ ف 2

نعوض بالمقام الموجود في التعبير عن b 2 ، ونعد ونحصل على:

الجواب: -6

كما ترى ، كل شيء أبسط وأسرع بكثير من النظام. علاوة على ذلك ، هنا لم نكن بحاجة حتى لإحصاء الفصل الأول على الإطلاق! على الاطلاق.)

هنا ضوء الطريق البسيط والبصري. لكن له أيضًا عيبًا خطيرًا. خمن؟ نعم! إنه جيد فقط للقطع القصيرة جدًا من التقدم. تلك التي تكون فيها المسافات بين الأعضاء التي تهمنا ليست كبيرة جدًا. لكن في جميع الحالات الأخرى ، من الصعب بالفعل رسم صورة ، نعم ... ثم نحل المشكلة تحليليًا ، من خلال نظام.) والأنظمة هي شيء عالمي. تعامل مع أي رقم.

ملحمة أخرى:

الحد الثاني للتقدم الهندسي أكبر بمقدار 10 من الحد الأول ، والحد الثالث أكبر بمقدار 30 من الثاني. أوجد مقام التقدم.

ما هو رائع؟ مُطْلَقاً! كل نفس. نترجم مرة أخرى حالة المشكلة إلى الجبر البحت.

1) نرسم كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو ال!

المصطلح الثاني: b 2 = b 1 q

المصطلح الثالث: b 3 \ u003d b 1 q 2

2) نكتب العلاقة بين الأعضاء من حالة المشكلة.

قراءة الشرط: "الحد الثاني للتقدم الهندسي هو 10 أكثر من الأول."توقف ، هذا ثمين!

لذلك نكتب:

ب 2 = ب 1 +10

ونقوم بترجمة هذه العبارة إلى رياضيات بحتة:

ب 3 = ب 2 +30

حصلنا على معادلتين. نجمعها في نظام:

يبدو النظام بسيطًا. لكن هناك الكثير من المؤشرات المختلفة للأحرف. دعونا نستبدل بدلا من العضوين الثاني والثالث من التعبير عن طريق العضو الأول والمقام! عبثا ، أم ماذا رسمنا لهم؟

نحن نحصل:

لكن مثل هذا النظام لم يعد هدية ، نعم .. كيف نحل هذا؟ لسوء الحظ ، فإن التعويذة السرية العالمية لحل معقدة غير خطيلا توجد أنظمة في الرياضيات ولا يمكن أن توجد. أنه أمر رائع! لكن أول شيء يجب أن يتبادر إلى ذهنك عند محاولة كسر مثل هذا الجوز الصعب هو معرفة ذلك لكن أليست إحدى معادلات النظام مختزلة بصيغة جميلة ، مما يجعل من السهل ، على سبيل المثال ، التعبير عن أحد المتغيرات من حيث متغير آخر؟

دعونا تخمين. من الواضح أن المعادلة الأولى للنظام أبسط من الثانية. سوف نعذبه.) لماذا لا نحاول من المعادلة الأولى شئ ماعبر عن طريق شئ ما؟بما أننا نريد إيجاد المقام ف، فسيكون من الأفضل لنا التعبير عن ذلك ب 1 خلال ف.

لذلك دعونا نحاول القيام بهذا الإجراء باستخدام المعادلة الأولى ، باستخدام المعادلات القديمة الجيدة:

ب 1 س = ب 1 +10

ب 1 ف - ب 1 \ u003d 10

ب 1 (ف -1) = 10

الجميع! لقد عبرنا هنا غير ضروريلنا المتغير (ب 1) من خلال ضروري(ف). نعم ، لم يتم استلام أبسط تعبير. نوع من الكسر ... لكن نظامنا ذو مستوى لائق ، نعم.)

عادي. ماذا نفعل - نحن نعلم.

نكتب ODZ (بالضرورة!) :

ف ≠ 1

نضرب كل شيء في المقام (q-1) ونختزل كل الكسور:

10 ف 2 = 10 ف + 30(ف-1)

نقسم كل شيء على عشرة ، ونفتح الأقواس ، ونجمع كل شيء على اليسار:

ف 2 – 4 ف + 3 = 0

نحل الناتج ونحصل على جذرين:

ف 1 = 1

ف 2 = 3

هناك إجابة واحدة نهائية فقط: ف = 3 .

الجواب: 3

كما ترى ، فإن طريقة حل معظم المشكلات الخاصة بصيغة العضو التاسع في التقدم الهندسي هي نفسها دائمًا: نقرأ بانتباهحالة المشكلة ، وباستخدام صيغة المصطلح التاسع ، نترجم جميع المعلومات المفيدة إلى الجبر الخالص.

يسمى:

1) نكتب كل عضو معطى في المسألة بشكل منفصل وفقًا للصيغةنالعضو ال.

2) من حالة المشكلة ، نترجم العلاقة بين الأعضاء إلى شكل رياضي. نؤلف معادلة أو نظام معادلات.

3) نحل المعادلة الناتجة أو نظام المعادلات ، ونجد المعلمات غير المعروفة للتقدم.

4) في حالة وجود إجابة غامضة ، نقرأ بعناية حالة المشكلة بحثًا عن معلومات إضافية (إن وجدت). نتحقق أيضًا من الإجابة المستلمة مع شروط ODZ (إن وجدت).

والآن نقوم بإدراج المشاكل الرئيسية التي غالبًا ما تؤدي إلى أخطاء في عملية حل مشاكل التقدم الهندسي.

1. الحساب الابتدائي. العمليات مع الكسور والأرقام السالبة.

2. إذا كانت هناك مشكلة واحدة على الأقل من هذه النقاط الثلاث ، فستكون مخطئًا حتمًا في هذا الموضوع. للأسف ... فلا تكن كسولاً وكرر ما ذكر أعلاه. واتبع الروابط - اذهب. في بعض الأحيان يساعد.)

الصيغ المعدلة والمتكررة.

والآن دعونا نلقي نظرة على مشكلتين نموذجيتين في الاختبار مع عرض أقل شيوعًا للحالة. نعم ، نعم ، لقد خمنت ذلك! هذا معدلو متكررصيغ العضو ال n. لقد واجهنا بالفعل مثل هذه الصيغ وعملنا في التقدم الحسابي. كل شيء مشابه هنا. الجوهر هو نفسه.

على سبيل المثال ، مثل هذه المشكلة من OGE:

يتم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 3 2 ن . أوجد مجموع الحدين الأول والرابع.

هذه المرة لم يتم تقديم التقدم لنا كالمعتاد. نوع من الصيغة. وماذا في ذلك؟ هذه الصيغة أيضا صيغةنالعضو ال!نعلم جميعًا أن صيغة المصطلح التاسع يمكن كتابتها بشكل عام ، من خلال الحروف ، ومن أجل تقدم محدد. مع محددالأول والمقام.

في حالتنا ، نحن ، في الواقع ، نعطي صيغة مصطلح عام للتقدم الهندسي باستخدام المعلمات التالية:

ب 1 = 6

ف = 2

دعونا نتحقق؟) دعونا نكتب صيغة الحد النوني بشكل عام ونستبدل بها ب 1 و ف. نحن نحصل:

ب ن = ب 1 · ف ن -1

ب ن= 6 2ن -1

نبسط ، باستخدام عوامل القوة وخصائصها ، ونحصل على:

ب ن= 6 2ن -1 = 3 2 2ن -1 = 3 2ن -1+1 = 3 2ن

كما ترون ، كل شيء عادل. لكن هدفنا معك ليس إظهار اشتقاق صيغة معينة. هذا إذن ، استطراد غنائي. فقط للفهم.) هدفنا هو حل المشكلة وفقًا للصيغة المعطاة لنا في الحالة. هل فهمت ذلك؟) لذلك نحن نعمل مع الصيغة المعدلة مباشرة.

نحسب المصطلح الأول. بديل ن=1 في الصيغة العامة:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثله. بالمناسبة ، لست كسولًا جدًا وسألفت انتباهك مرة أخرى إلى خطأ فادح نموذجي في حساب الفصل الدراسي الأول. لا تنظر إلى الصيغة ب ن= 3 2ن، استعجل على الفور لكتابة أن أول عضو هو الترويكا! إنه خطأ كبير ، نعم ...)

نواصل. بديل ن=4 والنظر في الفصل الرابع:

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

وأخيرًا نحسب المبلغ المطلوب:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

الجواب: 54

مشكلة اخرى.

يتم إعطاء التقدم الهندسي بالشروط:

ب 1 = -7;

ب ن +1 = 3 ب ن

أوجد الحد الرابع من التقدم.

هنا يتم إعطاء التقدم من خلال الصيغة المتكررة. حسنًا ، حسنًا.) كيف تعمل مع هذه الصيغة - نحن نعلم ايضا.

نحن هنا نتصرف. خطوة بخطوة.

1) عد اثنين متتاليعضو في التقدم.

تم منحنا المصطلح الأول بالفعل. ناقص سبعة. لكن الحد التالي ، الثاني ، يمكن حسابه بسهولة باستخدام الصيغة العودية. إذا فهمت كيف تعمل ، بالطبع.)

هنا ننظر في المصطلح الثاني حسب المشهور الأول:

ب 2 = 3 ب 1 = 3 (-7) = -21

2) نحن نعتبر مقام التقدم

أيضا لا توجد مشكلة. مباشرة ، حصة ثانيةديك على أولاً.

نحن نحصل:

ف = -21/(-7) = 3

3) اكتب الصيغةنفي الشكل المعتاد والنظر في العضو المطلوب.

حسنًا ، نعرف الحد الأول والمقام أيضًا. نكتب هنا:

ب ن= -7 3ن -1

ب 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

الجواب: -189

كما ترى ، فإن العمل مع مثل هذه الصيغ للتقدم الهندسي لا يختلف في الأساس عن ذلك بالنسبة للتقدم الحسابي. من المهم فقط فهم الجوهر العام ومعنى هذه الصيغ. حسنًا ، يجب أيضًا فهم معنى التقدم الهندسي ، نعم.) وبعد ذلك لن تكون هناك أخطاء غبية.

حسنًا ، دعنا نقرر بمفردنا؟)

مهام أولية تمامًا للإحماء:

1. نظرا للتقدم الهندسي الذي ب 1 = 243 و ف = -2/3. أوجد الحد السادس من التقدم.

2. المصطلح الشائع للتقدم الهندسي تعطى من خلال الصيغة ب ن = 5∙2 ن +1 . أوجد رقم العضو المكون من ثلاثة أرقام الأخير في هذا التقدم.

3. يُعطى التقدم الهندسي بالشروط التالية:

ب 1 = -3;

ب ن +1 = 6 ب ن

أوجد الحد الخامس من التقدم.

أكثر تعقيدًا:

4. إعطاء تسلسل هندسي:

ب 1 =2048; ف =-0,5

ما هو الحد السلبي السادس منه؟

ما الذي يبدو صعبًا للغاية؟ مُطْلَقاً. سيوفر المنطق وفهم معنى التقدم الهندسي. حسنًا ، صيغة الفصل التاسع بالطبع.

5. الحد الثالث للتقدم الهندسي هو -14 والحد الثامن هو 112. أوجد مقام التقدم.

6. مجموع الحدين الأول والثاني للتقدم الهندسي هو 75 ، ومجموع الحدين الثاني والثالث هو 150. أوجد الحد السادس للتقدم.

الإجابات (في حالة فوضى): 6 ؛ -3888 ؛ -1 ؛ 800 ؛ -32 ؛ 448.

هذا كل شيء تقريبًا. يبقى فقط لمعرفة كيفية العد مجموع أول n من الحدود للتقدم الهندسينعم اكتشف تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائيومقدارها. بالمناسبة شيء مثير للاهتمام وغير عادي! المزيد عن ذلك في الدروس اللاحقة.)