Ako je baza logaritma manja od 1. Logaritamske nejednakosti - Hipermarket znanja
Logaritamske nejednadžbe
U prethodnim lekcijama upoznali smo se s logaritamskim jednadžbama i sada znamo što su i kako ih riješiti. A današnja lekcija bit će posvećena proučavanju logaritamskih nejednakosti. Koje su to nejednadžbe i koja je razlika između rješavanja logaritamske jednadžbe i nejednadžbi?
Logaritamske nejednadžbe su nejednadžbe koje imaju varijablu ispod predznaka logaritma ili u svojoj bazi.
Ili se također može reći da je logaritamska nejednadžba nejednadžba u kojoj će njena nepoznata vrijednost, kao u logaritamskoj jednadžbi, biti pod predznakom logaritma.
Najjednostavnije logaritamske nejednadžbe izgledaju ovako:
gdje su f(x) i g(x) neki izrazi koji ovise o x.
Pogledajmo ovo koristeći sljedeći primjer: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Rješavanje logaritamskih nejednadžbi
Prije rješavanja logaritamskih nejednadžbi, vrijedi napomenuti da su one kada se riješe slične eksponencijalnim nejednadžbama, naime:
Prvo, kada prelazimo s logaritama na izraze pod znakom logaritma, također trebamo usporediti bazu logaritma s jedinicom;
Drugo, kada rješavamo logaritamsku nejednadžbu pomoću promjene varijabli, trebamo rješavati nejednadžbe s obzirom na promjenu dok ne dobijemo najjednostavniju nejednadžbu.
Ali upravo smo mi razmatrali slične trenutke rješavanja logaritamskih nejednadžbi. Sada pogledajmo prilično značajnu razliku. Vi i ja znamo da logaritamska funkcija ima ograničenu domenu definicije, pa kada prelazite s logaritama na izraze koji su pod znakom logaritma, morate uzeti u obzir raspon prihvatljivih vrijednosti (ODV).
Odnosno, treba imati na umu da pri rješavanju logaritamske jednadžbe prvo možemo pronaći korijene jednadžbe, a zatim provjeriti ovo rješenje. Ali rješavanje logaritamske nejednadžbe neće ići na ovaj način, jer će od logaritama do izraza pod znakom logaritma biti potrebno zapisati ODZ nejednadžbe.
Osim toga, vrijedi podsjetiti da se teorija nejednakosti sastoji od realnih brojeva, a to su pozitivni i negativni brojevi, kao i broja 0.
Na primjer, kada je broj "a" pozitivan, tada se mora koristiti sljedeći zapis: a > 0. U tom će slučaju i zbroj i umnožak tih brojeva također biti pozitivni.
Osnovni princip rješavanja nejednadžbe je zamijeniti je jednostavnijom nejednadžbom, ali najvažnije je da ona bude ekvivalentna zadanoj. Nadalje, dobili smo i nejednadžbu i opet je zamijenili onom koja ima jednostavniji oblik, i tako dalje.
Rješavajući nejednadžbe s varijablom, potrebno je pronaći sva njezina rješenja. Ako dvije nejednadžbe imaju istu varijablu x, tada su te nejednadžbe ekvivalentne, pod uvjetom da su im rješenja ista.
Prilikom izvođenja zadataka za rješavanje logaritamskih nejednadžbi potrebno je zapamtiti da kada je a > 1 tada logaritamska funkcija raste, a kada je 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Načini rješavanja logaritamskih nejednadžbi
Sada pogledajmo neke od metoda koje se koriste pri rješavanju logaritamskih nejednadžbi. Za bolje razumijevanje i asimilaciju pokušat ćemo ih razumjeti na konkretnim primjerima.
Znamo da najjednostavnija logaritamska nejednadžba ima sljedeći oblik:
U ovoj nejednakosti, V - je jedan od takvih znakova nejednakosti kao što su:<,>, ≤ ili ≥.
Kada je baza ovog logaritma veća od jedan (a>1), čineći prijelaz s logaritama na izraze pod znakom logaritma, tada je u ovoj verziji znak nejednakosti sačuvan, a nejednakost će izgledati ovako:
što je ekvivalentno sljedećem sustavu:
U slučaju kada je baza logaritma veća od nule i manja od jedinice (0 Ovo je ekvivalentno ovom sustavu: Pogledajmo još primjera rješavanja najjednostavnijih logaritamskih nejednakosti prikazanih na slici ispod: Vježbajte. Pokušajmo riješiti ovu nejednakost: Odluka o području dopuštenih vrijednosti. Sada pokušajmo pomnožiti njegovu desnu stranu s: Da vidimo što možemo učiniti: Sada prijeđimo na transformaciju sublogaritamskih izraza. Budući da je baza logaritma 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; A iz ovoga slijedi da interval koji smo dobili u cijelosti pripada ODZ i rješenje je takve nejednadžbe. Evo kakav smo odgovor dobili: Pokušajmo sada analizirati što nam je potrebno za uspješno rješavanje logaritamskih nejednakosti? Najprije usredotočite svu svoju pozornost i pokušajte ne pogriješiti pri izvođenju transformacija koje su dane u ovoj nejednadžbi. Također, treba imati na umu da je pri rješavanju takvih nejednadžbi potrebno spriječiti širenje i sužavanje ODZ nejednadžbe, što može dovesti do gubitka ili dobivanja stranih rješenja. Drugo, kada rješavate logaritamske nejednadžbe, morate naučiti razmišljati logično i razumjeti razliku između takvih koncepata kao što su sustav nejednakosti i skup nejednakosti, tako da možete lako odabrati rješenja nejednakosti, a pritom se voditi njegovim DHS-om. Treće, da biste uspješno riješili takve nejednakosti, svatko od vas mora savršeno dobro poznavati sva svojstva elementarnih funkcija i jasno razumjeti njihovo značenje. Takve funkcije uključuju ne samo logaritamske, već i racionalne, snage, trigonometrijske itd., Jednom riječju, sve one koje ste učili tijekom školske algebre. Kao što vidite, nakon što ste proučili temu logaritamskih nejednakosti, nema ništa teško u rješavanju ovih nejednakosti, pod uvjetom da ste pažljivi i uporni u postizanju svojih ciljeva. Kako ne bi bilo problema u rješavanju nejednakosti, trebate trenirati što je više moguće, rješavajući različite zadatke i istovremeno zapamtiti glavne načine rješavanja takvih nejednakosti i njihovih sustava. S neuspješnim rješenjima logaritamskih nejednakosti, trebali biste pažljivo analizirati svoje pogreške kako im se u budućnosti više ne biste vraćali. Za bolju asimilaciju teme i konsolidaciju obrađenog materijala riješite sljedeće nejednakosti: Među cijelom raznolikošću logaritamskih nejednakosti posebno se proučavaju nejednadžbe s promjenjivom bazom. Rješavaju se prema posebnoj formuli, koja se iz nekog razloga rijetko uči u školi: log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0 Umjesto čavke "∨" možete staviti bilo koji znak nejednakosti: više ili manje. Glavna stvar je da su u obje nejednakosti predznaci isti. Tako se rješavamo logaritama i problem svodimo na racionalnu nejednadžbu. Potonje je mnogo lakše riješiti, ali kada se odbace logaritmi, mogu se pojaviti dodatni korijeni. Da biste ih odrezali, dovoljno je pronaći raspon dopuštenih vrijednosti. Ako ste zaboravili ODZ logaritma, preporučujem da ga ponovite - pogledajte "Što je logaritam". Sve što se odnosi na raspon prihvatljivih vrijednosti mora se posebno napisati i riješiti: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Ove četiri nejednakosti čine sustav i moraju se ispuniti istovremeno. Kada se pronađe raspon prihvatljivih vrijednosti, ostaje ga prijeći rješenjem racionalne nejednadžbe - i odgovor je spreman. Zadatak. Riješite nejednadžbu: Prvo, napišimo ODZ logaritma: Prve dvije nejednakosti se izvode automatski, a posljednja će se morati napisati. Budući da je kvadrat broja nula ako i samo ako je sam broj nula, imamo: x 2 + 1 ≠ 1; Ispada da su ODZ logaritma svi brojevi osim nule: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sada rješavamo glavnu nejednakost: Izvodimo prijelaz s logaritamske nejednadžbe na racionalnu. U izvornoj nejednakosti postoji predznak "manje od", pa bi i rezultirajuća nejednakost trebala biti sa predznakom "manje od". Imamo: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0; Nule ovog izraza: x = 3; x = -3; x = 0. Štoviše, x = 0 je korijen druge množine, što znači da se pri prolasku kroz njega predznak funkcije ne mijenja. Imamo: Dobivamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ovaj skup je u potpunosti sadržan u ODZ logaritma, što znači da je to odgovor. Često se izvorna nejednakost razlikuje od gornje. To je lako popraviti prema standardnim pravilima za rad s logaritmima - pogledajte "Osnovna svojstva logaritama". Naime: Zasebno vas želim podsjetiti na raspon prihvatljivih vrijednosti. Budući da u izvornoj nejednadžbi može biti više logaritama, potrebno je pronaći DPV svakog od njih. Dakle, opća shema za rješavanje logaritamskih nejednakosti je sljedeća: Zadatak. Riješite nejednadžbu: Pronađite domenu definicije (ODZ) prvog logaritma: Rješavamo metodom intervala. Pronalaženje nula brojnika: 3x − 2 = 0; Zatim - nule nazivnika: x − 1 = 0; Na koordinatnoj strelici označavamo nule i znakove: Dobivamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Drugi logaritam ODZ bit će isti. Ako mi ne vjerujete, možete provjeriti. Sada transformiramo drugi logaritam tako da je baza dva: Kao što vidite, trojke na bazi i ispred logaritma su se smanjile. Dobijte dva logaritma s istom bazom. Spojimo ih zajedno: log 2 (x − 1) 2< 2; Dobili smo standardnu logaritamsku nejednakost. Logaritama se rješavamo formulom. Budući da postoji znak manje u izvornoj nejednakosti, rezultirajući racionalni izraz također mora biti manji od nule. Imamo: (f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0; Imamo dva kompleta: Ostaje još prijeći ove skupove - dobivamo pravi odgovor: Zanima nas presjek skupova, pa biramo intervale osjenčane na obje strelice. Dobivamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - sve točke su punktirane. Nejednadžba se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju. Metode za rješavanje logaritamskih nejednakosti ne razlikuju se osim u dvije stvari. Prvo, pri prijelazu s logaritamske nejednakosti na nejednakost sublogaritamskih funkcija slijedi slijedi znak dobivene nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo. Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prijelazu s logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija znak nejednakosti čuva, a ako je manja od $1$, onda se obrće. Drugo, rješenje svake nejednadžbe je interval, pa je stoga na kraju rješenja nejednadžbe sublogaritamskih funkcija potrebno sastaviti sustav dviju nejednadžbi: prva nejednadžba tog sustava bit će nejednadžba sublogaritamske funkcije, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednadžbu. Riješimo nejednakosti: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ Baza logaritma je $2>1$, pa se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobivamo: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in )
Rješenje primjera
3x > 24;
x > 8. 
Što je potrebno za rješavanje logaritamskih nejednadžbi?
Domaća zadaća
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Transformacija logaritamskih nejednadžbi
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Praksa.
