Jika basis logaritma kurang dari 1. Ketidaksetaraan logaritma - Knowledge Hypermarket
Pertidaksamaan logaritmik
Dalam pelajaran sebelumnya, kami berkenalan dengan persamaan logaritmik dan sekarang kami tahu apa itu dan bagaimana menyelesaikannya. Dan pelajaran hari ini akan dikhususkan untuk mempelajari ketidaksetaraan logaritmik. Apa ketidaksetaraan ini dan apa perbedaan antara menyelesaikan persamaan logaritma dan ketidaksetaraan?
Pertidaksamaan logaritmik adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel di bawah tanda logaritma atau pada dasarnya.
Atau, kita juga dapat mengatakan bahwa pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang nilainya tidak diketahui, seperti dalam persamaan logaritma, akan berada di bawah tanda logaritma.
Ketidaksetaraan logaritmik paling sederhana terlihat seperti ini:
di mana f(x) dan g(x) adalah beberapa ekspresi yang bergantung pada x.
Mari kita lihat ini menggunakan contoh berikut: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Memecahkan ketidaksetaraan logaritmik
Sebelum menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, perlu dicatat bahwa ketika diselesaikan, pertidaksamaan tersebut mirip dengan pertidaksamaan eksponensial, yaitu:
Pertama, saat berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, kita juga perlu membandingkan basis logaritma dengan satu;
Kedua, saat menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik menggunakan perubahan variabel, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan sehubungan dengan perubahan tersebut sampai kita mendapatkan pertidaksamaan yang paling sederhana.
Tapi kamilah yang mempertimbangkan momen serupa untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik. Sekarang mari kita lihat perbedaan yang cukup signifikan. Anda dan saya tahu bahwa fungsi logaritma memiliki domain definisi yang terbatas, jadi saat berpindah dari logaritma ke ekspresi yang berada di bawah tanda logaritma, Anda perlu memperhitungkan kisaran nilai yang dapat diterima (ODV).
Artinya, harus diingat bahwa saat menyelesaikan persamaan logaritma, pertama-tama kita dapat menemukan akar persamaan tersebut, lalu memeriksa solusi ini. Tetapi penyelesaian ketidaksetaraan logaritma tidak akan berhasil dengan cara ini, karena berpindah dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, ODZ ketidaksetaraan perlu dituliskan.
Selain itu, perlu diingat bahwa teori ketidaksetaraan terdiri dari bilangan real, yaitu bilangan positif dan negatif, serta bilangan 0.
Misalnya, bila angka "a" adalah positif, maka notasi berikut harus digunakan: a > 0. Dalam hal ini, jumlah dan produk dari angka-angka ini juga akan positif.
Prinsip dasar penyelesaian pertidaksamaan adalah menggantinya dengan pertidaksamaan yang lebih sederhana, tetapi yang utama adalah setara dengan pertidaksamaan yang diberikan. Selanjutnya, kami juga memperoleh pertidaksamaan dan menggantinya lagi dengan bentuk yang lebih sederhana, dan seterusnya.
Memecahkan ketidaksetaraan dengan variabel, Anda perlu menemukan semua solusinya. Jika dua pertidaksamaan memiliki variabel x yang sama, maka pertidaksamaan tersebut ekuivalen, asalkan penyelesaiannya sama.
Saat melakukan tugas untuk menyelesaikan ketidaksetaraan logaritmik, perlu diingat bahwa ketika a > 1, maka fungsi logaritma meningkat, dan ketika 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Cara untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik
Sekarang mari kita lihat beberapa metode yang dilakukan saat menyelesaikan ketidaksetaraan logaritmik. Untuk pemahaman dan asimilasi yang lebih baik, kami akan mencoba memahaminya menggunakan contoh-contoh spesifik.
Kita tahu bahwa pertidaksamaan logaritmik paling sederhana memiliki bentuk berikut:
Dalam pertidaksamaan ini, V - adalah salah satu tanda pertidaksamaan seperti:<,>, ≤ atau ≥.
Ketika basis logaritma ini lebih besar dari satu (a>1), membuat transisi dari logaritma ke ekspresi di bawah tanda logaritma, maka dalam versi ini tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan pertidaksamaan akan terlihat seperti ini:
yang setara dengan sistem berikut:
Dalam kasus ketika basis logaritma lebih besar dari nol dan kurang dari satu (0 Ini setara dengan sistem ini: Mari kita lihat lebih banyak contoh penyelesaian ketidaksetaraan logaritmik paling sederhana yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini: Latihan. Mari kita coba selesaikan ketidaksetaraan ini: Keputusan area nilai yang dapat diterima. Sekarang mari kita coba kalikan sisi kanannya dengan: Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan: Sekarang, mari beralih ke transformasi ekspresi sublogaritmik. Karena basis logaritma adalah 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный: 3x - 8 > 16; Dan dari sini dapat disimpulkan bahwa interval yang kami peroleh sepenuhnya milik ODZ dan merupakan solusi untuk ketidaksetaraan tersebut. Inilah jawaban yang kami dapatkan: Sekarang mari kita coba menganalisis apa yang kita butuhkan untuk berhasil menyelesaikan ketidaksetaraan logaritmik? Pertama, fokuskan semua perhatian Anda dan usahakan untuk tidak membuat kesalahan saat melakukan transformasi yang diberikan dalam pertidaksamaan ini. Juga, harus diingat bahwa ketika menyelesaikan ketidaksetaraan seperti itu, perlu untuk mencegah perluasan dan penyempitan ketidaksetaraan ODZ, yang dapat menyebabkan hilangnya atau perolehan solusi asing. Kedua, saat memecahkan ketidaksetaraan logaritmik, Anda perlu belajar berpikir logis dan memahami perbedaan antara konsep-konsep seperti sistem ketidaksetaraan dan kumpulan ketidaksetaraan, sehingga Anda dapat dengan mudah memilih solusi untuk ketidaksetaraan, sambil dipandu oleh DHS-nya. Ketiga, agar berhasil menyelesaikan ketidaksetaraan tersebut, Anda masing-masing harus mengetahui dengan baik semua sifat fungsi dasar dan memahami dengan jelas artinya. Fungsi-fungsi tersebut tidak hanya mencakup logaritma, tetapi juga rasional, kekuatan, trigonometri, dll., Singkatnya, semua yang Anda pelajari selama aljabar sekolah. Seperti yang Anda lihat, setelah mempelajari topik ketidaksetaraan logaritmik, tidak ada yang sulit dalam menyelesaikan ketidaksetaraan ini, asalkan Anda penuh perhatian dan gigih dalam mencapai tujuan Anda. Agar tidak ada masalah dalam menyelesaikan pertidaksamaan, Anda perlu berlatih sebanyak mungkin, menyelesaikan berbagai tugas dan pada saat yang sama menghafal cara-cara utama untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut dan sistemnya. Dengan solusi ketidaksetaraan logaritmik yang gagal, Anda harus menganalisis kesalahan Anda dengan hati-hati agar tidak kembali lagi di masa mendatang. Untuk asimilasi topik yang lebih baik dan konsolidasi materi yang dibahas, selesaikan ketidaksetaraan berikut: Di antara seluruh variasi ketidaksetaraan logaritmik, ketidaksetaraan dengan basis variabel dipelajari secara terpisah. Mereka diselesaikan menurut formula khusus, yang karena alasan tertentu jarang diajarkan di sekolah: log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0 Alih-alih gagak "∨", Anda dapat memberi tanda ketidaksetaraan apa pun: lebih atau kurang. Hal utama adalah bahwa dalam kedua ketidaksetaraan tanda-tandanya sama. Jadi kita singkirkan logaritma dan mereduksi masalah menjadi pertidaksamaan rasional. Yang terakhir jauh lebih mudah untuk diselesaikan, tetapi ketika membuang logaritma, akar tambahan mungkin muncul. Untuk memotongnya, cukup menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Jika Anda lupa ODZ logaritma, saya sangat menyarankan untuk mengulanginya - lihat "Apa itu logaritma". Segala sesuatu yang berkaitan dengan rentang nilai yang dapat diterima harus ditulis dan diselesaikan secara terpisah: f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. Keempat ketidaksetaraan ini merupakan suatu sistem dan harus dipenuhi secara bersamaan. Ketika rentang nilai yang dapat diterima ditemukan, itu tetap disilangkan dengan solusi ketidaksetaraan rasional - dan jawabannya sudah siap. Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: Pertama, mari tulis ODZ dari logaritma: Dua ketidaksetaraan pertama dilakukan secara otomatis, dan yang terakhir harus ditulis. Karena kuadrat suatu bilangan adalah nol jika dan hanya jika bilangan itu sendiri adalah nol, kita memiliki: x 2 + 1 ≠ 1; Ternyata ODZ dari logaritma adalah semua bilangan kecuali nol: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Sekarang kami memecahkan ketidaksetaraan utama: Kami melakukan transisi dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan rasional. Pada pertidaksamaan asli terdapat tanda “kurang dari”, sehingga pertidaksamaan yang dihasilkan juga harus bertanda “kurang dari”. Kita punya: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0; Nol dari ungkapan ini: x = 3; x = -3; x = 0. Selain itu, x = 0 adalah akar dari perkalian kedua, artinya ketika melewatinya, tanda fungsinya tidak berubah. Kita punya: Kita mendapatkan x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Himpunan ini sepenuhnya terkandung dalam ODZ logaritma, yang artinya inilah jawabannya. Seringkali ketidaksetaraan asli berbeda dari yang di atas. Ini mudah diperbaiki sesuai dengan aturan standar untuk bekerja dengan logaritma - lihat "Properti dasar logaritma". Yaitu: Secara terpisah, saya ingin mengingatkan Anda tentang kisaran nilai yang dapat diterima. Karena mungkin ada beberapa logaritma dalam pertidaksamaan awal, Anda harus mencari DPV masing-masing logaritma. Dengan demikian, skema umum untuk menyelesaikan ketidaksetaraan logaritmik adalah sebagai berikut: Tugas. Selesaikan pertidaksamaan: Temukan domain definisi (ODZ) dari logaritma pertama: Kami menyelesaikannya dengan metode interval. Menemukan nol pembilang: 3x − 2 = 0; Kemudian - nol penyebut: x−1 = 0; Kami menandai nol dan tanda pada panah koordinat: Kita mendapatkan x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritma kedua ODZ akan sama. Jika Anda tidak mempercayai saya, Anda dapat memeriksanya. Sekarang kita mengubah logaritma kedua sehingga basisnya adalah dua: Seperti yang Anda lihat, tiga kali lipat di pangkalan dan sebelum logaritma menyusut. Dapatkan dua logaritma dengan basis yang sama. Mari kita gabungkan mereka: log 2 (x − 1) 2< 2; Kami telah memperoleh ketidaksetaraan logaritmik standar. Kami menyingkirkan logaritma dengan rumus. Karena ada tanda kurang dari pada pertidaksamaan asli, persamaan rasional yang dihasilkan juga harus lebih kecil dari nol. Kita punya: (f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0; Kami mendapat dua set: Tetap melewati set ini - kami mendapatkan jawaban sebenarnya: Kami tertarik pada persimpangan set, jadi kami memilih interval yang diarsir pada kedua panah. Kami mendapatkan x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - semua titik tertusuk. Pertidaksamaan disebut logaritmik jika mengandung fungsi logaritmik. Metode untuk menyelesaikan ketidaksetaraan logaritmik tidak berbeda dari kecuali untuk dua hal. Pertama, ketika beralih dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan fungsi sublogaritmik, berikut ini mengikuti tanda pertidaksamaan yang dihasilkan. Itu mematuhi aturan berikut. Jika basis fungsi logaritma lebih besar dari $1$, maka saat beralih dari pertidaksamaan logaritmik ke pertidaksamaan fungsi sublogaritmik, tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan jika kurang dari $1$, maka dibalik. Kedua, solusi dari setiap ketidaksetaraan adalah interval, dan, oleh karena itu, pada akhir solusi dari ketidaksetaraan fungsi sublogaritmik, perlu untuk menyusun sistem dua ketidaksetaraan: ketidaksetaraan pertama dari sistem ini adalah ketidaksetaraan dari fungsi sublogaritmik, dan yang kedua adalah interval domain definisi fungsi logaritmik yang termasuk dalam pertidaksamaan logaritmik. Mari kita selesaikan pertidaksamaan: 1.
$\log_(2)((x+3)) \geq 3.$ $D(y): \x+3>0.$ $x \in (-3;+\infty)$ Basis logaritma adalah $2>1$, jadi tandanya tidak berubah. Menggunakan definisi logaritma, kita mendapatkan: $x+3 \geq 2^(3),$ $x \in )
Solusi dari contoh
3x > 24;
x > 8. 
Apa yang diperlukan untuk menyelesaikan ketidaksetaraan logaritmik?
Pekerjaan rumah
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.
Transformasi ketidaksetaraan logaritmik
x = 2/3.
x = 1.
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).
Praktik.
