مفهوم التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية. تحليل الخصائص الديناميكية للنظام. نمذجة الضوضاء البيضاء

الهدف من الدراسة هو تطوير طريقة منطقية موجهة للكمبيوتر العملاق (طريقة القيد المنطقي) وتكنولوجيا موجهة نحو الخدمة لإنشاء واستخدام نظام كمبيوتر لدراسة نوعية لديناميكيات سلوك مسارات الأنظمة الديناميكية الثنائية المستقلة على مدى فترة زمنية محدودة. يتم تأكيد أهمية الموضوع من خلال النطاق المتزايد باستمرار لتطبيقات النماذج الثنائية في البحث العلمي والتطبيقي ، فضلاً عن الحاجة إلى تحليل نوعي لمثل هذه النماذج ذات بُعد متجه كبير للحالة. يتم تقديم نموذج رياضي لنظام ثنائي مستقل على فترة زمنية محدودة ومعادلة منطقية مكافئة لهذا النظام. يُقترح كتابة مواصفات الخاصية الديناميكية بلغة المنطق الأصلي باستخدام محددات كمية وجودية وعالمية محدودة. يتم الحصول على المعادلات المنطقية للبحث عن حالات التوازن ودورات النظام الثنائي وشروط عزلها. تم تحديد الخصائص الرئيسية لنوع قابلية الوصول (قابلية الوصول ، والسلامة ، وإمكانية الوصول في وقت واحد ، وإمكانية الوصول في ظل قيود المرحلة ، والجاذبية ، والاتصال ، وإمكانية الوصول الكلي). لكل خاصية ، نموذجها مبني على شكل قيد منطقي (معادلة منطقية أو صيغة منطقية كمية) التي تفي بالمواصفات المنطقية للخاصية ومعادلات ديناميكيات النظام. وبالتالي ، فإن التحقق من جدوى الخصائص المختلفة لسلوك مسارات الأنظمة الديناميكية الثنائية المستقلة على مدى فترة زمنية محدودة يتم تقليله إلى مشكلة جدوى القيود المنطقية باستخدام حلول SAT و TQBF الحديثة. تم إعطاء مثال توضيحي لاستخدام هذه التقنية لاختبار جدوى بعض الخصائص المعطاة سابقًا. في الختام ، يتم سرد المزايا الرئيسية لطريقة القيد المنطقي ، وميزات تنفيذ برمجياتها في إطار نهج موجه نحو الخدمة ، والإرشادات لمواصلة تطوير الطريقة لفئات أخرى من الأنظمة الديناميكية الثنائية موضحة.

نظام ديناميكي ثنائي

خاصية ديناميكية

التحليل النوعي

قيود منطقية

مشكلة الرضا المنطقية

1. Biere A. ، Ganesh V. ، Grohe M. ، Nordstrom J. ، Williams R. Theory and Practice of SAT Solving. تقارير Dagstuhl. 2015 المجلد. 5. لا. 4. ر 98-122.

2. مارين بي ، بولينا إل ، جيونشيجليا إي ، ناريزانو إم ، تاكيلا أ. اثنا عشر عامًا من تقييمات QBF: QSAT هو PSPACE-Hard وهو واضح. فوندام. يخبر. 2016 المجلد. 149. ر. 133-58.

3. Bohman D. ، Posthof H. الأنظمة الديناميكية الثنائية. م: Energoatomizdat، 1986. 400 ص.

4. Maslov S.Yu. نظرية النظم الاستنتاجية وتطبيقاتها. موسكو: الراديو والاتصالات ، 1986. 133 ص.

5. Jhala R.، Majumdar R. فحص نموذج البرنامج. مسوحات الحوسبة ACM. 2009 المجلد. 41 لا. 4 ر.ع 21: 1 - 21: 54.

6. فاسيليف س. طريقة التخفيض والتحليل النوعي للأنظمة الديناميكية. الأول والثاني // Izvestiya RAN. النظم النظرية والتحكم. 2006. رقم 1. س 21-29. رقم 2 ، ص.5-17.

7. تنسيق DIMACS [مورد إلكتروني]. وضع الوصول: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (تم الوصول إليه في 24.07.2018).

8. معيار QDIMACS [مورد إلكتروني]. وضع الوصول: http://qbflib.org/qdimacs.html (تم الدخول في 07/24/2018).

9. Delgado-Eckert E. ، Reger J. ، Schmidt K. أنظمة الوقت المنفصلة ذات الديناميكيات المستندة إلى الأحداث: التطورات الأخيرة في أساليب التحليل والتركيب. ماريو ألبرتو جوردان (محرر). أنظمة زمنية منفصلة. intech. 2011. ر 447-476.

10. فاسيليف س. قابلية الوصول والاتصال في شبكة آلية مع قاعدة عامةتبديل الحالة // المعادلات التفاضلية. 2002. V. 38. No. 11. S. 1533-1539.

11. Bychkov IV، Oparin GA، Bogdanova V.G.، Gorsky SA، Pashinin A.A. تقنية متعددة الوكلاء لأتمتة الحل المتوازي للمعادلات المنطقية في بيئة الحوسبة الموزعة // التقنيات الحسابية. 2016. V.21. No. 3. S. 5–17.

12. Lonsing F. ، Biere A. DepQBF. Aware-Aware QBF solver. مجلة عن الرضا. النمذجة والحوسبة المنطقية. 2010. المجلد. 9. ر 71-76.

13. Oparin G.A.، Bogdanova V.G.، Pashinin A.A.، Gorsky S.A. حلول موزعة للمشكلات التطبيقية تعتمد على الخدمات المصغرة وشبكات الوكيل. بروك. من المتدرب 41. اتفاقية تكنولوجيا المعلومات والاتصالات والإلكترونيات والإلكترونيات الدقيقة (MIPRO-2018). ر. 1643–1648.

14. Bogdanova V.G.، Gorsky S.A. الحل المتوازي القابل للتطوير لمشكلات الرضاء المنطقية. بروك. من المتدرب 41. اتفاقية تكنولوجيا المعلومات والاتصالات. الإلكترونيات والإلكترونيات الدقيقة (MIPRO-2018). ر 244 - 249.

15. Bychkov IV ، Oparin G.A. ، Bogdanova V.G. ، Pashinin A.A. تقنية حل المشكلات التطبيقية استنادًا إلى نموذج مجال موضوع الحوسبة الموزعة: نهج لامركزي // المؤتمر الدولي الثاني عشر لتقنيات الحوسبة الموازية ، PaVT’2018 ، روستوف أون دون ، 2-6 أبريل 2018. مقالات قصيرة وأوصاف الملصقات. تشيليابينسك: مركز النشر في SUSU ، 2018. ص 34-48.

نطاق تطبيقات النماذج الديناميكية الثنائية واسع للغاية ، وكل عام يزداد عدد الكائنات والمهام التي يكون استخدامها مطلوبًا فقط. المثال الكلاسيكي هو الأوتوماتيكية الثنائية المتزامنة ، وهي نموذج للعديد من الأجهزة المنفصلة في أنظمة التحكم ، وتكنولوجيا الكمبيوتر ، والميكانيكا عن بعد. تشمل التطبيقات الحديثة للنماذج الديناميكية الثنائية مشاكل المعلوماتية الحيوية والاقتصاد وعلم الاجتماع وعدد من المجالات الأخرى التي تبدو بعيدة عن استخدام المتغيرات ثنائية القيمة. في هذا الصدد ، تزداد أهمية تطوير الأساليب الجديدة وتحسين الأساليب الحالية للتحليل النوعي لسلوك مسارات الأنظمة الديناميكية الثنائية (DDS) بشكل كبير.

كما هو معروف ، فإن الهدف من التحليل النوعي لنظام ديناميكي (وليس مجرد نظام ثنائي) هو الحصول على إجابة إيجابية أو سلبية على السؤال: هل الخاصية الديناميكية المطلوبة موجودة في نظام معين؟ دعنا نعيد صياغة هذا السؤال على النحو التالي: هل يفي سلوك مسارات النظام الديناميكي بمجموعة معينة من القيود التي تميز الخاصية؟ علاوة على ذلك ، سوف نستخدم هذا التفسير لهدف التحليل النوعي للخصائص الديناميكية للنظام.

بالنسبة إلى DDS ، التي يتم النظر في تشغيلها على فترة زمنية محدودة ، تكون هذه القيود منطقية ويتم كتابتها بلغة المعادلات المنطقية أو الصيغ المنطقية مع المحددات الكمية. النوع الأول من القيود يؤدي إلى الحاجة إلى حل مشكلة SAT (مشكلة الرضا المنطقية) ؛ النوع الثاني من القيود مرتبط بحل مشكلة TQBF (التحقق من حقيقة الصيغ المنطقية الكمية). المشكلة الأولى هي ممثل نموذجي لفئة التعقيد NP ، والمشكلة الثانية هي فئة التعقيد PSPACE. كما هو معروف ، فإن اكتمال PSPACE لمشكلة منفصلة يعطي دليلًا أقوى على قابليتها للتغلب على اكتمال NP. وبسبب هذا ، فإن تقليل مشكلة التحليل النوعي لـ DDS إلى مشكلة SAT هو أكثر تفضيلًا من تقليل مشكلة TQBF. في الحالة العامة ، لا يمكن تمثيل دراسة كل خاصية من خصائص DDS بلغة المعادلات المنطقية.

تم توضيح الإمكانية النظرية لاستخدام القيود المنطقية (أي المعادلات المنطقية) في التحليل النوعي لـ DDS لأول مرة في. ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن تطبيق هذا النهج في الممارسة العملية في ذلك الوقت كان مقيدًا بسبب عدم وجود خوارزميات وبرامج فعالة لحل المعادلات المنطقية (خاصة مع عدد كبير من المتغيرات غير المعروفة) ، مما يقلل بشكل كبير من مساحة البحث. في العقد الماضي ، نتيجة لبحوث مكثفة في هذا المجال ، ظهر عدد كافٍ من أدوات حل المعادلات المنطقية (SAT solvers) التي تستخدم الإنجازات الحديثة (الاستدلال الجديد ، هياكل البيانات السريعة ، الحوسبة المتوازية ، إلخ) في الحل. مشكلة الرضا المنطقية. كما لوحظت عمليات مماثلة (ولكن مع بعض التأخير) في مجال إنشاء خوارزميات وبرامج أكثر فاعلية لحل مشكلة TQBF. وبالتالي ، حتى الآن ، هناك جميع المتطلبات الأساسية اللازمة للتطوير المنهجي لطريقة القيود المنطقية في التحليل النوعي لـ DDS ، وتنفيذ برمجياتها وتطبيقها في حل المشكلات العلمية والتطبيقية.

بالإضافة إلى طريقة القيد المنطقي ، فإن طرق التحليل النوعي الأخرى قابلة للتطبيق أيضًا على DDS ، والتي تشمل التحليل الاستنتاجي ، وفحص النموذج ، وطريقة التخفيض. كل من هذه الطرق (بما في ذلك طريقة القيد المنطقي) لها حدودها ومزاياها وعيوبها. العيب الشائع هو أن جميع الطرق ذات طبيعة تعدادية وأن مشكلة تقليل العد أساسية لهذه الطرق.

يتم التعرف على أهمية التحليل الاستنتاجي ، الذي يتضمن تطبيق البديهيات وقواعد الاستدلال لإثبات الأداء الصحيح للنظام ، من قبل مجموعة واسعة من المتخصصين ، ولكن هذه طريقة شاقة وبالتالي نادرًا ما تستخدم. في طريقة فحص النموذج ، تستخدم لغة مواصفات الخاصية المطلوبة لغة المنطق الزمني ، وهو أمر غير معتاد بالنسبة للمتخصصين في ديناميكيات الأتمتة. ترتبط طريقة الاختزال ببناء نموذج مبسط (بمعنى معين) للنظام الأصلي ، ودراسة خصائصه وشروط نقل هذه الخصائص إلى النظام المعقد الأصلي. شروط نقل الملكية كافية فقط في هذه الحالة. تواجه بساطة فكرة طريقة الاختزال في التحليل النوعي لـ DDS مشكلة اختيار نظام مبسط يلبي جميع شروط الطريقة.

يتضمن الاستخدام العملي لطريقة القيد المنطقي خوارزمية وأتمتة العمليات التالية:

1) تطوير لغة منطقية لمواصفات الخصائص الديناميكية التي تركز على متخصص في ديناميكيات النظام ؛

2) بناء نموذج لخاصية ديناميكية في شكل قيد منطقي من نوع أو آخر يلبي المواصفات المنطقية للخاصية ومعادلات ديناميكيات النظام الثنائي ؛

3) عرض النموذج الناتج بالتنسيق الدولي DIMACS أو QDIMACS ؛

4) اختيار (تطوير) حل متوازي (موزع) فعال لمشكلة تلبية القيود المنطقية (SAT أو TQBF solver) ؛

5) تطوير أدوات لإنشاء خدمات البرمجيات ؛

6) تطوير خدمات البحث النوعي للخصائص الديناميكية المختلفة لـ DDS.

هدفالدراسة الحالية هي حل أول مشكلتين فقط فيما يتعلق بخوارزمية الدراسات النوعية لـ DDS المتزامن (بدون مدخلات تحكم). تسمى هذه الأنظمة في المنشورات باللغة الإنجليزية شبكات منطقية متزامنة (شبكة منطقية). الجوانب الأخرى لتطبيق طريقة القيد المنطقي (بما في ذلك DDS مع مدخلات التحكم) هي موضوع المنشورات التالية.

نموذج رياضي لنظام DDS المستقل

لنفترض أن X = Bn (B = (0، 1) هي مجموعة المتجهات الثنائية للبعد n (مساحة حالة DDS). لنفترض أن t∈T = (1،…، k) تدل على الوقت المنفصل (رقم الدورة).

لكل حالة x0∈X ، تسمى الحالة الأولية ، نحدد المسار x (t ، x0) كتسلسل محدود من الحالات x0 ، x1 ، ... ، xk من المجموعة X. علاوة على ذلك ، سننظر في DDS حيث كل زوج من الحالات المجاورة xt ، x (t - 1) (t∈T) ترتبط المسارات بالعلاقة

xt = F (xt - 1). (1)

هنا F: X> X هي دالة متجهية للجبر المنطقي ، تسمى وظيفة الانتقال. وبالتالي ، بالنسبة لأي x0∈X ، يمثل نظام المعادلات المنطقية (1) نموذجًا لديناميكيات سلوك مسارات DDS في فضاء الحالة X على فاصل زمني محدد T = (1 ، 2 ، ... ، k). هنا وأدناه ، يفترض أن تكون القيمة k في تعريف المجموعة T ثابتًا محددًا مسبقًا. هذا القيد طبيعي جدا. النقطة المهمة هي أنه في التحليل النوعي لسلوك مسارات DDS ، فإن مسألة ما يمكن قوله حول جدوى بعض الخصائص الديناميكية لـ k ثابتة وليست كبيرة جدًا ذات فائدة عملية. يعتمد اختيار قيمة k في كل حالة محددة على معلومات مسبقة حول مدة العمليات في محاكاة النظام المنفصل.

من المعروف أن نظام المعادلات المنطقية (1) بالحالة الأولية x0∈X لـ T = (1 ، 2 ، ... ، k) يعادل معادلة منطقية واحدة للصيغة

بالنسبة إلى k = 1 (يتم اعتبار التحولات من خطوة واحدة فقط) ، تأخذ المعادلة (2) الشكل

(3)

تحدد حلول هذه المعادلة رسمًا بيانيًا موجهًا يتكون من رؤوس 2n مميزة بإحدى حالات 2n للمجموعة X. وترتبط الرؤوس x0 و x1 من الرسم البياني بقوس موجه من الحالة x0 إلى الحالة x1. يسمى هذا الرسم البياني في نظرية الأتمتة الثنائية مخطط الانتقال. إن تمثيل سلوك DDS في شكل مخطط انتقالي واضح جدًا عند إنشاء المسارات ودراسة خصائصها ، ولكن لا يمكن تحقيقه عمليًا إلا للأبعاد الصغيرة n من متجه الحالة x∈X.

اللغة تعني تحديد الخصائص الديناميكية

من الأنسب تحديد مواصفات خاصية ديناميكية في لغة المنطق الرسمي. بعد الورقة ، نشير بواسطة X0∈X و X1∈X و X * X إلى مجموعات الحالات الأولية والمقبولة والهدف.

العناصر النحوية الرئيسية للصيغة المنطقية للخاصية الديناميكية هي: 1) متغيرات الموضوع (مكونات المتجهات x0 ، x1 ، ... ، xk ، الوقت t) ؛ 2) محدودية محدودة للوجود والعالمية ؛ 3) الوصلات المنطقية v ، & ؛ الصيغ النهائية. تمثل الصيغة النهائية التأكيد على أن بعض حالات مجموعة المسارات x (t، x0) (x0∈X0) تنتمي إلى مجموعتي التقييم X * و X1.

وتجدر الإشارة إلى أن استخدام المحددات الكمية الوجودية والعالمية المحدودة يوفر طريقة لكتابة خاصية ديناميكية مألوفة لمتخصص في الديناميات. في عملية إنشاء نموذج منطقي ، يتم استبدال خصائص النظام (1) بمحددات كمية مقيدة بأخرى عادية وفقًا للتعريفات التالية:

حيث A (y) هو المسند الذي يحد من قيمة المتغير y.

نظرًا لمدى محدودية نطاق المتغير t ، يتم استبدال المحددات الكمية المحدودة للوجود والعالمية فيما يتعلق بهذا المتغير بصيغ مكافئة لا تحتوي على محددات كمية

فيما يلي ، سنفترض أن عناصر المجموعات X0 و X1 و X * يتم تحديدها ، على التوالي ، بواسطة أصفار المعادلات المنطقية التالية

أو الوظائف المميزة لهذه المجموعات ،.

مع الأخذ في الاعتبار القيود المفروضة على الحالات الأولية G0 (x) = 0 ، جنبًا إلى جنب مع المعادلات (2 ، 3) ، سنستخدم المعادلات المنطقية التالية لتقصير التدوين:

(4)

التحليل النوعي الأولي لـ DDS المستقل

في مرحلة التحليل الأولي ، يمكن الكشف عن تفرع الدولة (مجموعة أسلافها المباشرين) ، ووجود حالات التوازن والمسارات المغلقة (الدورات) (إذا لزم الأمر).

ستسمى الحالة x1 في (3) خليفة للدولة x0 و x0 سلف الحالة x1. في DDS المستقل ، يكون لكل ولاية خلف واحد فقط ، ويمكن أن يختلف عدد أسلاف حالة معينة من صفر إلى 2n - 1. جميع الأسلاف المباشرة x0 للحالة s∈X هي أصفار المعادلة المنطقية

إذا لم يكن للمعادلة (6) حلول ، فلا يوجد أسلاف للحالات.

حالات التوازن (إن وجدت) هي حلول للمعادلة المنطقية

المسار x0 ، x1 ، ... ، xk يسمى دورة الطول k إذا كانت الحالات x0 ، x1 ، ... ، xk-1 مختلفة زوجيًا عن بعضها البعض و xk = x0. التسلسل الدوري للطول k (إن وجد) هو حل للمعادلة المنطقية

حيث = 0 ( ) - شروط الاختلاف الزوجي لمجموعة الحالات C لدورة طولها k. إذا لم يكن لأي من حالات الدورة أسلاف لا تنتمي إلى المجموعة C ، فإن هذه الدورة تسمى معزولة. دع عناصر s للمجموعة C يتم تحديدها بواسطة حل المعادلة المنطقية Gc (s) = 0. ثم من السهل إظهار أن حالة عزل الدورة تعادل عدم وجود الأصفار في المعادلة المنطقية التالية:

تحدد حلول المعادلة (7) (إن وجدت) حالات الدورة التي لها أسلاف لا تنتمي إلى المجموعة C.

نظرًا لأن حالة التوازن عبارة عن دورة طولها k = 1 ، فإن حالة العزل الخاصة بها تشبه حالة العزل مع k ≥ 2 ، مع اختلاف أن Gc (s) لها شكل الانفصال الكامل الذي يحدد حالة التوازن هذه.

في ما يلي ، ستسمى حالات ودورات التوازن غير المعزولة بالجاذبات.

مواصفات الخصائص الديناميكية لنوع قابلية الوصول

الخاصية الرئيسية لـ DDS ، وهي الحاجة إلى التحقق مما ينشأ غالبًا في الممارسة ، هي خاصية قابلية الوصول المدروسة تقليديًا في نظرية الرسم البياني (في حالتنا ، مثل هذا الرسم البياني هو مخطط انتقالي) وتنوعاته المختلفة. يتم تعريف قابلية الوصول على أنها المشكلة الكلاسيكية لتحليل سلوك مسارات DDS.

يرتبط تعريف هذه الخاصية بإسناد المجموعات السابقة X0 و X * و X1 (المقابلة لهذه المجموعات من المعادلات المنطقية). من المفترض أن المجموعات X0 و X * و X1 تفي بالقيد

نظرًا لأن المجموعة T محدودة ، فسيتم فهم خاصية قابلية الوصول وتنوعاتها على أنها خاصية قابلية الوصول العملي (قابلية الوصول في عدد محدود من الدورات). تعتبر خصائص نوع قابلية الوصول التالية:

1. تتم صياغة خاصية قابلية الوصول الرئيسية لمجموعة X * من مجموعة X0 على النحو التالي: أي مسار يتم إطلاقه من مجموعة الحالات الأولية X0 يصل إلى المجموعة المستهدفة X *. باستخدام محددات الكميات الوجودية والعالمية المقيدة ، فإن صيغة هذه الخاصية هي:

2. تضمن خاصية الأمان عدم إمكانية الوصول إلى المجموعة X * لأي مسار يتم إطلاقه من X0:

3. خاصية قابلية الوصول في وقت واحد. في بعض الحالات ، قد يتم تعيين "مطلب أكثر صرامة" ، والذي يتكون من أن كل مسار يصل إلى الهدف المحدد في دورات k بالضبط (k∈T):

4. خاصية قابلية الوصول في ظل قيود المرحلة:

تضمن هذه الخاصية أن جميع المسارات المنبعثة من المجموعة X0 ، حتى تصل إلى المجموعة المستهدفة X * ، موجودة في المجموعة X1.

5. خاصية الجذب. دع X * يكون عامل جذب. ثم تتطابق الصيغة المنطقية لخاصية الجذب مع صيغة خاصية قابلية الوصول الرئيسية:

أولئك. لكل مسار تم إصداره من المجموعة X0 ، هناك وقت t∈T ، يبدأ منه المسار لا يتجاوز المجموعة X *. تنتمي المجموعة X0 في هذه الحالة إلى جزء من منطقة الجذب للمجموعة X * (X0∈Xa ، حيث Xа هي منطقة الجذب الكاملة (تجمع) للجاذب).

لاحظ أن جميع المتغيرات في الصيغ أعلاه للخصائص متصلة فعليًا ، نظرًا لأن المسار x0 ، x1 ، ... ، xk يتم تحديده بالكامل من خلال الحالة الأولية. نظرًا لأنه يتم استبدال المحددات الكمية فيما يتعلق بالمتغير t بعمليات فصل متعدد أو اقتران المسندات المقابلة ، في كل من الصيغ يظل هناك محدد كمي عالمي واحد محدود () ، والذي يسمح لنا بكتابة الشروط لجدوى هذه في لغة المعادلات المنطقية (في شكل مشكلة SAT).

نقدم خاصيتين ، يؤدي التحقق منهما إلى ضرورة حل مشكلة TQBF.

6. خاصية الاتصال للمجموعة المستهدفة:

أولئك. هناك حالة أولية x0 × 0 بحيث يمكن الوصول إلى كل حالة هدف x * X * في وقت ما t∈T ، مما يعني أن هناك مسارًا يتوافق مع هذه الحالة ، بحيث تنتمي جميع الحالات المستهدفة x * ∈X * لهذا المسار.

7. خاصية قابلية الوصول الإجمالية لمجموعة X * من X0:

أولئك. يمكن الوصول إلى كل حالة مستهدفة من X0.

التحقق من جدوى الخصائص الديناميكية

بالنسبة للخصائص (1-5) ، يتم تقليل التحقق من جدواها لإيجاد أصفار المعادلة المنطقية ، والتي تعتبر تقنية تكوينها ذات طبيعة موحدة ويتم النظر فيها بالتفصيل فقط لخاصية تحقيق رئيسية. تؤدي الخصائص (6 ، 7) إلى مشكلة التحقق من صحة الصيغة المنطقية الكمية.

1. الخاصية الرئيسية للوصول. صيغتها المنطقية هي

مع الأخذ في الاعتبار (4) ، نكتب الصيغة (8) على النحو التالي

أين هي الوظيفة المميزة لمجموعة حالات المسار الصادرة من الحالة الأولية x0 × 0. دعنا نتخلص من المحدد الوجودي في (9). ثم سنحصل

أين هي الوظيفة المميزة للمجموعة X *. نحن نستبدل المُحدِدات الكُمية العالمية المُقيدة بالمُحددات الكمية العادية. نتيجة لذلك ، نحصل عليه

تكون الصيغة (10) صحيحة إذا وفقط إذا كان التعبير الكمي الفرعي صحيحًا بشكل مماثل ، أي

الحقيقة المتطابقة للتضمين تعني أن الوظيفة المنطقية هي نتيجة منطقية للوظيفة ، أي أي مسار بالحالة الأولية x0∈X0 يصل إلى المجموعة المستهدفة X *.

رضاء الهوية (11) يعادل غياب الأصفار في المعادلة المنطقية

في اشتقاق (12) ، تخلصنا من المعنى واستبدلنا ϕ * (x0، x1، ...، xk) بـ . إذا كانت المعادلة (12) تحتوي على حل واحد على الأقل ، فإن خاصية قابلية الوصول لا تصمد. يمثل هذا الحل (بمعنى معين) مثالاً مضادًا للممتلكات التي يتم فحصها ويمكن أن يساعد الباحث في تحديد سبب الخطأ.

علاوة على ذلك ، للإيجاز ، لكل خاصية (2-4) نكتب فقط معادلة من النوع (12) ، ونقترح على القارئ إعادة إنتاج الحجج الضرورية بشكل مستقل عن تلك المعطاة لخاصية قابلية الوصول الرئيسية.

2. خاصية السلامة

3. خاصية قابلية الوصول في وقت واحد

4. خاصية قابلية الوصول في ظل قيود المرحلة

5. خاصية الجذب. يتم التحقق من جدوى هذه الخاصية على مرحلتين. في المرحلة الأولى ، تم اكتشاف ما إذا كانت المجموعة X * هي عامل جذب. إذا كانت الإجابة بنعم ، فسيتم التحقق من خاصية قابلية الوصول الرئيسية في المرحلة الثانية. إذا كان يمكن الوصول إلى X * من X0 ، فسيتم استيفاء جميع شروط خاصية الجذب.

6. خاصية الاتصال

7. خاصية الوصول الكامل

بالنسبة للخصائص (6 ، 7) ، الشكل القياسي للمساواة بين متجهين منطقيين xt = x * له الشكل

دعنا نوضح التكنولوجيا المذكورة أعلاه للتحليل النوعي لـ DDS المستقل باستخدام طريقة القيد المنطقي عند التحقق من جدوى بعض الخصائص المذكورة أعلاه للنموذج 3.2 من العمل:

قم بالإشارة بواسطة x0∈X = B3 إلى الحالة الأولية للنموذج (13). دع T = (1 ، 2). دعنا نكتب وظائف التحولات من خطوة واحدة وخطوتين للنموذج (13) المطلوبة لمواصفات الخصائص:

(14)

حيث العلامة "." يدل على عمل الاقتران.

للتحقق من مدى ملاءمة كل خاصية ، يتم تحديد المجموعات الأولية (X0) والهدف (X *) ، والتي يتم تحديدها بواسطة أصفار المعادلات G0 (x) = 0 ، G * (x) = 0 أو بواسطة الخاصية وظائف هذه المجموعات (انظر القسم 2). كمحلل SAT ، يتم استخدام محلل مجمع أدوات REBUS (IC) ، ومحلل TQBF هو DepQBF. ويرد في الجدول ترميز المتغيرات في النماذج المنطقية للخصائص المذكورة أدناه لهذه المذيبات. 1 ، النماذج المنطقية لهذه الخصائص بتنسيقات DIMACS و QDIMACS موجودة في الجدول. 2.

الجدول 1

ترميز متغير

الجدول 2

نماذج الملكية المنطقية

1. خاصية قابلية الوصول الرئيسية (k = 2). لنفترض أن X0 = (x∈X: x1 = 0) ، X * = (x∈X: x1 = 1). يتم تحديد المجموعات الأولية والهدف على التوالي من خلال المعادلتين G0 (x) = x1 = 0 و. تأخذ المعادلة المنطقية (12) في هذه الحالة الشكل

حيث يتم تعريف الوظيفة ϕ (x0 ، x1 ، x2) في (14). يعطي محلل IR REBUS الإجابة "unsat" (لا تحتوي المعادلة على أصفار) ، وبالتالي فإن خاصية قابلية الوصول لـ X * من X0 مُرضية ، والتي يمكن رؤيتها بوضوح من مخطط الانتقال التالي الموضح في الشكل.

2. دورات بطول k = 2. تسلسل دوري بطول 2 (إن وجد) هو حل للمعادلة المنطقية

تبدو الوظيفة

لم يتم تضمين التعبير R (x0 ، x1) في المعادلة عند العثور على الدورة ، حيث لا توجد دورات بطول k = 1 (حالات التوازن) في النموذج (13). باستخدام IR REBUS solver ، تم الحصول على إجابتين (بتنسيق إخراج DIMACS): 1 2 3 4 5-6 0 و 1 2 -3 4 5 6 0 ، المقابلة للتسلسلات الدورية (الشكل): ((1 1 1) ، (1 1 0)) و ((1 1 0) ، (1 1 1)). تتطابق مجموعات حالات كلتا الدورتين ، مما يعني أن النموذج (13) له دورة واحدة بطول k = 2.

مخطط انتقال النظام (13)

3. خاصية عزل الدورة. إذا تم تحديد عناصر مجموعة الحالات C لدورة طولها k = 2 بواسطة حل المعادلة المنطقية Gc (s) = 0 ، فإن حالة عزل الدورة تعادل عدم وجود الأصفار في المعادلة المنطقية التالية معادلة:

بما أن C = ((1 1 1) ، (1 1 0)) ، لدينا

بالنسبة لهذه المعادلة ، يجد محلل IR REBUS حلين: -1 2 3 4 5 -6 0 و -1 2 -3 4 5 -6 0 (في التمثيل الثنائي ، وفقًا لترميز المتغيرات في الجدول 1 ، هذه أزواج من الحالات (0 1 1) ، (1 1 0) و ((0 1 0) ، (1 1 0)) وهكذا ، فإن حالة الدورة (1 1 0) لها سلفان ، (0 1 1) و (0 1 0) ، والتي لا تنتمي إلى دورة مجموعة الحالة وهذا يعني أن خاصية عزل الدورة غير راضية ، أي أن هذه الدورة هي عامل جذب.

4. خاصية الجذب. دع X * = C يكون عامل جذب. الصيغة المنطقية لخاصية الجذب هي نفس صيغة خاصية قابلية الوصول الرئيسية

والمعادلة المنطقية المقابلة لحالتنا لها الشكل

دعونا نكتب الوظائف G0 (x0) و (x0 و x1 و x2) و. الدالة ϕ (x0، x1، x2) معطاة في (14). بالنسبة إلى X * = C ، يكون التعبير هو. ضع في اعتبارك خيارين لتعيين مجموعة الحالات الأولية X0 ، لحالات الوفاء (A) وعدم الوفاء (B) لخاصية الجذب لـ k = دورتان.

A. دعونا. ثم

في هذه الحالة ، بالنسبة للمعادلة المنطقية (15) ، الإجابة هي "unsat". تم إرضاء خاصية الجذب لمجموعة معينة X0.

ب. دع. ثم

في هذه الحالة ، يجد IR REBUS للمعادلة (15) حلاً: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0 ، والذي يتوافق مع المسار ((1 0 1) ، (1 0 0) ، (0 1 1)). هذا المسار بالحالة الأولية x0 = (1 0 1) لا يصل إلى المجموعة X * = C في دورتين ، مما يعني أنه لا يمكن استيفاء خاصية الجذب بالنسبة لـ X0 المحدد.

5. خاصية الاتصال. الصيغة المنطقية لخاصية الاتصال لها شكل البيان التالي:

بالنسبة إلى k = 2 ϕ * (x0، x1، x2) = G0 (x0) ∨ϕ (x0، x1، x2) ، حيث يتم إعطاء الدالة ϕ (x0 ، x1 ، x2) في (14). دعونا نختار الحالة (1 0 1) كالحالة الأولى. ثم . دع المجموعة المستهدفة X * = ((0 1 1) ، (1 0 0)). في هذه الحالة ، يكون للوظيفة G * (x *) الشكل

لنكتب G * (x *) بتنسيق CNF:

باستخدام قانون De-Morgan ، نجد نفي الدالة ϕ * (x0، x1، x2). استبدال جميع الوظائف التي تم الحصول عليها في (16) ومع مراعاة ترميز المتغيرات المنطقية (الجدول 1) ، نحصل على نموذج منطقي بتنسيق QDIMACS (الجدول 2). يعطي حلال DepQBF الإجابة "جلس" ​​، مما يعني حقيقة البيان (16). تم استيفاء خاصية الاتصال الخاصة بـ X0 ، X * ، T = (1 ، 2).

خاتمة

تشمل المزايا الرئيسية لطريقة القيد المنطقي في الدراسة النوعية لـ DDS ما يلي:

1. اللغة المنطقية التي يستخدمها متخصص في ديناميات الأوتوماتا لتحديد خاصية ديناميكية من خلال استخدام محدودية الوجود والعالمية.

2. استنادًا إلى صيغة الخصائص والمعادلات الديناميكية ، يتم تنفيذ إنشاء المعادلة المنطقية المقابلة أو الصيغة البولينية الكمية تلقائيًا.

3. من السهل إلى حد ما أتمتة عملية تحويل التعبيرات المنطقية الناتجة إلى شكل عادي مترابط مع إنشاء ملف آخر في تنسيقات DIMAX و QDIMAX ، والتي يتم إدخالها لمحللات SAT وحلول QBF.

4. مشكلة تقليل العد يتم حلها إلى حد ما من قبل مطوري هذه المحاليل وهي محمية من المتخصصين في التحليل النوعي لـ DDS.

5. إمكانية حل مشكلة التحليل النوعي لـ DDS للأبعاد الكبيرة لمتجه الحالة n على فاصل زمني طويل بما فيه الكفاية T. من حيث عدد الحالات ، فإن طريقة القيد المنطقي تتناسب كميًا مع فحص النموذج طريقة. نظرًا لحقيقة حدوث زيادة كبيرة في أداء الخوارزميات المتخصصة لحل مشكلات SAT و TQBF في السنوات الأخيرة ، يمكن قياس العدد الإجمالي للمتغيرات في نموذج الخاصية المنطقية للمحللين الحديثين بالآلاف.

يتم تنفيذ برنامج التحليل النوعي لـ DDS المستند إلى طريقة القيود المنطقية في إطار نهج موجه نحو الخدمة باستخدام حلول متخصصة للمعادلات المنطقية. تقدم الورقة مثالاً على تنفيذ طريقة القيد المنطقي بناءً على نهج موجه نحو الخدمة للبحث عن الدورات وحالات التوازن في شبكات تنظيم الجينات.

تجدر الإشارة إلى أن طريقة القيد المنطقي هي طريقة عامة إلى حد ما للتحليل النوعي لـ DDS خلال فترة زمنية محدودة. لا تنطبق فقط على الأنظمة المستقلة ، ولكن أيضًا على الأنظمة ذات مدخلات التحكم ، والأنظمة ذات عمق الذاكرة أكبر من واحد ، على DDS العام ، عندما تكون وظيفة الانتقال غير قابلة للحل فيما يتعلق بالحالة xt ولها الشكل F (xt ، xt-1) = 0. بالنسبة لـ DDS مع المدخلات ، فإن خاصية التحكم وتنوعاتها المختلفة لها أهمية خاصة. بالإضافة إلى مشاكل تحليل DDS ، فإن طريقة القيد المنطقي قابلة للتطبيق على مشاكل تركيب التغذية الراجعة (ثابتة أو ديناميكية ، حسب الحالة أو عن طريق الإدخال) ، والتي تضمن تحقيق الخاصية الديناميكية المطلوبة في النظام المركب.

تم دعم الدراسة من قبل المؤسسة الروسية للأبحاث الأساسية ، المشروع رقم 18-07-00596 / 18.

رابط ببليوغرافي

نص

1 التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية إنشاء صور لمرحلة DS

2 النظام الديناميكي 2 النظام الديناميكي هو كائن رياضي يتوافق مع الأنظمة الفيزيائية والكيميائية والبيولوجية الحقيقية وأنظمة أخرى ، والتطور في الوقت المناسب ، والذي يتم تحديده بشكل فريد من خلال الحالة الأولية في أي فترة زمنية. يمكن أن يكون هذا الكائن الرياضي نظامًا من المعادلات التفاضلية المستقلة. يمكن ملاحظة تطور النظام الديناميكي في مساحة الدولة للنظام. نادرا ما يتم حل المعادلات التفاضلية تحليليا في شكل صريح. يعطي استخدام الكمبيوتر حلاً تقريبيًا للمعادلات التفاضلية على فترة زمنية محدودة ، مما لا يسمح لنا بفهم سلوك مسارات الطور بشكل عام. لذلك ، تكتسب طرق الدراسة النوعية للمعادلات التفاضلية دورًا مهمًا.

3 3 يمكن الحصول على الإجابة على السؤال المتعلق بأنماط السلوك التي يمكن إنشاؤها في نظام معين من ما يسمى صورة الطور للنظام ، وهي مجمل جميع مساراته الموضحة في فضاء متغيرات الطور (مساحة الطور) . من بين هذه المسارات عدد من المسارات الأساسية التي تحدد الخصائص النوعية للنظام. وتشمل هذه ، أولاً وقبل كل شيء ، نقاط التوازن المقابلة للأنظمة الثابتة للنظام ، والمسارات المغلقة (دورات الحد) المقابلة لأنظمة التذبذبات الدورية. يمكن الحكم على ما إذا كان النظام مستقرًا أم لا من خلال سلوك المسارات المجاورة: التوازن المستقر أو الدورة تجذب جميع المسارات القريبة ، في حين أن غير المستقر يصد بعضًا منها على الأقل. وبالتالي ، فإن "مستوى الطور ، المقسم إلى مسارات ، يعطي" صورة "مرئية بسهولة لنظام ديناميكي ، مما يجعل من الممكن فورًا ، وبنظرة واحدة ، تغطية المجموعة الكاملة من الحركات التي قد تنشأ في ظل ظروف أولية مختلفة." (A.A. Andronov ، A.A. Witt ، S.E. Khaikin. نظرية التذبذبات)

4 الجزء 1 التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية الخطية

5 5 نظام ديناميكي خطي مستقل ضع في اعتبارك نظامًا خطيًا متجانسًا مع معاملات ثابتة: (1) dx ax by، dt dy cx dy. dt يسمى المستوى الإحداثي xoy بمستوى الطور. يمر منحنى طور واحد فقط (مسار) عبر أي نقطة من المستوى. في النظام (1) ، هناك ثلاثة أنواع من مسارات الطور ممكنة: نقطة ومنحنى مغلق ومنحنى مفتوح. تقابل نقطة على مستوى الطور حلًا ثابتًا (موضع التوازن ، نقطة استراحة) للنظام (1) ، ومنحنى مغلق لحل دوري ، ومنحنى مفتوح إلى حل غير دوري.

6 مواضع التوازن لـ DS 6 نجد مواضع التوازن للنظام (1) عن طريق حل النظام: (2) المحور بمقدار 0 ، cx dy 0. النظام (1) له موضع توازن صفري واحد إذا كان محدد مصفوفة النظام: det a b A ad cb 0. c d إذا كان det A = 0 ، إذن ، بصرف النظر عن توازن الصفر ، هناك حلول أخرى ، لأنه في هذه الحالة يحتوي النظام (2) على مجموعة لا نهائية من الحلول. يتم تحديد السلوك النوعي لمسارات المرحلة (نوع موضع التوازن) من خلال القيم الذاتية لمصفوفة النظام.

7 تصنيف نقاط السكون 7 نجد القيم الذاتية لمصفوفة النظام عن طريق حل المعادلة: (3) 2 λ (أ د) λ ad bc 0. لاحظ أن a + d = tr A (تتبع المصفوفة) و ad bc = det A. تصنيف نقاط السكون في الحالة عند det A 0 ، موضح في الجدول: جذور المعادلة (3) 1 ، 2 - حقيقية ، من نفس العلامة (1 2> 0) 1 ، 2 - حقيقي ، من علامات مختلفة (1 2< 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр

8 استقرار نقاط السكون 8 القيم الذاتية لمصفوفة النظام (1) تحدد بشكل فريد طبيعة استقرار مواضع التوازن: شرط على الجزء الحقيقي من جذور المعادلة (3) 1. إذا كانت الأجزاء الحقيقية للجميع جذور المعادلة (3) سالبة ، ثم النقطة المتبقية من النظام (1) مستقرة بشكل مقارب. 2. إذا كان الجزء الحقيقي من جذر واحد على الأقل من المعادلة (3) موجبًا ، فإن النقطة المتبقية من النظام (1) تكون غير مستقرة. نوع النقطة وطبيعة الاستقرار عقدة مستقرة ، تركيز ثابت سرج ، عقدة غير مستقرة ، تركيز غير مستقر 3. إذا كانت المعادلة (3) لها جذور خيالية بحتة ، فإن النقطة المتبقية من النظام (1) تكون مستقرة ، ولكن ليست مقاربة. مركز

9 صور طور 9 عقدة ثابتة 1 2 ، 1< 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >

10 صور طور 10 تركيز ثابت 1،2 = أنا ،< 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, >0 ، 0 يشير الاتجاه الموجود على منحنى الطور إلى الاتجاه الذي تتحرك فيه نقطة الطور على طول المنحنى مع زيادة t.

11 صور طور 11 سرج 1 2 ، 1< 0, 2 >0 مركز 1،2 = i ، 0 يشير الاتجاه على منحنى الطور إلى الاتجاه الذي تتحرك فيه نقطة الطور على طول المنحنى مع زيادة t.

12 صور المرحلة 12 تحدث العقدة ثنائية الحرجة للأنظمة ذات الشكل: dx ax ، dt dy ay ، dt عندما يكون a 0. في هذه الحالة ، 1 = 2 = a. عقدة ثنائية الحرجة غير مستقرة إذا أ< 0, то узел асимптотически устойчив, если a >0 ، إذن فهو غير مستقر. يشير الاتجاه الموجود على منحنى الطور إلى الاتجاه الذي تتحرك فيه نقطة الطور على طول المنحنى مع زيادة t.

13 صور المرحلة 13 العقدة المتدهورة إذا كانت 1 = 2 0 وفي النظام (1) ب 2 + ص 2 0. إذا 1< 0, то устойчивый Если 1 >0 ، ثم غير مستقر يشير الاتجاه على منحنى الطور إلى اتجاه حركة نقطة الطور على طول المنحنى مع زيادة t.

14 مجموعة لا نهائية من نقاط السكون 14 إذا كان الاكتشاف A = 0 ، فإن النظام (1) لديه مجموعة لانهائية من مواضع التوازن. في هذه الحالة ، هناك ثلاث حالات ممكنة: جذور المعادلة (3) 1 1 = 0 ، = 2 = = 2 = 0 تحديد نقاط السكون النظام (2) يكافئ معادلة واحدة من الشكل x + y = 0 النظام ( 2) يكافئ المساواة العددية 0 = 0 النظام (2) يكافئ المعادلة x + y = 0 الموقع الهندسي لنقاط السكون الخط على مستوى الطور: x + y = 0 مستوى الطور الكامل الخط x + y = 0 في الحالة الثانية ، أي نقطة استراحة هي مستقر Lyapunov. في الحالة الأولى ، فقط إذا كانت 2< 0.

15 صور طور 15 خط نقاط استقرار ثابتة 1 = 0 ، 2< 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 >0 يشير الاتجاه الموجود على منحنى الطور إلى الاتجاه الذي تتحرك فيه نقطة الطور على طول المنحنى مع زيادة t.

16 صور طور 16 خط من نقاط السكون غير المستقرة 1 = 2 = 0 ستكون خطوط الطور موازية للخط المستقيم لنقاط السكون (x + y = 0) إذا كان التكامل الأول للمعادلة dy cx dy dx ax به الشكل x + y = C ، حيث C ثابت اعتباطي. يشير الاتجاه الموجود على منحنى الطور إلى الاتجاه الذي تتحرك فيه نقطة الطور على طول المنحنى مع زيادة t.

17 قواعد لتحديد نوع نقطة السكون محدد المصفوفة أ. محدد المصفوفة det A< 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A >0 طن< 0 tr A >0 طن< 0 tr A = 0 tr A >0 نوع النقطة الثابتة العقدة الثابتة السرج (ST) العقدة غير المستقرة (NU) الحرجة أو المتدهورة CL تركيز ثابت (UF) المركز تركيز غير مستقر (NF)

18 مخطط التشعب المركزي 18 det A det tra A 2 2 UU UF NF NU tr A Saddle

19 19 خوارزمية لإنشاء صورة طور LDS (1) 1. حدد مواضع التوازن عن طريق حل نظام المعادلات: ax ب 0 ، cx dy أوجد القيم الذاتية لمصفوفة النظام عن طريق حل المعادلة المميزة: 2 λ (a d ) λ ad bc حدد نوع نقطة السكون وقم بعمل استنتاج حول الاستقرار. 4. أوجد معادلات الخطوط المتساوية الأفقية والرأسية الرئيسية ورسمها على مستوى الطور. 5. إذا كان موضع التوازن سرجًا أو عقدة ، فابحث عن مسارات الطور التي تقع على خطوط مستقيمة تمر عبر الأصل. 6. رسم مسارات المرحلة. 7. تحديد اتجاه الحركة على طول مسارات الطور ، مع الإشارة إليها بأسهم على صورة المرحلة.

20 خطوط متساوية رئيسية 20 خط متساوي عمودي (VIS) عبارة عن مجموعة من النقاط في مستوى الطور حيث يكون الظل المرسوم لمسار الطور موازيًا للمحور الرأسي. نظرًا لأنه في هذه النقاط من مسارات المرحلة x (t) = 0 ، فإن معادلة LDS (1) لها الشكل: ax + by = 0.. نظرًا لأنه في هذه النقاط من مسارات الطور y (t) = 0 ، فإن معادلة LDS (1) لها الشكل: cx + dy = 0. لاحظ أن نقطة الراحة على مستوى الطور هي تقاطع الرئيسي خطوط متساوية. سيتم تمييز الخط المتساوي الرأسي على مستوى الطور بضربات رأسية ، والأفقي بضربات أفقية.

21 مسارات الطور 21 إذا كان موضع التوازن سرجًا أو عقدة ، فهناك مسارات طور تقع على خطوط مستقيمة تمر عبر الأصل. يمكن البحث عن معادلات هذه الخطوط بالصيغة * y = k x. بالتعويض عن y = k x في المعادلة: dy cx dy ، dx ax بواسطة لتحديد k ، نحصل على: (4) c kd () 0. a bk 2 k bk a d k c دعونا نصف مسارات الطور اعتمادًا على عدد وتعدد جذور المعادلة (4). * يمكن أيضًا البحث عن معادلات الخطوط المستقيمة التي تحتوي على مسارات طور بالصيغة x = k y. ak b ck d ثم لإيجاد المعاملات ، يجب على المرء أن يحل المعادلة k.

22 مسارات الطور 22 جذور المعادلة (4) ك 1 ك 2 نوع نقطة السكون عقدة السرج وصف مسارات الطور تسمى الخطوط المستقيمة y = k 1 x و y = k 2 x الفواصل. مسارات الطور المتبقية هي خطوط زائدة ، والخطوط التي تم العثور عليها هي خطوط مقاربة.الخطين y = k 1 x و y = k 2 x. تشكل بقية مسارات الطور قطوعًا مكافئة تلامس أحد الخطوط الموجودة في الأصل. تلمس مسارات الطور الخط المستقيم الموجه على طول ناقل eigenvector المقابل للخط الأصغر قيمه مطلقه(جذر المعادلة (3))

23 مسارات المرحلة 23 المعادلة (4) جذور ك 1 ك 2! ك 1 نوع نقطة السكون انحطاط العقدة عقدة السرج وصف مسارات الطور خط مستقيم ص = ك 1 س. مسارات الطور المتبقية هي فروع من القطع المكافئ التي تلامس هذا الخط عند نقطة الأصل ، والخطوط * y = k 1 x و x = 0 عبارة عن خطوط منفصلة. مسارات الطور المتبقية عبارة عن خطوط زائدة تمثل الخطوط التي تم العثور عليها خطوط مقاربة للخطوط * y = k 1 x و x = 0. تشكل مسارات الطور المتبقية قطوعًا مكافئة تلامس أحد الخطوط التي تم العثور عليها في الأصل. * إذا تم البحث عن معادلات الخطوط بالصيغة x = k y ، فستكون هذه الخطوط x = k 1 y و y = 0.

24 مسارات الطور 24 جذور المعادلة (4) kr نوع نقطة السكون العقدة الحرجة وصف مسارات الطور تقع جميع مسارات الطور على خطوط مستقيمة y = k x، kr. إذا كان موضع التوازن هو المركز ، فإن مسارات المرحلة تكون علامات حذف. إذا كان موضع التوازن هو التركيز ، فإن مسارات الطور تكون لولبية. في حالة وجود خط من نقاط الراحة في LDS ، فمن الممكن العثور على معادلات جميع مسارات الطور عن طريق حل المعادلة: dy cx dy dx ax بواسطة تكاملها الأول x + y = C يحدد عائلة خطوط الطور .

25 اتجاه الحركة 25 إذا كان موضع التوازن عقدة أو بؤرة ، فسيتم تحديد اتجاه الحركة على طول مسارات الطور بشكل فريد من خلال ثباتها (نحو الأصل) أو عدم الاستقرار (من الأصل). صحيح ، في حالة التركيز ، من الضروري أيضًا ضبط اتجاه التواء (فك) اللولب في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة. يمكن القيام بذلك ، على سبيل المثال ، مثل هذا. أوجد إشارة المشتق y (t) عند نقاط المحور x. dy عند cx 0 ، إذا كانت x 0 ، فإن إحداثيات النقطة المتحركة على طول مسار الطور تزداد عند عبور "الشعاع الموجب للمحور x". وهذا يعني أن "التواء (عدم الالتواء)" للمسارات يحدث عكس اتجاه عقارب الساعة. عند dt dy dt y0 y0 cx 0 ، إذا كانت x 0 ، فإن "التواء (عدم الالتواء)" للمسارات يحدث في اتجاه عقارب الساعة.

26 اتجاه الحركة 26 إذا كان موضع التوازن هو المركز ، فيمكن تحديد اتجاه الحركة على طول مسارات الطور (في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة) بنفس الطريقة التي يتم بها تحديد اتجاه "التواء (فك)" المسار في حالة التركيز. في حالة "السرج" ، تحدث الحركة على طول أحد فواصله في اتجاه أصل الإحداثيات ، إلى جانب الآخر من أصل الإحداثيات. في جميع مسارات الطور الأخرى ، تحدث الحركة وفقًا للحركة على طول المستويات الفاصلة. لذلك ، إذا كان موضع التوازن سرجًا ، يكفي تحديد اتجاه الحركة على طول مسار معين. وبعد ذلك يمكنك تحديد اتجاه الحركة بشكل لا لبس فيه على طول جميع المسارات الأخرى.

27 اتجاه الحركة (السرج) 27 لتعيين اتجاه الحركة على طول مسارات الطور في حالة السرج ، يمكنك استخدام إحدى الطرق التالية: الطريقة الأولى تحديد أي من هذين الفصلين يتوافق مع قيمة ذاتية سالبة. تحدث الحركة على طوله إلى نقطة راحة. الطريقة الثانية: حدد كيف تتغير حدود نقطة متحركة على طول أي من الفواصل. على سبيل المثال ، بالنسبة إلى y = k 1 x لدينا: dx (abk1) t ax bk1x (a bk1) x ، x (t) x (0) e. dt yk x 1 إذا كانت x (t) عند t + ، فإن الحركة على طول المصفوفة الفاصلة y = k 1 x تحدث باتجاه نقطة السكون. إذا كانت x (t) عند t + ، فإن الحركة تأتي من نقطة السكون.

28 اتجاه الحركة (السرج) 28 الطريقة الثالثة إذا لم يكن المحور x عبارة عن مصفوفة فاصلة ، فحدد كيف يتغير إحداثيات النقطة المتحركة على طول مسار الطور عندما تعبر المحور x. عندما dy dt y0 cx 0 ، إذا كانت x 0 ، فإن إحداثي النقطة يزداد ، وبالتالي فإن الحركة على طول مسارات الطور التي تتقاطع مع الجزء الموجب من المحور x تحدث من الأسفل إلى الأعلى. إذا انخفض الإحداثي ، فستحدث الحركة من أعلى إلى أسفل. إذا حددت اتجاه الحركة على طول مسار الطور الذي يتقاطع مع المحور y ، فمن الأفضل تحليل التغيير في حدود النقطة المتحركة.

29 اتجاه الحركة 29 4 اتجاهات * أنشئ عند نقطة عشوائية (x 0، y 0) من مستوى الطور (بخلاف موضع التوازن) متجه السرعة: dx dy v، (ax0 by0، cx0 dy0). dt dt (x، y) 0 0 سيشير اتجاهه إلى اتجاه الحركة على طول مسار الطور الذي يمر عبر النقطة (x 0، y 0): (x 0، y 0) v * يمكن استخدام هذه الطريقة لتحديد اتجاه الحركة على طول مسارات الطور لأي نوع من نقاط السكون.

30 اتجاه الحركة 30 الطريقة 5 * تحديد مناطق "الثبات" للمشتقات: dx dt dy ax by، cx dy. dt ستكون حدود هذه المناطق هي الخطوط المتساوية الرئيسية. ستشير علامة المشتق إلى كيفية تغيير إحداثيات وإحداثيات نقطة متحركة على طول مسار الطور في مناطق مختلفة. ص ص س (ر)<0, y (t)>0x (ر)<0, y (t)<0 x x x (t)>0، y (t)> 0 x (t)> 0، y (t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

31 مثال dx dt dy dt 2x 2 y، x 2y 1. النظام له موضع توازن صفري فريد ، نظرًا لأن det A = بعد إنشاء المعادلة المميزة المقابلة 2 6 = 0 ، نجد جذوره 1،2 6. موقف التوازن هو سرج. 3. يتم البحث عن فواصل السرج بالصيغة y = kx. 4. خط متساوي عمودي: x + y = 0. خط متساوي أفقي: x 2y = 0. جذور حقيقية ومختلفة. 1 2 ك 2 6 ك ك ك ك ك 2 2 ك ، 2 ، 1 2 ، 22 ، 2 0 ، 22.

32 مثال 1 (سرج) 32 ارسم شرائح منفصلة y = k 1 x و y = k 2 x والخطوط المتساوية الرئيسية على مستوى الطور. y x تمتلئ بقية المستوى بالمسارات - القطوع الزائدة ، والتي تكون الفواصل لها خطوط مقاربة.

33 مثال 1 (سرج) 33 y x أوجد اتجاه الحركة على طول المسارات. للقيام بذلك ، يمكنك تحديد علامة المشتق y (t) عند نقاط المحور x. بالنسبة إلى y = 0 ، لدينا: dy dt y0 x 0 ، إذا كانت x 0. وهكذا ، يتناقص إحداثيات النقطة المتحركة على طول مسار الطور عند عبور "الشعاع الموجب للمحور x". هذا يعني أن الحركة على طول مسارات الطور التي تتقاطع مع الجزء الموجب من المحور x تحدث من أعلى إلى أسفل.

34 مثال 1 (سرج) 34 الآن أصبح من السهل ضبط اتجاه الحركة للمسارات الأخرى. ص س

35 مثال dx 4x2 y ، dt dy x3y dt 1. النظام له موضع توازن صفري فريد ، نظرًا لأن det A = بعد إنشاء المعادلة المميزة المقابلة = 0 ، نجد جذوره 1 = 2 ، 2 = 5. لذلك ، التوازن الموقف هو عقدة غير مستقرة. 3. الخطوط المستقيمة: y = kx. 1 3k 1 k k k k 4 2k، خط متساوي عمودي: 2x + y = 0. خط مستقيم أفقي: x + 3y = 0.

36 مثال 2 (عقدة غير مستقرة) 36 y x 2 = (1،1) m ، نثبت أن مسارات الطور المتبقية التي تشكل القطع المكافئ تلامس الخط y = x في الأصل. يحدد عدم استقرار وضع التوازن بشكل فريد اتجاه الحركة من نقطة الراحة.

37 مثال 2 (عقدة غير مستقرة) 37 بما أن 1 = 2 أصغر في القيمة المطلقة ، إذن ، بعد العثور على المتجه الذاتي المقابل = (a 1، a 2) m: 4 2 a1 a1 2 a1 a2 0، 1 3 a a 2 2 = (1،1) م ، نثبت أن مسارات الطور المتبقية التي تشكل قطع مكافئ تلامس الخط المستقيم y = x في الأصل. يحدد عدم استقرار وضع التوازن بشكل فريد اتجاه الحركة من نقطة الراحة. ص س

38 مثال dx x 4 y ، dt dy 4x2y dt< 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

39 مثال 3 (تركيز ثابت) 39 حدد علامة المشتق y (t) عند نقاط المحور x. بالنسبة إلى y = 0 لدينا: dy 4x 0 إذا كانت x 0. dt y0 y وهكذا ، يزداد إحداثيات النقطة المتحركة على طول مسار الطور عند عبور "الشعاع الموجب للمحور x". هذا يعني أن "التواء" المسارات يحدث عكس اتجاه عقارب الساعة. x

40 مثال dx x4 y ، dt dy x y dt 1. النظام له موضع توازن صفري فريد ، نظرًا لأن det A = بعد إنشاء المعادلة المميزة المقابلة 2 3 = 0 ، نجد جذوره 1،2 = i3. لذلك ، فإن موضع التوازن هو المركز. 3. خط متساوي عمودي: x 4y = 0. خط متساوي أفقي: x y 0. مسارات طور النظام عبارة عن علامات حذف. يمكن ضبط اتجاه الحركة على طولهم ، على سبيل المثال ، على هذا النحو.

41 مثال 4 (المركز) 41 حدد علامة المشتق y (t) عند نقاط على المحور x. بالنسبة إلى y = 0 ، لدينا: dy dt y0 x 0 ، إذا كانت x 0. y وهكذا ، يزداد تنسيق النقطة المتحركة على طول مسار الطور عند عبور "الشعاع الموجب للمحور x". هذا يعني أن الحركة على طول القطع الناقصة تحدث عكس اتجاه عقارب الساعة. x

42 مثال 5 (عقدة متدهورة) 42 dx x y، dt dy x3y dt عقدة متدهورة. 3. الخط المستقيم: y = kx. 13k k 2 k k k1.2 4. خط متساوي عمودي: x + y = 0. خط مستقيم أفقي: x 3y = 0.

43 مثال 5 (عقدة متدهورة) 43 y x دعونا نرسم خطوط متساوية وخط مستقيم على مستوى الطور الذي يحتوي على مسارات طور. تمتلئ بقية المستوى بالمسارات التي تقع على فروع القطع المكافئ المماس للخط y = x.

44 مثال 5 (عقدة متدهورة) 44 استقرار وضع التوازن يحدد بشكل فريد اتجاه الحركة نحو الأصل. ص س

45 مثال dx 4x 2 y ، dt dy 2x y dt نظرًا لأن محدد مصفوفة النظام det A = 0 ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من مواضع التوازن. كلهم يقعون على الخط y 2 x. بعد بناء المعادلة المميزة المقابلة 2 5 = 0 ، نجد جذورها 1 = 0 ، 2 = 5. وبالتالي ، فإن جميع مواضع التوازن مستقرة من Lyapunov. دعونا نبني معادلات مسارات الطور المتبقية: dy 2x y dy 1 1، =، y x C. dx 4x 2y dx وهكذا ، تقع مسارات الطور على الخطوط المستقيمة y x C، C const. 2

46 مثال يتم تحديد اتجاه الحركة بشكل فريد من خلال ثبات نقاط الخط المستقيم y 2 x. ص س

47 مثال dx 2 x y، dt dy 4x2y dt نظرًا لأن محدد مصفوفة النظام det A = 0 ، فإن النظام يحتوي على عدد لا نهائي من مواضع التوازن. كلهم يقعون على الخط y 2 x. نظرًا لأن تتبع مصفوفة النظام هو tr A ، فإن جذور المعادلة المميزة هي 1 = 2 = 0. وبالتالي ، فإن جميع مواضع التوازن غير مستقرة. دعونا نبني المعادلات لبقية مسارات الطور: dy 4x 2 y dy، 2، y 2 x C. إلى خط نقاط الراحة. اضبط اتجاه الحركة على طول المسارات على النحو التالي.

48 مثال لنحدد علامة المشتق y (t) عند نقاط المحور x. بالنسبة إلى y = 0 لدينا: dy 0 ، إذا كانت x 0 ، 4 x dt y0 0 ، إذا x 0. وهكذا ، يزداد تنسيق النقطة المتحركة على طول مسار الطور عند عبور "الشعاع الموجب للمحور x" ، بينما يتناقص الشعاع "السلبي". هذا يعني أن الحركة على طول مسارات الطور على يمين نقاط السكون المستقيمة ستكون من الأسفل إلى الأعلى وإلى اليسار من الأعلى إلى الأسفل. ص س

49 تمرين 49 تمرين 1. بالنسبة لأنظمة معينة ، حدد نوع وطبيعة استقرار وضع التوازن. بناء صور المرحلة. 1. dx 3، 3. dx 2 5، 5. dx x y x y 2 x y، dt dt dt dy dy dy 6x 5 y؛ 2 × 2 ص 4x2y ؛ dt dt dt 2. dx، 4. dx 3، 6. dx x x y 2x 2 y، dt dt dt dy dy dy 2 x y؛ س ص ؛ س ص. التمرين 2. ما هي قيم المعلمة a R التي يكون للنظام dx dy 2 ax y ، ay 2ax dt dt موضع توازن وهل هو سرج؟ العقدة؟ ركز؟ ما هي صورة المرحلة للنظام؟

50 LDS غير متجانس 50 ضع في اعتبارك نظامًا خطيًا غير متجانس (LDS) مع معاملات ثابتة: dx ax بمقدار ، (5) dt dy cx dy ، dt عند 2 2. بعد حل نظام المعادلات: ax by ، cx dy ، سنجيب على سؤال ما إذا كان النظام لديه (5) مواضع توازن. إذا اكتشف A 0 ، فسيكون للنظام توازن فريد P (x 0 ، y 0). إذا كان det A 0 ، فإن النظام إما يحتوي على عدد لا نهائي من التوازن لنقطة الخط المستقيم المحددة بواسطة المعادلة ax + by + = 0 (أو cx + dy + = 0) ، أو لا يوجد لديه توازن على الإطلاق.

51 تحويل NLDS 51 إذا كان للنظام (5) توازن ، فعندئذٍ عن طريق تغيير المتغيرات: xx0 ، y y0 ، حيث ، في الحالة التي يكون فيها النظام (5) لديه عدد لا نهائي من التوازن ، x 0 ، y 0 هي إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى نقاط استراحة الخط ، نحصل على نظام متجانس: d a b، (6) dt d c d. dt تقديم نظام إحداثيات جديد على مستوى الطور x0y المتمركز عند نقطة الاستراحة P ، نقوم ببناء صورة الطور للنظام (6) فيه. نتيجة لذلك ، نحصل على صورة المرحلة للنظام (5) على المستوى x0y.

52 مثال dx 2x 2y12، dt dy x 2y 3 dt بما أن 2x 2y 12 0، x 3، x 2y 3 0 y 3 ، إذن DS لديه موقع توازن فريد P (3 ؛ 3). بعد إجراء تغيير المتغيرات x = + 3 ، y = + 3 ، نحصل على النظام: d 2 2 ، dt d 2 ، dt الذي يكون موضعه الصفري غير مستقر وهو سرج (انظر المثال 1).

53 مثال بعد بناء صورة طور على المستوى P ، قمنا بدمجها مع مستوى الطور x0y ، مع معرفة إحداثيات النقطة P بداخلها. y P x

54 صور طور NLDS 54 عند إنشاء صور طور في حالة عدم وجود مواضع توازن في النظام (5) ، يمكن استخدام التوصيات التالية: 1. ابحث عن أول جزء متكامل من المعادلة dx dy ، ax بواسطة cx dy ، وبالتالي حدد العائلة لجميع مسارات الطور. 2. ابحث عن الخطوط المتساوية الرئيسية: ax بـ 0 (MI) ، cx dy 0 (MI). 3. ابحث عن الخطوط التي تحتوي على مسارات الطور بالصيغة y = kx +. في نفس الوقت ، لإيجاد المعامِلات k ، وبالنظر إلى أن c: a d: b ، قم ببناء المعادلة: dy (ax by) k. dx y kx ax بواسطة (a kb) x b y kx

55 صور الطور لـ NLDS 55 نظرًا لأن التعبير (a kb) x b لا يعتمد على x ، إذا كانت a + kb = 0 ، فإننا نحصل على الشروط التالية لإيجاد k و: a kb 0، k. ب يمكن أيضًا البحث عن معادلة الخط المستقيم بالصيغة x = ky +. يتم إنشاء شروط تحديد k وبالمثل. إذا كان هناك خط مستقيم واحد فقط ، فهو خط مقارب لبقية المسارات. 2. لتحديد اتجاه الحركة على طول مسارات الطور ، حدد مناطق "الإشارة الثابتة" للأجزاء اليمنى من النظام (5). 3. لتحديد طبيعة التحدب (التقعر) لمسارات الطور ، قم ببناء المشتق y (x) وحدد مناطق "علامتها الثابتة". سننظر في طرق مختلفة لإنشاء صور المرحلة باستخدام الأمثلة.

56 مثال dx dt dy dt 0، 1. y حل المعادلة: dx dy 0 0، 1 نحصل على أن جميع مسارات الطور تقع على الخطين x C، C R. بما أن y (t) = 1> 0 ، إحداثيات تزداد النقطة المتحركة على طول أي مسار طور. وبالتالي ، فإن الحركة على طول مسارات المرحلة تحدث من الأسفل إلى الأعلى. x

57 مثال dx dt dy dt 2، 2. y حل المعادلة: dy dx 2 1، 2 نحصل على أن جميع مسارات الطور تقع على الخطين y x + C، C R. بما أن y (t)< 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x

58 مثال dx 1، dt dy x 1. dt حل المعادلة: dy x 1، dx 2 (x 1) y C، C R، 2 نحصل على أن مسارات الطور للنظام عبارة عن قطع مكافئ: تقع محاورها على خط متساوي أفقي × 1 0 ، ويتم توجيه الفروع لأعلى. منذ x (t) 1> 0 ، تزداد حدود النقطة المتحركة على طول مسار أي طور. وبالتالي ، فإن الحركة على طول الفرع الأيسر للقطع المكافئ تحدث من أعلى إلى أسفل حتى يتقاطع مع خط متساوي أفقي مستقيم ، ثم من أسفل إلى أعلى.

59 مثال y سيكون من الممكن تحديد اتجاه الحركة على طول مسارات الطور عن طريق تحديد مناطق "ثبات" الأجزاء الصحيحة من النظام. y 1 x x "(t)> 0، y" (t)< 0 x"(t) >0 ، y "(t)> 0 x 1

60 مثال dx y، dt dy y 1. dt متساوي خط عمودي y = 0؛ خط متساوي أفقي ص 1 = 0. لنكتشف ما إذا كانت هناك خطوط مستقيمة تحتوي على مسارات طور. سيتم البحث عن معادلات هذه الخطوط بالصيغة y = kx + b. بما أن k dy y ، dx y y kx b ykxb ykxb ykxb ، فإن التعبير الأخير لا يعتمد على x إذا كانت k = 0. ثم لإيجاد b ، نحصل على b 1. b وبالتالي ، تقع مسارات الطور على الخط y = 1 . هذا الخط المستقيم خط مقارب على مستوى الطور.

61 مثال لنحدد نوع التحدب (التقعر) لمسارات الطور فيما يتعلق بالمحور x. للقيام بذلك ، نجد المشتق y (x): y (x) \ u003e 0 y 1 1 "() 1 1، dx dx y dx y y y y 2 d y d y d y x y وتحديد مناطق" الثبات "للتعبير الناتج. في تلك المناطق حيث y (x)>< 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) >0 ×

62 مثال لنكتشف اتجاهات الحركة على طول مسارات الطور عن طريق تحديد مناطق "ثبات الإشارة" للأجزاء اليمنى من النظام dx y ، dt dy y 1. dt ستكون حدود هذه المناطق عبارة عن خطوط متساوية رأسية وأفقية. المعلومات التي تم الحصول عليها كافية لبناء صورة المرحلة. y x (t)> 0 ، y (t)> 0 y (x)> 0 x (t)> 0 ، y (t)< 0, y (x) < 0 x (t) >0 ، ص (ر)< 0 y (x) >0 ×

63 مثال x (t)> 0، y (t)> 0 y (x)> 0 y y x (t)> 0، y (t)< 0, y (x) < 0 x x x (t) >0 ، ص (ر)< 0 y (x) > 0

64 مثال dx 2، dt dy 2 x y. dt أفقي isocline: 2x y = 0. اكتشف ما إذا كانت هناك خطوط تحتوي على مسارات طور. سيتم البحث عن معادلات هذه الخطوط بالصيغة y = kx + b. بما أن dy 2 x y (2 k) x b k، 2 2 dx y kx b y kx b، فإن التعبير الأخير لا يعتمد على x إذا كان k = 2. ثم ، لإيجاد b ، نحصل على b 2 b 4. 2 وهكذا ، في تكمن مسارات الخط y = 2x 4. هذا الخط المستقيم خط مقارب على مستوى الطور.

65 مثال لنحدد نوع التحدب (التقعر) لمسارات الطور فيما يتعلق بالمحور x. للقيام بذلك ، نجد مشتق y (x):< 0, выпуклость «вверх». y (x) >0 ص س ص (س)< 0

66 مثال لنكتشف اتجاه الحركة على طول مسارات الطور من خلال تحديد مناطق "ثبات الإشارة" للأجزاء اليمنى من النظام: dx 2، dt dy 2 x y. dt ستكون حدود هذه المناطق هي الخط المتساوي الأفقي. س (ر)> 0 ، ص (ر)<0 y x (t)>0، y (t)> 0 x المعلومات التي تم الحصول عليها كافية لبناء صورة طور.

67 مثال y (x)> 0 y x y y (x)< 0 x x (t)>0 ، ص (ر)<0 y x x (t)>0 ، ص (ر)> 0

68 مثال dx x y، dt dy 2 (x y) 2. dt متساوي عمودي: x y = 0؛ خط متساوي أفقي: x y + 1 = 0. اكتشف ما إذا كانت هناك خطوط تحتوي على مسارات طور. سيتم البحث عن معادلات هذه الخطوط بالصيغة y = kx + b. بما أن dy 2 (x y) k 2 2، dx x y x y (1 k) x b ykxb ykxb ykxb ، فإن التعبير الأخير لا يعتمد على x إذا كان k = 1. ثم لإيجاد b ، نحصل على b 2. b وهكذا ، على الخط y = x +2 يكمن في مسارات الطور. هذا الخط المستقيم خط مقارب على مستوى الطور.

69 مثال دعنا نحدد كيف يتغير إحداثيات إحداثيات نقطة متحركة على طول مسار الطور. للقيام بذلك ، نقوم ببناء مناطق "ثبات الإشارة" للأجزاء الصحيحة من النظام. ص س (ر)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)> 0، y (t)> 0 هذه المعلومات مطلوبة لتحديد اتجاه الحركة على طول المسارات.

70 مثال لنحدد نوع التحدب (التقعر) لمسارات الطور فيما يتعلق بالمحور x. للقيام بذلك ، نجد المشتق y (x): 2 (x y) () 2 2 ("() 1) x y 2 (2) dx dx x y (x y) (x y) (x y) 2 d y d x y y x y لنحدد المساحات من "ثبات" التعبير الناتج. في تلك المناطق حيث y (x)> 0 ، مسارات الطور لها تحدب "لأسفل" ، وحيث y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x)>0 ص ذ (س)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0

71 مثال 14 (FP) 71 y y x y x x

72 تمرين 72 قم ببناء صور طور للأنظمة التالية: dx 3x 3، dt dy 2x y1؛ dt dx x ، dt dy 2x 4 ؛ dt dx x y 2 ، dt dy 2x 2y1 ؛ dt dx 1 ، dt dy 2 x y ؛ dt dx dt dy dt dx dt dy dt 2، 4 ؛ ص 2 ، 2.

73 الأدب 73 Pontryagin L.S. المعادلات التفاضلية العادية. م ، فيليبوف أ. مجموعة المسائل في المعادلات التفاضلية. M. ، Panteleev A.V. ، Yakimova A.S. ، Bosov A.V. المعادلات التفاضلية العادية في الأمثلة والمسائل. م: العالي. المدرسة ، 2001.

4.03.07 الدروس 4. وجود واستقرار مواضع التوازن للأنظمة الديناميكية الخطية (LDS) على المستوى. قم ببناء صورة بارامترية وصور الطور المقابلة لـ LDS (x، yr، ar):

الحلقة 4 نظام المعادلتين التفاضليتين العاديتين (ODE). طائرة المرحلة. صورة المرحلة. المنحنيات الحركية. نقاط خاصة. استقرار الحالة المستقرة. نظام خطي في

الأساليب الرياضية في علم البيئة: مجموعة من المهام والتمارين / شركات. ها. سيمينوفا ، إي. كودريافتسيف. Petrozavodsk: PetrSU Publishing House، 005..04.09 الدرس 7 Lotka-Volterra 86 نموذج "المفترس - الفريسة" (الإنشاء

الجامعة الروسية التكنولوجية MIREA فصول إضافية للرياضيات العليا الفصل 5. نقاط الراحة العمل مكرس لنمذجة الأنظمة الديناميكية باستخدام عناصر الرياضيات العليا

نظام المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة. كولتسوف س. www.linis.ru طريقة اختلاف الثوابت التعسفية. ضع في اعتبارك معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة:

صفحة المحاضرة 3 استقرار حلول أنظمة DE إذا تم وصف ظاهرة معينة بواسطة نظام DE dx dt i = f (t، x، x ... x)، i = .. n مع شروط i n الأولية x i (t 0) = x i0 ، i = .. n ، وهي عادة

4.04.7 الدرس 7. استقرار مواضع التوازن للأنظمة المستقلة (طريقة Lyapunov الخطية ، نظرية Lyapunov) x "(f (x، y)، f، g C (). y" (g (x، y)، D بحث لمواقف التوازن P (x * ،: f

المادتان 5 و 6 نظام من معادلتين تفاضليتين خطيتين عاديتين مستقلتين. طائرة المرحلة. الخطوط المتوازنة. بناء صور المرحلة. المنحنيات الحركية. مقدمة لبرنامج TRAX. مرحلة

المحاضرة 6. تصنيف نقاط السكون لنظام خطي من معادلتين ذات معاملات حقيقية ثابتة. ضع في اعتبارك نظامًا من معادلتين تفاضليتين خطيتين مع حقيقي ثابت

الحلقة 4 نظام من اثنين من المعادلات التفاضلية الخطية العادية المستقلة (ODEs). حل نظام مكون من اثنين من المعادلات التوضيحية الخطية المستقلة. أنواع النقاط المفردة. حل نظام المعادلات التفاضلية الخطية

وزارة التربية والعلوم الاتحاد الروسيمؤسسة التعليم الفيدرالية للميزانية الحكومية تعليم عالىقسم "جامعة أوفا الحكومية التقنية للنفط"

المحاضرة 1 - عناصر التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية ذات الوقت المستمر على خط مستقيم سننظر في المعادلة التفاضلية المستقلة du = f (u)، (1) dt التي يمكن استخدامها

ندوة 7 التحقيق في استقرار الحالات الثابتة للأنظمة غير الخطية من الدرجة الثانية. النظام الكلاسيكي لفولتيرا. دراسة تحليلية (تحديد الحالات الثابتة واستقرارها)

النقاط الفردية في أنظمة الترتيبين الثاني والثالث. معايير الاستقرار للحالات الثابتة للأنظمة الخطية وغير الخطية. خطة الاستجابة تعريف نقطة مفردة من نوع المركز. تعريف النقطة الفردية

تمرين عملي على المعادلات التفاضلية التطوير المنهجيجمع: البروفيسور أن سالاماتين استنادًا إلى: مجموعة AF Filippov من المشكلات حول المعادلات التفاضلية مركز أبحاث موسكو-إيجيفسك "منتظم

1 المحاضرة 2 أنظمة المعادلات التفاضلية غير الخطية. مساحة الدولة أو مساحة المرحلة. النقاط الفردية وتصنيفها. شروط الاستقرار. عقدة ، تركيز ، سرج ، مركز ، دورة محدودة.

7 بيانات التوازن للأنظمة المستقلة الخطية من الترتيب الثاني النظام المستقل للوظائف (t) (t) هو نظام المعادلات التفاضلية d d P () Q () (7) dt dt

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية ياروسلافل P. G. Demidova قسم الجبر والمنطق الرياضي S. I. Yablokova منحنيات من الدرجة الثانية الجزء العملي

الفصل الرابع. التكاملات الأولى لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية 1. التكاملات الأولى للأنظمة المستقلة للمعادلات التفاضلية العادية في هذا القسم ، سننظر في الأنظمة المستقلة بالشكل f x = f 1 x، f n x C 1

المحاضرة 9 التحليل الخطي للمعادلات التفاضلية المعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتب العليا المعادلات المتجانسة خصائص حلولها خصائص حلول المعادلات غير المتجانسة التعريف 9 الخطي

بناء منحنيات متكاملة وصورة طور لمعادلة مستقلة بوجود رسم بياني لوظيفة سلسة f (u) ، يمكننا بشكل تخطيطي إنشاء منحنيات متكاملة للمعادلة du dt = f (u). (1) يعتمد البناء على

7.0.07 الوظيفة. أنظمة ديناميكية ذات وقت مستمر على المحك. المهمة 4. أنشئ مخطط تشعب وصور طور نموذجية لنظام ديناميكي: d dt حل المعادلة f (، 5 5 ،

نظرية الاستقرار ليابونوف. في العديد من مشاكل الميكانيكا والتكنولوجيا ، من المهم ألا تعرف القيم المحددة للحل لقيمة معينة للحجة ، ولكن طبيعة سلوك الحل عند التغيير

صفحة 1 من 17 26.10.2012 11:39 اختبار الشهادة في مجال التعليم المهني التخصص: 010300.62 الرياضيات. تخصص علوم الكمبيوتر: وقت تشغيل المعادلات التفاضلية

الحلقة 5 نماذج موصوفة بأنظمة من معادلتين تفاضليتين مستقلتين. التحقيق في الأنظمة غير الخطية من الدرجة الثانية. نموذج الصواني. نموذج فولتيرا. بشكل عام ، النماذج الموصوفة من قبل الأنظمة

ندوة المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى. مساحة المرحلة. متغيرات المرحلة. الدولة الثابتة. استقرار الحالة الثابتة وفقًا ليابونوف. الخطية للنظام في الحي

قسم التحليل الرياضي: المعادلات التفاضلية الموضوع: مفهوم ثبات حل المعادلات التفاضلية وحل نظام المعادلات التفاضلية المحاضر Pakhomova E.G. 2012 5. مفهوم استقرار الحل 1. ملاحظات أولية

مشاكل مع المعلمات (طريقة الرسم للحل) مقدمة إن استخدام الرسوم البيانية في دراسة المشاكل مع المعلمات فعال للغاية. اعتمادًا على طريقة تطبيقها ، هناك طريقتان رئيسيتان.

الجامعة الروسية التكنولوجية MIREA فصول إضافية للرياضيات العليا الفصل 3. نظم المعادلات التفاضلية العمل مكرس لنمذجة الأنظمة الديناميكية باستخدام العناصر

المعادلات التربيعية

7..5، .. 5 النشاط. الأنظمة الديناميكية المنفصلة على خط مستقيم مهمة لدراسة ديناميات الكثافة السكانية (t) ، الموصوفة بالمعادلة: t t ، const. ر هل توجد أي حلول للمعادلة

استقصاء الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها نقاط البحث: 1) مجال التعريف ، الاستمرارية ، الزوجي / الفردي ، دورية الوظيفة. 2) الخطوط المقاربة للرسم البياني للوظيفة. 3) وظيفة الأصفار ، فترات

المحاضرة 16 - مشكلة استقرار وضع التوازن في نظام محافظ 1. نظرية لاغرانج حول استقرار وضع التوازن للنظام المحافظ ، فليكن هناك عدد n من درجات الحرية. ف 1 ، ف 2 ،

منحنيات من الدرجة الثانية Circle Ellipse Hyperbola Parabola دعنا نعطي نظام إحداثيات ديكارتي مستطيل الشكل على المستوى. منحنى الرتبة الثانية هو مجموعة من النقاط ترضي إحداثياتها

المحاضرة 1 المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى 1 مفهوم المعادلة التفاضلية وحلها المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى هي تعبير عن الصيغة F (x ، y ، y) 0 ، حيث

الموضوع 41 "المهام ذات المعلمة" الصيغ الرئيسية للمهام ذات المعلمة: 1) ابحث عن جميع قيم المعلمات ، كل منها يفي بشرط معين.) حل معادلة أو عدم المساواة باستخدام

المحاضرة 3. انسياب الطور على المستوى 1. النقاط الثابتة والخطية والثبات. 2. دورات الحد. 3. تشعبات تدفق الطور على مستوى. 1. النقاط الثابتة والخطية والاستقرار.

المحاضرة 3 استقرار التوازن وحركة النظام عند التفكير في الحركات الثابتة ، نكتب معادلات الحركة المضطربة في الصورة d dt A Y حيث يكون متجه العمود عبارة عن مصفوفة مربعة ذات معاملات ثابتة

5. استقرار الجاذبات 1 5. استقرار الجاذبات في القسم الأخير ، تعلمنا كيفية العثور على نقاط ثابتة للأنظمة الديناميكية. اكتشفنا أيضًا أن هناك عدة أنواع مختلفة من الأجهزة الثابتة

4 ، 9 فبراير د درس عملي أبسط مشاكل التحكم في ديناميات السكان.دع التطور الحر للسكان يمكن وصفه بواسطة نموذج Malthus N N حيث N هو عدد أو حجم الكتلة الحيوية للسكان

1) أحضر معادلة منحنى الدرجة الثانية x 4x y 0 إلى الشكل الأساسي وابحث عن نقاط تقاطعها مع الخط المستقيم x y 0. قم بعمل توضيح رسومي للحل الذي تم الحصول عليه. س 4 س ص 0 س س 1 ص 0 س 1 ص 4

الفصل 4 أنظمة المعادلات التفاضلية العادية المفاهيم والتعاريف العامة التعريفات الأساسية لوصف بعض العمليات والظواهر ، غالبًا ما يتطلب الأمر عدة وظائف

الحلقة الدراسية 9 التحليل الخطي لاستقرار حالة ثابتة متجانسة لنظام من معادلتين انتشار رد الفعل تورينج عدم الاستقرار المنشط والمثبط شروط ظهور الهياكل المشتتة

المحاضرة 17 معيار ROUTH-HURWITZ. التذبذبات الصغيرة 1. استقرار نظام خطي ضع في اعتبارك نظامًا من معادلتين. معادلات الحركة المضطربة لها الشكل: dx 1 dt = x + ax 3 1 ، dx dt = x 1 + ax 3 ،

وزارة التربية وعلوم الاتحاد الروسي جامعة ولاية نوفوسيبيرسك كلية الفيزياء قسم الرياضيات العليا بكلية الفيزياء طرق حل المعادلات التفاضلية العادية.

1. ما هي المعادلات والأنظمة التفاضلية العادية. مفهوم الحل. المعادلات المستقلة وغير المستقلة. معادلات وأنظمة ترتيب أعلى من الأولى واختزالها إلى أنظمة من الدرجة الأولى.

المحاضرة 1 دراسة الحركة في نظام محافظ بدرجة واحدة من الحرية 1. مفاهيم أساسية. النظام المحافظ بدرجة واحدة من الحرية هو نظام موصوف بواسطة تفاضل

الفصل. استقرار الأنظمة الخطية 8 درجة مع علامة + ، يتبع ذلك من المتحصل عليه أن () π يزيد من إلى π. وبالتالي ، فإن المصطلحين ϕ i () و k () + ، أي المتجه (i) ϕ بشكل رتيب ϕ يزيد بشكل رتيب

خطة المرحلة لمعادلة ذاتية غير خطية من الترتيب- بيان المشكلة. ضع في اعتبارك المعادلة المستقلة للصيغة = f. () كما تعلم ، هذه المعادلة تعادل النظام العادي التالي

المعادلات التفاضلية 1. المفاهيم الأساسية المعادلة التفاضلية فيما يتعلق ببعض الوظائف هي معادلة تربط هذه الوظيفة بمتغيراتها المستقلة ومشتقاتها.

الأساليب الرياضية في علم البيئة: مجموعة من المهام والتمارين / شركات. ها. سيمينوفا ، إي. كودريافتسيف. بتروزافودسك: دار نشر PetrGU ، 2005. درس الفصل الثاني. نموذج "Predator-prey" Lotka-Volterra Topic 5.2.

المعنى الهندسيالمشتق ، الظل 1. يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y \ u003d f (x) والماس لها عند النقطة التي تحتوي على الإحداثي x 0. أوجد قيمة مشتق الدالة f (x) عند النقطة × 0. القيمة

المحاضرة 23 محدب وإقلاع الرسم البياني لوظيفة نقطة الحبر يسمى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) محدب على الفاصل الزمني (أ ؛ ب) إذا كان موجودًا أسفل أي من ظلها في هذا الفاصل الزمني رسم بياني

الفصل السادس أساسيات نظرية الاستقرار المحاضرة بيان المشكلة المفاهيم الأساسية لقد تم توضيح سابقًا أن حل مشكلة كوشي لنظام عادي من ODEs = f ، () يعتمد بشكل مستمر على الظروف الأولية عند

11/19/15 الدرس 16. النموذج الأساسي "brusselator" حتى بداية السبعينيات. يعتقد معظم الكيميائيين أن التفاعلات الكيميائية لا يمكن أن تستمر في الوضع التذبذب. بحث تجريبي من قبل العلماء السوفييت

الفصل 8 الوظائف والرسوم البيانية المتغيرات والتبعيات فيما بينها. كميتين وتسمى متناسبة مباشرة إذا كانت نسبتها ثابتة ، أي إذا كانت = ، حيث هي رقم ثابت لا يتغير مع التغيير

نظام إعداد الطلاب لامتحان الدولة الموحد في الرياضيات لمستوى الملف الشخصي. (المهام ذات المعلمة) تعريف المادة النظري. المعلمة هي متغير مستقل تؤخذ قيمته في الاعتبار

محاضرة التحقيق في دالة وبناء الرسم البياني الخاص بها الملخص: يتم التحقيق في الوظيفة من أجل الرتابة ، الحد الأقصى ، التحدب-التقعر ، لوجود الخطوط المقاربة

29. الاستقرار المقارب لحلول أنظمة المعادلات التفاضلية العادية ومجال الجذب وطرق تقديرها. نظرية V. Zubov حول حدود منطقة الجذب. V.D. Nogin 1 o. تعريف

المحاضرة 13 الموضوع: منحنيات الرتبة الثانية. منحنيات الرتبة الثانية على المستوى: القطع الناقص ، القطع الزائد ، القطع المكافئ. اشتقاق معادلات منحنيات الرتبة الثانية بناءً على خصائصها الهندسية. دراسة شكل القطع الناقص ،

وكيل الجامعة المعتمد للشؤون الأكاديمية والتدريب قبل الجامعي أ.أ.فورونوف 09 يناير 2018 البرنامج في التخصص: الأنظمة الديناميكية في مجال الدراسة: 03.03.01 "الرياضيات التطبيقية

إرسال عملك الجيد في قاعدة المعرفة أمر بسيط. استخدم النموذج أدناه

سيكون الطلاب وطلاب الدراسات العليا والعلماء الشباب الذين يستخدمون قاعدة المعرفة في دراساتهم وعملهم ممتنين جدًا لك.

استضافت في http://www.allbest.ru/

يمارس

التحكم في تردد nyquist التلقائي

قم بتحليل الخصائص الديناميكية لنظام التحكم الآلي المعطى بواسطة مخطط الكتلة الموضح في الشكل 1 ، والذي يتضمن الخطوات التالية:

اختيار وتبرير طرق البحث ، وبناء نموذج رياضي للـ ACS ؛

جزء الحساب ، بما في ذلك النمذجة الرياضية لـ ACS على الكمبيوتر ؛

تحليل استقرار النموذج الرياضي لجسم التحكم و ACS ؛

دراسة ثبات النموذج الرياضي لجسم التحكم و ACS.

مخطط هيكلي لـ ACS المدروسة ، حيث ، وظائف نقل كائن التحكم (OC) ، المشغل (IM) ، المستشعر (D) والجهاز التصحيحي (CU)

قيم المعاملات K1 و K2 و K3 و K4 و T1 و T2 و T3 و T4 موضحة في الجدول 1.

البديل من الاحالة لورقة مصطلح

مقدمة

يعد تصميم الأتمتة أحد أكثر المجالات تعقيدًا وأهمية في الهندسة ، وبالتالي فإن معرفة أساسيات الأتمتة وفهم مستوى الأتمتة في العمليات التكنولوجية المختلفة وأدوات الأتمتة المستخدمة وأساسيات التصميم هي شروط ضرورية لنجاح عمل المهندسين. والتقنيين. يتميز السلوك العادي لأي عملية تكنولوجية بقيم معلمات معينة ، ويتم ضمان التشغيل الاقتصادي والآمن للمعدات من خلال الحفاظ على معلمات التشغيل ضمن الحدود المطلوبة. لأغراض التشغيل العادي للمعدات ، وكذلك تنفيذ العملية التكنولوجية المطلوبة في أي منشآت حرارية ، من الضروري توفير معدات الأتمتة في تطويرات التصميم. في الوقت الحاضر ، في جميع قطاعات الاقتصاد الوطني ، بما في ذلك الزراعة ، يتم استخدام أنظمة التحكم الآلي بشكل متزايد. هذا ليس مفاجئًا ، لأن أتمتة العمليات التكنولوجية تتميز بالاستبدال الجزئي أو الكامل للمشغل البشري بوسائل تقنية خاصة للتحكم والإدارة. توفر الميكنة والكهربة وأتمتة العمليات التكنولوجية انخفاضًا في حصة اليد العاملة الثقيلة وذات المهارات المنخفضة في الزراعة ، مما يؤدي إلى زيادة إنتاجيتها.

وبالتالي ، فإن الحاجة إلى أتمتة العمليات التكنولوجية واضحة وهناك حاجة لمعرفة كيفية حساب معلمات أنظمة التحكم الآلي (ACS) للتطبيق اللاحق لمعرفتهم في الممارسة العملية.

في عمل الدورة ، تم إجراء تحليل للخصائص الديناميكية لمخطط هيكلي معين لـ ACS مع تجميع وتحليل النماذج الرياضية لكائنات التحكم.

1 . تحليل ثبات البنادق ذاتية الدفع وفقًا لمعيار نيكويست

للحكم على استقرار ACS ، ليست هناك حاجة لتحديد القيم الدقيقة لجذور معادلتها المميزة. لذلك ، من الواضح أن الحل الكامل للمعادلة المميزة للنظام زائد عن الحاجة ويمكن للمرء أن يقيد نفسه باستخدام معيار أو آخر من معايير الاستقرار غير المباشرة. على وجه الخصوص ، من السهل إثبات أنه من أجل استقرار النظام من الضروري (ولكن ليس غير كاف) أن جميع معاملات معادلته المميزة لها نفس العلامة ، أو يكفي أن الأجزاء الحقيقية لجميع جذور المعادلة المميزة كن سالب. إذا لم تكن الأجزاء الحقيقية لجميع جذور المعادلة المميزة سالبة ، فعندئذٍ لتحديد ثبات ACS ، من الضروري الدراسة وفقًا لمعايير أخرى ، لأنه إذا كانت وظيفة النقل ، وفقًا للمعيار أعلاه ، تنتمي إلى كتلة غير مستقرة لها جذور ذات جزء حقيقي إيجابي ، ثم في ظل ظروف معينة ، يمكن أن يكون النظام المغلق مستقرًا في هذه الحالة أيضًا.

الأكثر ملاءمة لدراسة استقرار العديد من أنظمة التحكم في العمليات هو معيار استقرار نيكويست ، والذي يتكون على النحو التالي.

سيظل النظام المستقر في حالة الفتح مستقرًا حتى بعد إغلاقه بواسطة ردود فعل سلبية ، إذا كان hodograph CFC في الحالة المفتوحة W (jш) لا يغطي نقطة ذات إحداثيات (-1 ؛ j0) في المستوى المعقد .

في الصيغة المحددة لمعيار Nyquist ، يعتبر أن hodograph لـ CFC W (jw) "لا يغطي" النقطة (-1 ؛ j0) إذا كانت الزاوية الكلية لدوران المتجه مرسومة من النقطة المحددة إلى hodograph W (jw) يساوي الصفر عندما يتغير التردد من w = 0 إلى w>؟.

إذا كان hodograph W (jsh) CFC عند تردد معين يسمى التردد الحرج ck يمر عبر النقطة (-1 ؛ j0) ، فإن العملية العابرة في نظام مغلق هي تذبذبات غير مثبطة مع تردد ck ، أي النظام على حدود الاستقرار المعبر عنها على النحو التالي:

هنا W (p) هي وظيفة النقل لـ ACS المفتوحة. لنفترض أن النظام المفتوح مستقر. بعد ذلك ، من أجل ثبات البنادق ذاتية الدفع المغلقة ، من الضروري والكافي أن يعمل مخطط الطور الخاص بخاصية طور الاتساع W (jw) للنظام المفتوح (يتم الحصول على الخاصية المشار إليها من W (p) عن طريق استبدال p = jw) لا تغطي النقطة بالإحداثيات (-1 ، j0). التردد الذي عنده | W (jw) | = 1 يسمى تردد القطع (w cf).

لتقييم مدى بعد النظام عن حدود الاستقرار ، يتم تقديم مفهوم هوامش الاستقرار. يشير هامش الثبات في السعة (المعامل) إلى عدد المرات اللازمة لتغيير طول متجه نصف القطر في hodograph AFC من أجل إحضار النظام إلى حدود الاستقرار دون تغيير انزياح الطور. بالنسبة للأنظمة المستقرة تمامًا ، يتم حساب معيار هامش الاستقرار DK بالصيغة:

حيث يتم تحديد التردد w 0 من العلاقة الوسيطة W (jw 0) = - 180 0.

يتم حساب هامش ثبات السعة DK أيضًا بالصيغة:

DK = 1 - K 180 ؛

حيث K 180 هي قيمة معامل النقل عند تحول طور -180 درجة.

بدوره ، يشير هامش استقرار الطور إلى مقدار الحاجة إلى زيادة وسيطة AFC بالقيمة المطلقة من أجل إحضار النظام إلى حد الاستقرار دون تغيير قيمة المعامل.

يتم حساب هامش ثبات الطور Dj بالصيغة:

دي جي = 180 درجة - ي ك = 1 ؛

حيث j K = 1 - قيمة تحول الطور عند معامل الإرسال K = 1 ؛

تحدد القيمة Dj = 180 0 + arg W (j؛ w cf) هامش ثبات الطور. ويترتب على معيار Nyquist أن ACS المستقر في الحالة المفتوحة سيكون أيضًا مستقرًا في الحالة المغلقة إذا كان تحول الطور عند تردد القطع لا يصل إلى -180 درجة. يمكن التحقق من استيفاء هذا الشرط عن طريق رسم استجابات التردد اللوغاريتمي لنظام ACS مفتوح الحلقة.

2. دراسة ثبات البنادق ذاتية الدفع طبقا لمعيار نيكويست

دراسة الثبات وفق معيار نيكويست من خلال تحليل AFC مع ACS مفتوح. للقيام بذلك ، نقوم بكسر النظام كما هو موضح في الرسم التخطيطي للـ ACS المدروس:

رسم تخطيطي للـ ACS الذي تم التحقيق فيه

فيما يلي وظائف النقل لكائن التحكم (CO) والمشغل (IM) والمستشعر (D) والجهاز التصحيحي (CU):

قيم معاملات التخصيص هي كما يلي:

K1 = 1.0 ؛ K2 = 0.2 ؛ K3 = 2 ؛ K4 = 1.0 ؛ T1 = 0.4 ؛ T2 = 0.2 ؛ T3 = 0.07 ؛ T4 = 0.4.

دعنا نحسب وظيفة النقل بعد انقطاع النظام:

W (p) \ u003d W ku (p) W W im (p) W W oy (p) W W d (p) ؛

W (p) = H W H

باستبدال المعامِلات المعطاة في الدالة ، نحصل على:

بتحليل هذه الوظيفة في برنامج النمذجة الرياضية ("MATLAB") ، نحصل على hodograph لخاصية تردد الطور والسعة (APFC) لـ ACS مفتوح على المستوى المعقد ، كما هو موضح في الشكل.

الرسم البياني APFC الخاص بـ ACS مفتوح على المستوى المعقد.

دراسة استقرار البنادق ذاتية الدفع على منطقة الاتحاد الآسيوي

نحسب معامل النقل لتحول الطور بمقدار -180 درجة ، K 180 \ u003d 0.0395.

هامش ثبات السعة DK وفقًا للصيغة:

DK = 1 - K 180 = 1 - 0.0395 = 0.9605 ؛ حيث K 180 = 0.0395.

دعونا نحدد هامش المرحلة Dj:

يتم تحديد هامش ثبات الطور Dj بالصيغة: Dj = 180 ° - j K = 1 ؛ حيث j K = 1 هي قيمة انزياح الطور عند معامل الإرسال K = 1. ولكن بما أن j K = 1 لم يتم ملاحظتها في حالتنا (السعة دائمًا أقل من واحد) ، فإن النظام قيد الدراسة يكون مستقرًا عند أي قيمة تحول الطور (ACS مستقر في جميع أنحاء مدى التردد).

دراسة ثبات الـ ACS بالخصائص اللوغاريتمية

خاصية تردد الاتساع اللوغاريتمي للـ ACS المفتوح

خاصية تردد الطور اللوغاريتمي للـ ACS المفتوح

باستخدام برنامج النمذجة الرياضية ("MATLAB") ، نحصل على الخصائص اللوغاريتمية لـ ACS المدروسة ، والتي يتم تقديمها في الشكل 4 (خاصية تردد السعة اللوغاريتمية) والشكل 5 (خاصية تردد الطور اللوغاريتمي) ، حيث ؛

L (w) = 20lg | W (j ؛ w) |).

معيار الاستقرار اللوغاريتمي لـ ACS هو تعبير عن معيار Nyquist في شكل لوغاريتمي.

لمعرفة قيمة إزاحة الطور البالغة 180 درجة (الشكل 5) ، نرسم خطًا أفقيًا للتقاطع مع LFC ، من نقطة التقاطع هذه ، نرسم خطًا رأسيًا إلى التقاطع مع LFC (الشكل 4). نحصل على قيمة معامل النقل عند تحول طور 180 درجة:

20lgK 180 درجة = - 28.05862 ؛

بينما K 180 ° \ u003d 0.0395 (DK "\ u003d 28.05862).

تم العثور على هامش الاستقرار في السعة من خلال استمرار الخط الرأسي حتى القيمة 20lgK 180 ° = 0.

للعثور على هامش استقرار الطور ، يتم تمرير خط أفقي على طول الخط 20lgK 180 ° \ u003d 0 حتى يتقاطع مع LFC ويتم تمرير خط عمودي من هذه النقطة حتى يتقاطع مع LFC. في هذه الحالة ، سيكون الفرق بين القيمة التي تم العثور عليها لتحول الطور وتحول الطور الذي يساوي 180 درجة هو هامش استقرار الطور.

دي جي \ u003d 180 درجة - ي ك ؛

Dj = 180 درجة - 0 = 180 درجة.

حيث: j K - القيمة الموجودة لتحول الطور ؛

نظرًا لأن LFC الخاص بـ ACS المدروس يقع تحت الخط 20lgK 180 ° = 0 ، لذلك ، سيكون لـ ACS هامش استقرار طور عند أي قيمة إزاحة طور من صفر إلى 180 درجة.

الخلاصة: بعد تحليل LAFC و LPFC ، يترتب على ذلك أن ACS المدروس مستقر على مدى التردد بأكمله.

خاتمة

في هذا المقرر الدراسي ، تم تصنيع ودراسة نظام تتبع الأجهزة باستخدام الأساليب والأدوات الحديثة لنظرية التحكم. في هذا الحساب والرسومات ، وجدنا وظيفة النقل لـ ACS مغلق باستخدام مخطط كتلة معين وتعبيرات معروفة لوظائف النقل للروابط الديناميكية.

فهرس

1. أ. بورودين ، يو. سودنيك. أتمتة العمليات التكنولوجية. كتاب مدرسي للمدارس الثانوية. موسكو. كولوس ، 2004.

2. في. جوتنيكوف. إلكترونيات متكاملة في أجهزة القياس. إنرجواتوميزدات. فرع لينينغراد ، 1988.

3. N.N. إيفاشينكو. التنظيم التلقائي. نظرية وعناصر النظم. موسكو. الهندسة ، 1978.

استضافت على Allbest.ru

وثائق مماثلة

تحديد وظائف النقل والخصائص المؤقتة لوصلات نظام التحكم الآلي. بناء خاصية اتساع الطور. تقدير استقرار النظام. اختيار الجهاز التصحيحي. مؤشرات الجودة التنظيمية.

ورقة مصطلح ، تمت الإضافة في 02/21/2016


دراسة نظام التحكم في سرعة المحرك بدائرة تصحيحية وبدونها. تقدير استقرار النظام وفقًا لمعايير Hurwitz و Mikhailov و Nyquist. بناء الخصائص اللوغاريتمية لتردد الاتساع وتردد الطور.

ورقة المصطلح ، تمت إضافة 2015/03/22


تطوير رسم تخطيطي لنموذج رياضي كهربائي أساسي لنظام التحكم الآلي ، مصححًا بأجهزة تصحيحية. تقييم استقرار النظام الأولي بطريقة Routh-Hurwitz. توليف استجابة التردد المطلوبة.

ورقة مصطلح ، تمت الإضافة في 03/24/2013


خصائص عنصر التحكم (أسطوانة الغلاية) ، تصميم وتشغيل نظام التحكم الآلي ، مخطط وظيفي. تحليل استقرار النظام وفقًا لمعايير Hurwitz و Nyquist. تقييم جودة الإدارة بالوظائف الانتقالية.

ورقة المصطلح ، تمت إضافة 09/13/2010


الغرض من نظام التحكم الأوتوماتيكي للتغذية العرضية في الطحن الغاطس. بناء مخطط وظيفي. حساب وظائف التحويل للمحول ، المحرك الكهربائي ، المخفض. تحديد الاستقرار بمعيار نيكويست.

ورقة مصطلح ، تمت إضافة 2014/12/08


طريقة لتحديد استقرار النظام عن طريق الجبر (معايير راعوث وهورويتز) ومعايير ثبات التردد (معايير ميخائيلوف ونيكويست) ، وتقييم دقة نتائجها. خصائص تجميع وظيفة النقل لنظام مغلق.

العمل المخبري ، تمت إضافة 12/15/2010


بناء دائرة أولية ودراسة مبدأ تشغيل نظام التحكم الآلي وأهميته في تنفيذ طريقة تعديل نظام الإيدز. العناصر الرئيسية للنظام وعلاقتها. تحليل ثبات الدائرة والترددات المثلى لها.

الاختبار ، تمت الإضافة 09/12/2009


تحديد وظيفة النقل لنظام مفتوح ، والشكل القياسي لتدوينه ودرجة الاستاتية. دراسة خصائص الطور الاتساع والتردد الحقيقي والخيالي. بناء هودوجراف AFC. المعايير الجبرية لروث وهورويتز.

ورقة مصطلح ، تمت الإضافة في 05/09/2011


تنفيذ الوظائف الجديدة التي تؤثر على تشغيل محطة ضخ صناعة الصلب. تركيب معدات التحكم والقياس. معايير استقرار ميخائيلوف ومعايير نيكويست لمرحلة السعة. ترقية نظام.

أطروحة ، تمت إضافة 01/19/2017


مخطط وظيفي لنظام التحكم الآلي في درجة حرارة هواء الإمداد في مخزن البطاطس. تحديد قانون تنظيم النظام. تحليل الاستقرار وفقًا لمعايير Hurwitz و Nyquist. جودة الإدارة بالوظائف الانتقالية.

مقدمة

نظرًا لأن مفهوم النظام الديناميكي غير الخطي غني بما يكفي لتغطية مجموعة واسعة للغاية من العمليات التي يتم فيها تحديد السلوك المستقبلي للنظام من خلال الماضي ، فإن طرق التحليل التي تم تطويرها في هذا المجال مفيدة في مجموعة كبيرة من السياقات.

تدخل الديناميات اللاخطية الأدب بثلاث طرق على الأقل. أولاً ، هناك حالات يتم فيها جمع البيانات التجريبية حول التغيير بمرور الوقت لكمية واحدة أو أكثر وتحليلها باستخدام تقنيات تستند إلى نظرية ديناميكية غير خطية ، مع الحد الأدنى من الافتراضات حول المعادلات الأساسية التي تحكم العملية التي تنتج البيانات. أي أنها حالة يسعى فيها المرء إلى إيجاد ارتباطات في البيانات يمكن أن توجه تطوير نموذج رياضي ، بدلاً من تخمين النموذج أولاً ثم مقارنته بالبيانات.

ثانيًا ، هناك حالات يمكن فيها استخدام النظرية الديناميكية غير الخطية لتوضيح أن بعض النماذج المبسطة يجب أن تُظهر ميزات مهمة لنظام معين ، مما يعني أنه يمكن بناء نموذج الوصف ودراسته عبر مجموعة واسعة من المعلمات. ينتج عن هذا غالبًا نماذج تتصرف بشكل مختلف نوعيًا في ظل معايير مختلفة وتوضح أن منطقة واحدة تعرض سلوكًا مشابهًا جدًا للسلوك الذي لوحظ في النظام الحقيقي. في كثير من الحالات ، يكون سلوك النموذج حساسًا تمامًا للتغيرات في المعلمات ، لذلك إذا كان من الممكن قياس معلمات النموذج في نظام حقيقي ، يُظهر النموذج سلوكًا واقعيًا عند هذه القيم ، ويمكن للمرء التأكد من أن النموذج يلتقط الميزات الأساسية للنظام.

ثالثًا ، هناك حالات يتم فيها بناء المعادلات النموذجية على أساس الأوصاف التفصيلية للفيزياء المعروفة. يمكن أن توفر التجارب العددية بعد ذلك معلومات حول المتغيرات غير المتاحة للتجارب الفيزيائية.

استنادًا إلى المسار الثاني ، يعد هذا العمل امتدادًا لعملي السابق "نموذج ديناميكي غير خطي للصناعات المترابطة" ، بالإضافة إلى عمل آخر (Dmitriev ، 2015)

ستظهر جميع التعريفات الضرورية والمعلومات النظرية الأخرى المطلوبة في العمل في الفصل الأول ، حسب الحاجة. سيتم تقديم تعريفين هنا ، وهما ضروريان للكشف عن موضوع البحث نفسه.

أولاً ، دعنا نحدد ديناميكيات النظام. وفقًا لأحد التعريفات ، فإن ديناميكيات النظام هي نهج نمذجة المحاكاة التي تساعد ، بفضل أساليبها وأدواتها ، على تقييم بنية الأنظمة المعقدة ودينامياتها (شترمان). تجدر الإشارة إلى أن ديناميكيات النظام هي أيضًا تقنية نمذجة تُستخدم لإعادة إنشاء نماذج الكمبيوتر الصحيحة (من حيث الدقة) للأنظمة المعقدة لاستخدامها في المستقبل من أجل إنشاء شركة / منظمة أكثر كفاءة ، وكذلك تحسين طرق التفاعل مع هذا النظام. تنشأ معظم الحاجة إلى ديناميكيات النظام عند مواجهة نماذج إستراتيجية طويلة المدى ، وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنها مجردة إلى حد ما.

عند الحديث عن الديناميكيات التفاضلية غير الخطية ، سننظر في نظام غير خطي ، والذي ، حسب التعريف ، هو نظام لا يتناسب فيه التغيير في النتيجة مع التغيير في معلمات الإدخال ، والذي تصف فيه الوظيفة اعتماد التغيير في الوقت وموقع نقطة في الفضاء (بوينغ ، 2016).

بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه ، يتضح أن هذا العمل سيأخذ في الاعتبار الأنظمة التفاضلية غير الخطية المختلفة التي تصف تفاعل الشركات ، بالإضافة إلى نماذج المحاكاة المبنية على أساسها. بناءً على ذلك ، سيتم تحديد الغرض من العمل.

وبالتالي ، فإن الغرض من هذا العمل هو إجراء تحليل نوعي للأنظمة الديناميكية التي تصف تفاعل الشركات في التقريب الأول وبناء نموذج محاكاة قائم عليها.

لتحقيق هذا الهدف تم تحديد المهام التالية:

تحديد استقرار النظام.

بناء صور المرحلة.

إيجاد مسارات متكاملة للأنظمة.

بناء نماذج المحاكاة.

سيتم تخصيص كل مهمة من هذه المهام لأحد أقسام كل فصل من فصول العمل.

بناءً على الممارسة العملية ، فإن بناء الهياكل الرياضية الأساسية التي تعمل بشكل فعال على نموذج الديناميكيات في الأنظمة والعمليات الفيزيائية المختلفة يشير إلى أن النموذج الرياضي المقابل يعكس إلى حد ما القرب من الأصل قيد الدراسة ، عندما يمكن اشتقاق ميزاته المميزة من الخصائص و الهياكل من نوع الحركة التي تشكل ديناميات النظام. حتى الآن ، علم الاقتصاد في مرحلة تطوره ، حيث يتم استخدام طرق وأساليب جديدة ، وفي كثير من الحالات ، غير قياسية للنمذجة الفيزيائية والرياضية للعمليات الاقتصادية بشكل فعال. هذا هو المكان الذي يتبعه الاستنتاج حول الحاجة إلى إنشاء ودراسة وبناء النماذج التي يمكن أن تصف بطريقة أو بأخرى الوضع الاقتصادي.

أما بالنسبة لسبب اختيار التحليل النوعي بدلاً من التحليل الكمي ، فمن الجدير بالذكر أنه في الغالبية العظمى من الحالات ، تكون نتائج واستنتاجات التحليل النوعي للأنظمة الديناميكية أكثر أهمية من نتائج تحليلها الكمي. في مثل هذه الحالة ، من المناسب الإشارة إلى تصريحات V.P. ميلوفانوف ، حيث ذكر أنهم يعتقدون تقليديًا أن النتائج المتوقعة عند تطبيق الأساليب الرياضية لتحليل الأشياء الحقيقية يجب أن تختزل إلى نتيجة عددية. بهذا المعنى ، فإن الأساليب النوعية لها مهمة مختلفة إلى حد ما. يركز على تحقيق نتيجة تصف جودة النظام ، على البحث عن السمات المميزة لجميع الظواهر ككل ، على التنبؤ. بالطبع ، من المهم أن نفهم كيف سيتغير الطلب عندما تتغير أسعار نوع معين من السلع ، لكن لا تنسَ أنه من الأهم بكثير فهم ما إذا كان هناك نقص أو فائض في هذه السلع في ظل هذه الظروف (ديمترييف) ، 2016).

الهدف من هذه الدراسة هو التفاضل اللاخطي وديناميكيات النظام.

في هذه الحالة يكون موضوع البحث هو وصف عملية التفاعل بين الشركات من خلال التفاضل غير الخطي وديناميكيات النظام.

عند الحديث عن التطبيق العملي للدراسة ، يجدر تقسيمها على الفور إلى قسمين. أي ، نظريًا ، أي تحليل نوعي للأنظمة ، وعملي ، حيث سيتم النظر في بناء نماذج المحاكاة.

يقدم الجزء النظري من هذه الدراسة المفاهيم والظواهر الأساسية. إنه يأخذ بعين الاعتبار الأنظمة التفاضلية البسيطة ، كما هو الحال في أعمال العديد من المؤلفين الآخرين (Teschl ، 2012 ؛ Nolte ، 2015) ، ولكنه في نفس الوقت يسمح بوصف التفاعل بين الشركات. بناءً على ذلك ، سيكون من الممكن في المستقبل إجراء المزيد من الدراسات المتعمقة ، أو البدء في التعرف على ما يشكل تحليلًا نوعيًا للأنظمة.

يمكن استخدام الجزء العملي من العمل لإنشاء نظام دعم القرار. نظام دعم القرار - نظام معلومات آلي يهدف إلى دعم الأعمال أو اتخاذ القرار في المؤسسة ، مما يسمح لك بالاختيار من بين العديد من البدائل المختلفة (كين ، 1980). حتى لو لم تكن النماذج دقيقة للغاية في الوقت الحالي ، ولكن من خلال تغييرها لشركة معينة ، يمكنك تحقيق نتائج أكثر دقة. وبالتالي ، عند تغيير المعلمات والظروف المختلفة التي يمكن أن تنشأ في السوق ، يمكنك الحصول على توقعات للمستقبل واتخاذ قرار أكثر ربحية مسبقًا.

1. تفاعل الشركات في ظروف التبادلية

ستعرض الورقة أنظمة ثنائية الأبعاد بسيطة للغاية بالمقارنة مع الأنظمة ذات الترتيب الأعلى ، ولكنها في نفس الوقت تسمح لنا بإظهار العلاقات بين المنظمات التي نحتاجها.

يجدر البدء في اختيار نوع التفاعل ، والذي سيتم وصفه في المستقبل ، حيث تختلف الأنظمة التي تصفها ، وإن كانت مختلفة قليلاً ، بالنسبة لكل نوع من الأنواع. يوضح الشكل 1.1 تصنيف Yujim Odum للتفاعل السكاني المعدل للتفاعل الاقتصادي (Odum ، 1968) ، والذي بناءً عليه سننظر في تفاعل الشركات.

الشكل 1.1. أنواع التفاعل بين المؤسسات

استنادًا إلى الشكل 1.1 ، حددنا 4 أنواع من التفاعل ونقدم لكل منها نظام معادلات يصفها بناءً على نموذج Malthus (Malthus ، 1798). وفقًا لذلك ، فإن معدل النمو يتناسب مع الوفرة الحالية للأنواع ، بمعنى آخر ، يمكن وصفه بالمعادلة التفاضلية التالية:

حيث a معلمة تعتمد على النمو الطبيعي للسكان. يجدر أيضًا إضافة أنه في الأنظمة المذكورة أدناه ، تأخذ جميع المعلمات والمتغيرات قيمًا غير سالبة.

إنتاج المواد الخام هو إنتاج المنتجات التي تشبه نموذج المفترس والفريسة. نموذج المفترس - الفريسة ، المعروف أيضًا باسم نموذج Lotka-Volterra ، هو زوج من المعادلات التفاضلية غير الخطية من الدرجة الأولى التي تصف ديناميكيات النظام البيولوجي مع نوعين ، أحدهما مفترس والآخر فريسة (Llibre ، 2007). يتم وصف التغيير في وفرة هذه الأنواع من خلال نظام المعادلات التالي:

(1.2)

حيث - يميز نمو إنتاج المؤسسة الأولى دون تأثير المشروع الثاني (في حالة نموذج المفترس الفريسة ، نمو أعداد الفريسة بدون حيوانات مفترسة) ،

يميز نمو إنتاج المشروع الثاني دون تأثير المشروع الأول (نمو سكان الحيوانات المفترسة بدون فريسة) ،

يميز نمو إنتاج المشروع الأول ، مع الأخذ في الاعتبار تأثير المشروع الثاني عليه (زيادة في عدد الفريسة عند التفاعل مع الحيوانات المفترسة) ،

يميز نمو إنتاج المشروع الثاني ، مع مراعاة تأثير المشروع الأول عليه (زيادة في عدد الحيوانات المفترسة أثناء تفاعلهم مع الضحايا).

أولاً ، المفترس ، كما يتضح من النظام ، وكذلك تصنيف Odum ، يفرض تفاعلهما تأثيرًا إيجابيًا. من ناحية أخرى غير مواتية. إذا تم أخذها في الاعتبار في الواقع الاقتصادي ، إذن ، كما يتضح من الشكل ، فإن أبسط نظير هو الشركة المصنعة وموردها للموارد ، والتي تتوافق مع المفترس والفريسة ، على التوالي. وبالتالي ، في حالة عدم وجود المواد الخام ، ينخفض ​​الإنتاج بشكل كبير.

المنافسة هي التنافس بين اثنين أو أكثر (في حالتنا ، نحن نفكر في أنظمة ثنائية الأبعاد ، لذلك نأخذ بالضبط منافسة من نوعين) ، أو مجموعات اقتصادية للمناطق ، أو موارد محدودة ، أو قيم أخرى (Elton ، 1968). التغييرات في عدد الأنواع ، أو عدد المنتجات في حالتنا ، موصوفة من قبل النظام أدناه:

(1.3)

في هذه الحالة ، تؤثر الأنواع أو الشركات التي تنتج منتجًا واحدًا سلبًا على بعضها البعض. أي في حالة عدم وجود منافس ، سيزداد نمو المنتج بشكل كبير.

الآن دعنا ننتقل إلى التفاعل التكافلي ، حيث يكون لكلتا المؤسستين تأثير إيجابي على بعضهما البعض. لنبدأ بالتبادلية. التبادلية هي نوع من العلاقة بين أنواع مختلفة، حيث يستفيد كل منهما من عمل الآخر ، وتجدر الإشارة إلى أن وجود الشريك شرط ضروري للوجود (Thompson، 2005). هذا النوع من العلاقات موصوف من قبل النظام:

(1.4)

نظرًا لأن التفاعل بين الشركات ضروري لوجودها ، في غياب منتج شركة واحدة ، يتناقص إنتاج سلع شركة أخرى بشكل كبير. هذا ممكن عندما لا يكون لدى الشركات ببساطة بدائل أخرى للشراء.

ضع في اعتبارك نوعًا آخر من التفاعل التكافلي ، وهو التعاون الأولي. يشبه التعاون الأولي التعاون التبادلي ، مع الاستثناء الوحيد المتمثل في عدم وجود حاجة لوجود شريك ، حيث توجد ، على سبيل المثال ، بدائل أخرى. نظرًا لأنها متشابهة ، تبدو أنظمتها متطابقة تقريبًا مع بعضها البعض:

(1.5)

وبالتالي ، فإن عدم وجود منتج شركة ما لا يعيق نمو منتج شركة أخرى.

بالطبع ، بالإضافة إلى تلك المذكورة في الفقرتين 3 و 4 ، يمكن ملاحظة أنواع أخرى من العلاقات التكافلية: التعايش والتعايش (Hanski ، 1999). لكن لن يتم ذكرهم أكثر ، لأن أحد الشركاء في التعايش لا يبالي بتفاعله مع الآخر ، لكننا ما زلنا ننظر في الحالات التي يكون فيها تأثير. ولا يؤخذ في الاعتبار ، لأنه من وجهة نظر اقتصادية ، فإن مثل هذه العلاقات ، عندما يضر تفاعلها بأحدها ، والآخر غير مبال ، لا يمكن ببساطة أن توجد.

استنادًا إلى تأثير الشركات على بعضها البعض ، أي حقيقة أن العلاقات التكافلية تؤدي إلى التعايش المستدام للشركات ، سننظر في هذه الورقة فقط في حالات التبادلية والتعاون الأولي ، لأن التفاعل في كلتا الحالتين مفيد للجميع.

هذا الفصل مخصص لتفاعل الشركات في ظروف التبادلية. وسينظر في نظامين يمثلان تطويرًا إضافيًا للأنظمة القائمة على نموذج Malthus ، وهما الأنظمة ذات القيود المفروضة على زيادة الإنتاج.

يمكن وصف ديناميكيات الزوج المرتبطة بعلاقات متبادلة ، كما هو مذكور أعلاه ، في التقريب الأول بواسطة النظام:

(1.6)

يمكن ملاحظة أنه مع وجود كمية أولية كبيرة من الإنتاج ، فإن النظام ينمو إلى أجل غير مسمى ، وبكمية صغيرة ، ينخفض ​​الإنتاج. هذا هو المكان الذي يكمن فيه الخطأ في الوصف الثنائي للتأثير الناتج عن التبادلية. لمحاولة تصحيح الصورة ، نقدم عاملًا يشبه تشبع حيوان مفترس ، أي عامل سيقلل من معدل نمو الإنتاج ، إذا كان فائضًا. في هذه الحالة نصل إلى النظام التالي:

(1.7)

حيث هو النمو في إنتاج منتج الشركة الأولى في تفاعلها مع الثانية مع مراعاة التشبع ،

نمو في إنتاج منتج الشركة الثانية في تفاعلها مع الأولى مع مراعاة التشبع ،

معاملات التشبع.

وهكذا حصلنا على نظامين: النموذج المالتوسي للنمو مع التشبع وبدونه.

1.1 استقرار الأنظمة في التقريب الأول

تم أخذ استقرار الأنظمة في التقريب الأول في الاعتبار في العديد من الأعمال الأجنبية (Hairer ، 1993 ؛ Bhatia ، 2002 ؛ خليل ، 2001 ؛ Strogatz ، 2001 وغيرها) والأعمال باللغة الروسية (Akhromeyeva ، 1992 ؛ Bellman ، 1954 ؛ Demidovich ، 1967 ؛ Krasovsky، 1959 and others) ، وتعريفه هو خطوة أساسية لتحليل العمليات التي تحدث في النظام. للقيام بذلك ، قم بتنفيذ الخطوات الضرورية التالية:

لنجد نقاط التوازن.

دعونا نجد المصفوفة اليعقوبية للنظام.

أوجد القيم الذاتية لمصفوفة يعقوبي.

نصنف نقاط التوازن وفقًا لنظرية Lyapunov.

بعد النظر في الخطوات ، يجدر التفكير في شرحها بمزيد من التفصيل ، لذلك سأقدم تعريفات وأشرح الطرق التي سنستخدمها في كل خطوة من هذه الخطوات.

الخطوة الأولى هي البحث عن نقاط التوازن. لإيجادها ، نساوي كل دالة بالصفر. أي أننا نحل النظام:

حيث a و b تعني جميع معلمات المعادلة.

الخطوة التالية هي إيجاد المصفوفة اليعقوبية. في حالتنا ، ستكون هذه مصفوفة 2 في 2 مع المشتقات الأولى في مرحلة ما ، كما هو موضح أدناه:

بعد الانتهاء من الخطوتين الأوليين ، ننتقل إلى إيجاد جذور المعادلة المميزة التالية:

حيث تقابل النقطة نقاط التوازن الموجودة في الخطوة الأولى.

بعد أن وجدنا وننتقل إلى الخطوة الرابعة ونستخدم نظريات Lyapunov التالية (باركس ، 1992):

النظرية 1: إذا كانت جميع جذور المعادلة المميزة لها جزء حقيقي سلبي ، فإن نقطة التوازن المقابلة للنظامين الأصلي والخطي تكون مستقرة مقاربًا.

النظرية 2: إذا كان لواحد على الأقل من جذور المعادلة المميزة جزء حقيقي موجب ، فإن نقطة التوازن المقابلة للأنظمة الأصلية والخطية تكون غير مستقرة بشكل مقارب.

أيضًا ، بالنظر إلى أنه من الممكن تحديد نوع الاستقرار بشكل أكثر دقة ، بناءً على التقسيم الموضح في الأشكال 1.2 (جامعة لامار).

الشكل 1.2. أنواع ثبات نقاط التوازن

بعد النظر في المعلومات النظرية اللازمة ، ننتقل إلى تحليل الأنظمة.

ضع في اعتبارك نظامًا بدون تشبع:

إنه بسيط للغاية وغير مناسب للاستخدام العملي ، حيث لا توجد قيود عليه. ولكن كمثال أولي على تحليل النظام مناسب للدراسة.

أولًا ، لنجد نقاط التوازن عن طريق مساواة الطرفين الأيمن من المعادلات بالصفر. وهكذا ، نجد نقطتي توازن ، دعنا نسميهما A و B: .

دعنا نجمع الخطوة مع البحث عن مصفوفة Jacobian ، وجذور المعادلة المميزة ، وتحديد نوع الاستقرار. نظرًا لأنها أولية ، نحصل على الإجابة على الفور:

1. عند هذه النقطة ، هناك عقدة مستقرة.

عند نقطة: . . سرج.

كما كتبت بالفعل ، هذا النظام تافه للغاية ، لذلك لم يكن هناك حاجة إلى تفسير.

الآن دعنا نحلل النظام من التشبع:

(1.9)

إن ظهور قيود على التشبع المتبادل للمنتجات من قبل الشركات يجعلنا أقرب إلى الصورة الحقيقية لما يحدث ، كما أنه يعقد النظام قليلاً.

كما في السابق ، نساوي الأجزاء الصحيحة من النظام بالصفر ونحل النظام الناتج. بقيت النقطة دون تغيير ، لكن النقطة الأخرى في هذه الحالة تحتوي على معلمات أكثر من ذي قبل: .

في هذه الحالة ، تأخذ مصفوفة جاكوبي الشكل التالي:

اطرح منه مصفوفة الوحدة مضروبة في ، وساوي محدد المصفوفة الناتجة عند النقطتين A و B إلى الصفر.

في نقطة صورة مماثلة في وقت مبكر:

عقدة مستقرة.

لكن في هذه المرحلة كل شيء أكثر تعقيدًا إلى حد ما ، وعلى الرغم من أن الرياضيات لا تزال بسيطة للغاية ، إلا أن التعقيد يتسبب في إزعاج العمل مع التعبيرات الحرفية الطويلة. نظرًا لأن القيم طويلة جدًا ومكتوبة بشكل غير مريح ، لم يتم تقديمها ، يكفي أن نقول أنه في هذه الحالة ، كما هو الحال مع النظام السابق ، يكون نوع الاستقرار الذي تم الحصول عليه هو السرج.

2 صور المرحلة للأنظمة

الغالبية العظمى من النماذج الديناميكية غير الخطية هي معادلات تفاضلية معقدة لا يمكن حلها ، أو أن هذا نوع من التعقيد. مثال على ذلك هو النظام من القسم السابق. على الرغم من البساطة الظاهرة ، فإن العثور على نوع الاستقرار عند نقطة التوازن الثانية لم يكن مهمة سهلة (وإن لم يكن من وجهة نظر رياضية) ، ومع زيادة المعلمات والقيود والمعادلات لزيادة عدد المؤسسات المتفاعلة ، التعقيد سيزداد فقط. بالطبع ، إذا كانت المعلمات عبارة عن تعبيرات عددية ، فسيصبح كل شيء بسيطًا بشكل لا يصدق ، ولكن بعد ذلك سيفقد التحليل بطريقة ما كل المعنى ، لأنه في النهاية ، سنكون قادرين على إيجاد نقاط التوازن ومعرفة أنواع الاستقرار الخاصة بهم فقط من أجل معين ليست حالة عامة.

في مثل هذه الحالات ، يجدر تذكر مستوى الطور وصور الطور. في الرياضيات التطبيقية ، ولا سيما سياق تحليل الأنظمة غير الخطية ، فإن مستوى الطور هو تمثيل مرئي لخصائص معينة لأنواع معينة من المعادلات التفاضلية (Nolte ، 2015). مستوى الإحداثيات مع محاور قيم أي زوج من المتغيرات التي تميز حالة النظام هو حالة ثنائية الأبعاد لمساحة طور ذات أبعاد n مشتركة.

بفضل مستوى الطور ، من الممكن تحديد وجود دورات نهائية بيانياً في حلول المعادلة التفاضلية.

حلول المعادلة التفاضلية هي مجموعة من الوظائف. بيانياً ، يمكن رسم ذلك في مستوى الطور كحقل متجه ثنائي الأبعاد. يتم رسم المتجهات على المستوى ، وتمثل المشتقات في نقاط مميزة فيما يتعلق ببعض المعلمات ، في حالتنا ، فيما يتعلق بالوقت ، أي (). مع وجود عدد كافٍ من هذه الأسهم في منطقة واحدة ، يمكن تصور سلوك النظام وتحديد الدورات المحددة بسهولة (Boeing ، 2016).

حقل المتجه هو صورة طور ، مسار معين على طول خط التدفق (أي المسار دائمًا ماس للمتجهات) هو مسار طور. تشير التدفقات في حقل ناقل إلى التغيير في النظام بمرور الوقت ، الموصوف بواسطة معادلة تفاضلية (جوردان ، 2007).

تجدر الإشارة إلى أنه يمكن إنشاء صورة طور حتى بدون حل المعادلة التفاضلية ، وفي الوقت نفسه ، يمكن أن يوفر التصور الجيد الكثير من المعلومات المفيدة. بالإضافة إلى ذلك ، يوجد في الوقت الحالي العديد من البرامج التي يمكن أن تساعد في إنشاء مخططات الطور.

وبالتالي ، فإن مستويات الطور مفيدة لتصور سلوك الأنظمة الفيزيائية. على وجه الخصوص ، الأنظمة التذبذبية ، مثل نموذج الفريسة المفترس الذي سبق ذكره أعلاه. في هذه النماذج ، يمكن لمسارات الطور "الالتواء" نحو الصفر ، "الخروج من اللولب" إلى اللانهاية ، أو الوصول إلى حالة مستقرة محايدة تسمى المراكز. هذا مفيد في تحديد ما إذا كانت الديناميات مستقرة أم لا (الأردن ، 2007).

سيتم إنشاء صور المرحلة المعروضة في هذا القسم باستخدام أدوات WolframAlpha ، أو يتم توفيرها من مصادر أخرى. نموذج نمو Malthusian بدون تشبع.

دعونا نبني صورة طورية للنظام الأول بثلاث مجموعات من المعلمات لمقارنة سلوكهم. المجموعة أ ((1،1) ، (1،1)) ، والتي سيشار إليها على أنها مجموعة واحدة ، المجموعة ب ((10،0.1) ، (2،2)) ، عند تحديدها ، يواجه النظام درجة حادة انخفاض في الإنتاج ، والمجموعة C ((1،10) ، (1،10)) التي ، على العكس من ذلك ، يحدث نمو حاد وغير محدود. وتجدر الإشارة إلى أن القيم على طول المحاور في جميع الحالات ستكون في نفس الفواصل الزمنية من -10 إلى 10 ، لتسهيل مقارنة مخططات الطور مع بعضها البعض. بالطبع ، هذا لا ينطبق على الصورة النوعية للنظام ، الذي تكون محاوره بلا أبعاد.

الشكل 1.3 صورة الطور مع المعلمات أ

معادلة حد التفاضل التفاضلي

يوضح الشكل 1.3 أعلاه صور الطور للنظام للمجموعات الثلاث المحددة من المعلمات ، بالإضافة إلى صورة الطور التي تصف السلوك النوعي للنظام. لا تنس أن الربع الأول هو الأهم من الناحية العملية ، لأن كمية الإنتاج التي يمكن أن تكون غير سالبة هي محاورنا.

في كل من الأشكال ، يكون الاستقرار عند نقطة التوازن (0،0) مرئيًا بوضوح. وفي الشكل الأول ، تكون "نقطة السرج" ملحوظة أيضًا عند النقطة (1،1) ، بمعنى آخر ، إذا استبدلنا قيم مجموعة المعلمات في النظام ، فعند نقطة التوازن B. عندما تتغير حدود بناء النموذج ، توجد نقطة السرج أيضًا في صور الطور الأخرى.

نموذج Malthusian للنمو من التشبع.

دعونا نبني مخططات الطور للنظام الثاني ، حيث يوجد تشبع ، بثلاث مجموعات جديدة من قيم المعلمات. المجموعة أ ، ((0.1 ، 15 ، 100) ، (0.1 ، 15 ، 100)) ، المجموعة ب ((1،1،0.5) ، (1 ، 1،0.5)) والمجموعة ج ((20،1،100) ، (20،1،100) )).

الشكل 1.4. صورة المرحلة مع المعلمات أ

كما ترى ، بالنسبة لأي مجموعة من المعلمات ، فإن النقطة (0،0) هي توازن ، ومستقرة أيضًا. أيضًا في بعض الأشكال ، يمكنك رؤية نقطة سرج.

في هذه الحالة ، تم النظر في مقاييس مختلفة لإثبات أنه حتى عند إضافة عامل تشبع إلى النظام ، فإن الصورة النوعية لا تتغير ، أي أن التشبع وحده لا يكفي. يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه من الناحية العملية ، تحتاج الشركات إلى الاستقرار ، أي إذا أخذنا في الاعتبار المعادلات التفاضلية غير الخطية ، فنحن مهتمون أكثر بنقاط التوازن المستقرة ، وفي هذه الأنظمة ، نقاط الصفر فقط هي مثل هذه النقاط ، مما يعني أن مثل هذه النماذج الرياضية من الواضح أنها ليست مناسبة للمؤسسات. بعد كل شيء ، هذا يعني أنه فقط مع عدم وجود إنتاج ، تكون الشركات في حالة استقرار ، وهو أمر يختلف بوضوح عن الصورة الحقيقية للعالم.

في الرياضيات ، المنحنى المتكامل هو منحنى حدودي يمثل حلاً محددًا لمعادلة تفاضلية عادية أو نظام معادلات (لانج ، 1972). إذا تم تمثيل المعادلة التفاضلية كحقل متجه ، فإن منحنيات التكامل المقابلة تكون مماسًا للحقل في كل نقطة.

تُعرف المنحنيات المتكاملة أيضًا بأسماء أخرى ، اعتمادًا على طبيعة وتفسير المعادلة التفاضلية أو الحقل المتجه. في الفيزياء ، تُعرف المنحنيات المتكاملة للحقل الكهربائي أو المجال المغناطيسي بخطوط المجال ، وتُعرف المنحنيات المتكاملة لحقل سرعة السائل باسم خطوط الانسياب. في الأنظمة الديناميكية ، تسمى المنحنيات المتكاملة للمعادلة التفاضلية المسارات.

الشكل 1.5. منحنيات متكاملة

يمكن أيضًا اعتبار حلول أي نظام معادلات منحنيات متكاملة. من الواضح أن كل مسار طور هو إسقاط لبعض منحنى متكامل الفضاء x ، y ، tإلى مستوى الطور.

هناك عدة طرق لبناء منحنيات متكاملة.

واحد منهم هو طريقة isocline. الخط المتساوي هو منحنى يمر عبر نقاط يكون عندها ميل الوظيفة قيد الدراسة دائمًا هو نفسه ، بغض النظر عن الظروف الأولية (Hanski ، 1999).

غالبًا ما يستخدم كطريقة رسومية لحل المعادلات التفاضلية العادية. على سبيل المثال ، في معادلة بالصيغة y "= f (x، y) ، تكون الخطوط المتساوية خطوطًا في المستوى (x ، y) يتم الحصول عليها عن طريق معادلة f (x ، y) بالثابت. وهذا يعطي سلسلة من الخطوط ( بالنسبة للثوابت المختلفة) التي على طولها يكون لحلول المنحنيات نفس التدرج اللوني. من خلال حساب هذا التدرج لكل خط متساوي ، يمكن تصور مجال المنحدر ، مما يجعل من السهل نسبيًا رسم منحنيات الحل التقريبية. يوضح الشكل أدناه مثالاً على استخدام طريقة isocline .

الشكل 1.6. طريقة Isocline

لا تتطلب هذه الطريقة حسابات الكمبيوتر ، وكانت شائعة جدًا في الماضي. الآن هناك حلول برمجية من شأنها بناء منحنيات متكاملة على أجهزة الكمبيوتر بدقة وسرعة فائقة. ومع ذلك ، ومع ذلك ، فقد أظهرت طريقة isocline نفسها كأداة لدراسة سلوك الحلول ، لأنها تتيح للمرء إظهار مجالات السلوك النموذجي لمنحنيات متكاملة.

نموذج نمو Malthusian بدون تشبع.

لنبدأ بحقيقة أنه على الرغم من وجود طرق بناء مختلفة ، فإنه ليس من السهل إظهار المنحنيات المتكاملة لنظام المعادلات. طريقة isocline المذكورة سابقًا ليست مناسبة لأنها تعمل مع المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى. وأدوات البرمجيات التي لديها القدرة على رسم مثل هذه المنحنيات ليست في المجال العام. على سبيل المثال ، يتم الدفع لـ Wolfram Mathematica ، القادر على ذلك. لذلك ، سنحاول استخدام قدرات Wolfram Alpha قدر الإمكان ، والذي تم وصف العمل به في مقالات وأعمال مختلفة (Orca ، 2009). على الرغم من حقيقة أن الصورة لن تكون موثوقة تمامًا بشكل واضح ، إلا أنها على الأقل ستسمح لك بإظهار الاعتماد على الطائرات (x ، t) ، (y ، t). أولًا ، لنحل كل معادلة من أجل t. أي أننا نشتق اعتماد كل من المتغيرات فيما يتعلق بالوقت. لهذا النظام نحصل على:

(1.10)

(1.11)

المعادلتان متماثلتان ، لذا فإننا نعتبر واحدة منهما فقط ، وهي x (t). دع الثابت يساوي 1. في هذه الحالة ، سنستخدم وظيفة الرسم.

الشكل 1.7. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (1.10)

نموذج Malthusian للنمو من التشبع.

لنفعل الشيء نفسه بالنسبة للنموذج الآخر. في النهاية ، نحصل على معادلتين توضحان اعتماد المتغيرات في الوقت المناسب.

(1.12)

(1.13)

دعونا نبني نموذجًا ثلاثي الأبعاد وخطوط المستوى مرة أخرى.

الشكل 1.8. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (1.12)

نظرًا لأن قيم المتغيرات غير سالبة ، في الكسر الذي يحتوي على الأس نحصل على رقم سالب. وهكذا ، يتناقص منحنى التكامل مع مرور الوقت.

في السابق ، تم تقديم تعريف لديناميكيات النظام لفهم جوهر العمل ، ولكن الآن دعنا نتحدث عن هذا بمزيد من التفصيل.

ديناميكيات النظام هي منهجية وطريقة للنمذجة الرياضية لتشكيل وفهم ومناقشة المشكلات المعقدة ، تم تطويرها في الأصل في الخمسينيات من قبل جاي فوريستر ووصفها في عمله (فورستر ، 1961).

ديناميات النظام هي أحد جوانب نظرية الأنظمة كطريقة لفهم السلوك الديناميكي للأنظمة المعقدة. أساس الطريقة هو الاعتراف بأن هيكل أي نظام يتكون من العديد من العلاقات بين مكوناته ، والتي غالبًا ما تكون مهمة في تحديد سلوكها مثل المكونات الفردية نفسها. ومن الأمثلة على ذلك نظرية الفوضى والديناميكيات الاجتماعية ، الموصوفة في أعمال العديد من المؤلفين (غريبوجي ، 1987 ؛ سونتاج ، 1998 ؛ كوزنتسوف ، 2001 ؛ تابور ، 2001). يُقال أيضًا أنه نظرًا لأنه لا يمكن غالبًا العثور على الخصائص الكاملة في خصائص العنصر ، في بعض الحالات لا يمكن تفسير سلوك الكل من حيث سلوك الأجزاء.

يمكن أن تظهر المحاكاة حقًا الأهمية العملية الكاملة للنظام الديناميكي. على الرغم من إمكانية ذلك في جداول البيانات ، إلا أن هناك العديد من حزم البرامج التي تم تحسينها خصيصًا لهذا الغرض.

النمذجة نفسها هي عملية إنشاء وتحليل نموذج أولي لنموذج مادي من أجل التنبؤ بأدائه في العالم الحقيقي. تُستخدم نمذجة المحاكاة لمساعدة المصممين والمهندسين على فهم الظروف وفي أي الحالات يمكن أن تفشل العملية وما الأحمال التي يمكن أن تتحملها (خمدي ، 2007). يمكن أن تساعد النمذجة أيضًا في التنبؤ بسلوك تدفقات السوائل والظواهر الفيزيائية الأخرى. يحلل النموذج ظروف العمل التقريبية بسبب برنامج المحاكاة المطبق (Strogalev ، 2008).

القيود المفروضة على إمكانيات نمذجة المحاكاة لها سبب مشترك. يضمن البناء والحساب العددي لنموذج دقيق النجاح فقط في تلك المناطق التي توجد فيها نظرية كمية دقيقة ، أي عندما تكون المعادلات التي تصف ظواهر معينة معروفة ، والمهمة هي فقط حل هذه المعادلات بالدقة المطلوبة. في تلك المناطق التي لا توجد فيها نظرية كمية ، يكون بناء نموذج دقيق ذا قيمة محدودة (Bazykin ، 2003).

ومع ذلك ، فإن إمكانيات النمذجة ليست غير محدودة. بادئ ذي بدء ، يرجع هذا إلى حقيقة أنه من الصعب تقييم نطاق قابلية تطبيق نموذج المحاكاة ، ولا سيما الفترة الزمنية التي يمكن فيها بناء التنبؤ بالدقة المطلوبة (القانون ، 2006). بالإضافة إلى ذلك ، فإن نموذج المحاكاة بطبيعته مرتبط بجسم معين ، وعند محاولة تطبيقه على كائن آخر ، حتى لو كان مشابهًا ، فإنه يتطلب تعديلًا جذريًا أو ، على الأقل ، تعديلًا مهمًا.

هناك سبب عام لوجود قيود على المحاكاة. لا ينجح البناء والحساب العددي لنموذج "دقيق" إلا في حالة وجود نظرية كمية ، أي فقط إذا كانت جميع المعادلات معروفة ، ويتم تقليل المشكلة فقط إلى حل هذه المعادلات بدقة معينة (Bazykin ، 2003).

ولكن على الرغم من ذلك ، تعد نمذجة المحاكاة أداة ممتازة لتصور العمليات الديناميكية ، مما يسمح ، باستخدام نموذج صحيح إلى حد ما ، باتخاذ قرارات بناءً على نتائجه.

في هذا العمل ، سيتم بناء نماذج النظام باستخدام أدوات ديناميكيات النظام التي يوفرها برنامج AnyLogic.

نموذج نمو Malthusian بدون تشبع /

قبل بناء نموذج ، من الضروري مراعاة عناصر ديناميكيات النظام التي سنستخدمها وربطها بنظامنا. تم أخذ التعريفات التالية من معلومات المساعدة الخاصة ببرنامج AnyLogic.

محرك الأقراص هو العنصر الرئيسي في مخططات ديناميكيات النظام. تُستخدم لتمثيل أشياء من العالم الحقيقي ، حيث تتراكم موارد معينة: المال ، والمواد ، وعدد مجموعات الأشخاص ، وبعض الأشياء المادية ، إلخ. تعكس المراكم الحالة الثابتة للنظام المحاكى ، وتتغير قيمها بمرور الوقت وفقًا للتدفقات الموجودة في النظام. ويترتب على ذلك أن ديناميكيات النظام تحددها التدفقات. التدفقات التي تدخل وتخرج من المجمع تزيد أو تنقص من قيم المجمع.

يعد التدفق ، بالإضافة إلى محرك الأقراص المذكور أعلاه ، العنصر الرئيسي في المخططات الديناميكية للنظام.

بينما تحدد الصناديق الجزء الثابت من النظام ، تحدد التدفقات معدل تغير الصناديق ، أي كيف تتغير المخزونات بمرور الوقت ، وبالتالي تحدد ديناميكيات النظام.

قد يحتوي العامل على متغيرات. تُستخدم المتغيرات عادةً لنمذجة الخصائص المتغيرة لعامل ما أو لتخزين نتائج النموذج. عادة ، تتكون المتغيرات الديناميكية من وظائف تراكمية.

قد يكون لدى الوكيل معلمات. غالبًا ما تستخدم المعلمات لتمثيل بعض خصائص الكائن النموذجي. تكون مفيدة عندما يكون لمثيلات الكائن نفس السلوك الموضح في الفئة ، ولكنها تختلف في بعض قيم المعلمات. هناك فرق واضح بين المتغيرات والمعلمات. يمثل المتغير حالة النموذج ويمكن أن يتغير أثناء المحاكاة. عادة ما تستخدم المعلمة لوصف الكائنات بشكل ثابت. أثناء "تشغيل" النموذج ، عادة ما تكون المعلمة ثابتة ولا يتم تغييرها إلا عندما يحتاج سلوك النموذج إلى إعادة تكوينه.

الارتباط هو عنصر من عناصر ديناميكيات النظام يتم استخدامه لتحديد العلاقة بين عناصر مخطط التدفق والمراكم. ولا يقوم تلقائيًا بإنشاء روابط ، ولكنه يجبر المستخدم على رسمها بشكل صريح في المحرر الرسومي (ومع ذلك ، تجدر الإشارة إلى أن AnyLogic يدعم أيضًا آلية لتعيين الروابط المفقودة بسرعة). على سبيل المثال ، إذا تم ذكر أي عنصر من عناصر A في المعادلة أو القيمة الأولية للعنصر B ، فأنت بحاجة أولاً إلى توصيل هذه العناصر برابط ينتقل من A إلى B ، وبعد ذلك فقط أدخل التعبير في خصائص B .

هناك بعض العناصر الأخرى لديناميكيات النظام ، لكنها لن تشارك في سير العمل ، لذلك سنحذفها.

بادئ ذي بدء ، دعونا نفكر في ماهية نموذج النظام (1.4) الذي سيتألف منه.

أولاً ، نحتفل على الفور بمحركين ، سيحتويان على قيم كمية الإنتاج لكل من الشركات.

ثانيًا ، نظرًا لأن لدينا حدين في كل معادلة ، فإننا نحصل على تدفقين لكل محرك من محركات الأقراص ، أحدهما وارد والآخر صادر.

ثالثًا ، ننتقل إلى المتغيرات والمعلمات. لا يوجد سوى متغيرين. X و Y ، المسؤولتان عن نمو الإنتاج. لدينا أيضا أربعة خيارات.

رابعًا ، فيما يتعلق بالتوصيلات ، يجب أن يرتبط كل من التدفقات بالمتغيرات والمعلمات المضمنة في معادلة التدفق ، ويجب أن يرتبط كلا المتغيرين بالمراكمات لتغيير القيمة بمرور الوقت.

سنترك وصفًا مفصلاً لبناء نموذج ، كمثال على العمل في بيئة نمذجة AnyLogic ، للنظام التالي ، نظرًا لأنه أكثر تعقيدًا إلى حد ما ويستخدم المزيد من المعلمات ، وسنشرع على الفور في النظر في الإصدار النهائي من نظام.

يوضح الشكل 1.9 أدناه النموذج المبني:

الشكل 1.9. نموذج ديناميكيات النظام للنظام (1.4)

تتوافق جميع عناصر ديناميكيات النظام مع العناصر الموضحة أعلاه ، أي محركان ، أربعة تدفقات (اثنان واردان ، واثنان صادران) ، وأربعة معلمات ، ومتغيران ديناميكيان ، وروابط ضرورية.

يوضح الشكل أنه كلما زاد عدد المنتجات ، كان نموها أقوى ، مما يؤدي إلى زيادة حادة في عدد السلع ، وهو ما يتوافق مع نظامنا. لكن كما ذكرنا سابقًا ، فإن عدم وجود قيود على هذا النمو لا يسمح بتطبيق هذا النموذج في الممارسة العملية.

نموذج نمو Malthusian من التشبع /

بالنظر إلى هذا النظام ، دعونا نتناول بناء النموذج بمزيد من التفصيل.

الخطوة الأولى هي إضافة محركي أقراص ، دعنا نسميهم X_stock و Y_stock. دعنا نخصص قيمة أولية تساوي 1 لكل منها ، لاحظ أنه في حالة عدم وجود تدفقات ، لا يوجد شيء في معادلة التخزين المعطاة تقليديًا.

الشكل 1.10. بناء نموذج نظام (1.9)

الخطوة التالية هي إضافة المواضيع. دعونا نبني دفقًا واردًا وصادرًا لكل محرك أقراص باستخدام محرر رسومي. يجب ألا ننسى أن أحد حواف التدفق يجب أن يكون في محرك الأقراص ، وإلا فلن يتم توصيلهما.

يمكنك أن ترى أن معادلة محرك الأقراص تم ضبطها تلقائيًا ، بالطبع ، يمكن للمستخدم كتابتها بنفسه عن طريق اختيار وضع المعادلة "التعسفي" ، ولكن أسهل طريقة هي ترك هذا الإجراء للبرنامج.

خطوتنا الثالثة هي إضافة ستة متغيرات ومتغيرين ديناميكيين. دعونا نعطي كل عنصر اسمًا وفقًا لتعبيره الحرفي في النظام ، ونضبط أيضًا القيم الأولية للمعلمات على النحو التالي: e1 = e2 = 1 ، a12 = a21 = 3 ، n1 = n2 = 0.2.

جميع عناصر المعادلات موجودة ، يبقى فقط كتابة معادلات التدفقات ، لكن لهذا تحتاج أولاً إلى إضافة وصلات بين العناصر. على سبيل المثال ، يجب أن يقترن الدفق الصادر المسؤول عن المصطلح بـ e1 و x. ويجب أن يرتبط كل متغير ديناميكي بالمخزون المقابل له (X_stock x، Y_stock y). إنشاء الروابط يشبه إضافة المواضيع.

بعد إنشاء الاتصالات الضرورية ، يمكنك المتابعة إلى كتابة معادلات التدفقات ، والتي تظهر في الشكل الصحيح. بالطبع ، يمكنك الذهاب بترتيب عكسي ، ولكن إذا كانت هناك اتصالات ، عند كتابة المعادلات ، تظهر تلميحات لاستبدال المعلمات / المتغيرات الضرورية ، مما يجعل المهمة أسهل في النماذج المعقدة.

بعد الانتهاء من جميع الخطوات ، يمكنك تشغيل نموذج المحاكاة وإلقاء نظرة على نتائجه.

بعد النظر في أنظمة المعادلات التفاضلية غير الخطية لتفاعل الشركات في ظروف التبادلية ، يمكننا استخلاص عدة استنتاجات.

هناك حالتان للنظام: نمو حاد غير محدود ، أو ميل كمية الإنتاج إلى الصفر. تعتمد أي من الحالتين التي سيفترضها النظام على المعلمات.

لا يوجد أي من النماذج المقترحة ، بما في ذلك النموذج الذي يأخذ في الاعتبار التشبع ، غير مناسب للاستخدام العملي ، بسبب عدم وجود موضع ثابت غير صفري ، فضلاً عن الأسباب الموضحة في الفقرة 1.

في حالة محاولة إجراء مزيد من الدراسة لهذا النوع من التفاعل التكافلي من أجل إنشاء نموذج قابل للتطبيق من قبل الشركات في الممارسة العملية ، فمن الضروري زيادة تعقيد النظام وإدخال معلمات جديدة. على سبيل المثال ، يعطي Bazykin في كتابه مثالاً على ديناميكيات مجموعتين متبادلتين مع إدخال عامل إضافي للمنافسة داخل النوعية. بسبب الذي يأخذ النظام الشكل:

(1.15)

وفي هذه الحالة ، يظهر موقع ثابت غير صفري للنظام ، مفصولاً عن الصفر بـ "سرج" ، مما يجعله أقرب إلى الصورة الحقيقية لما يحدث.

2. تفاعل الشركات في ظروف التعاون الأولي

تم تقديم جميع المعلومات النظرية الأساسية في الفصل السابق ، لذلك في تحليل النماذج التي تم تناولها في هذا الفصل ، سيتم حذف النظرية في الغالب ، باستثناء بعض النقاط التي لم نواجهها في السابق الفصل ، وقد يكون هناك أيضًا انخفاض في الحسابات. نموذج التفاعل بين المنظمات التي تم تناولها في هذا الفصل في ظل ظروف protocooperation ، والذي يتكون من أنظمة من معادلتين على أساس نموذج Malthusian ، يشبه النظام (1.5). أظهرت الأنظمة التي تم تحليلها في الفصل السابق أنه من أجل تقريبها الأقصى للنماذج الحالية ، من الضروري تعقيد الأنظمة. بناءً على هذه النتائج ، سنضيف على الفور قيدًا للنمو إلى النموذج. على عكس النوع السابق من التفاعل ، عندما يكون النمو الذي لا يعتمد على شركة أخرى سلبيًا ، في هذه الحالة تكون جميع العلامات إيجابية ، مما يعني أن لدينا نموًا مستمرًا. تجنبًا لأوجه القصور الموضحة سابقًا ، سنحاول حصرها في المعادلة اللوجستية ، والمعروفة أيضًا باسم معادلة فيرهولست (Gershenfeld ، 1999) ، والتي لها الشكل التالي:

, (2.1)

حيث P هو حجم السكان ، r هي المعلمة التي توضح معدل النمو ، K هي المعلمة المسؤولة عن الحد الأقصى لحجم السكان الممكن. أي ، بمرور الوقت ، سيميل حجم السكان (في حالتنا ، الإنتاج) إلى معلمة معينة K.

ستساعد هذه المعادلة في كبح النمو الهائل للإنتاج الذي شهدناه حتى الآن. وهكذا يأخذ النظام الشكل التالي:

(2.2)

لا تنسَ أن حجم البضائع المخزنة في المستودع لكل شركة يختلف عن الآخر ، لذا تختلف المعلمات التي تحد من النمو. دعنا نسمي هذا النظام "" ، وفي المستقبل سوف نستخدم هذا الاسم عندما نفكر فيه.

النظام الثاني الذي سننظر فيه هو التطوير الإضافي للنموذج مع قيد Verhulst. كما في الفصل السابق ، قدمنا ​​قيد التشبع ، ثم سيأخذ النظام الشكل:

(2.3)

الآن كل مصطلح له حدوده الخاصة ، لذلك بدون مزيد من التحليل يمكن ملاحظة أنه لن يكون هناك نمو غير محدود ، كما في نماذج الفصل السابق. وبما أن كل مصطلح يوضح نموًا إيجابيًا ، فلن تنخفض كمية الإنتاج إلى الصفر. دعنا نسمي هذا النموذج "نموذج العملية الأولية ذات التقييد".

تمت مناقشة هذين النموذجين في مصادر مختلفة على المجموعات البيولوجية. الآن سنحاول توسيع الأنظمة إلى حد ما. للقيام بذلك ، ضع في اعتبارك الشكل التالي.

يوضح الشكل مثالاً لعمليات شركتين: صناعات الصلب والفحم. في كلتا المؤسستين ، هناك زيادة في الإنتاج مستقلة عن الأخرى ، وكذلك هناك زيادة في الإنتاج ، يتم الحصول عليها بسبب تفاعلهما. لقد أخذنا هذا بالفعل في الاعتبار في النماذج السابقة. الآن يجدر الانتباه إلى حقيقة أن الشركات لا تنتج المنتجات فحسب ، بل تبيعها أيضًا ، على سبيل المثال ، في السوق أو إلى شركة تتفاعل معها. أولئك. بناءً على الاستنتاجات المنطقية ، هناك حاجة إلى نمو سلبي للشركات بسبب بيع المنتجات (في الشكل ، المعلمات 1 و 2 مسؤولة عن ذلك) ، وكذلك بسبب نقل جزء من المنتجات إلى مؤسسة أخرى . في السابق ، أخذنا ذلك في الاعتبار فقط مع وجود علامة إيجابية لشركة أخرى ، لكننا لم نأخذ في الاعتبار حقيقة أن عدد المنتجات يتناقص للمؤسسة الأولى عند نقل المنتجات. في هذه الحالة نحصل على النظام:

(2.4)

وإذا كان من الممكن أن يقال عن المصطلح أنه إذا تم الإشارة إليه في النماذج السابقة التي تميز الزيادة الطبيعية ، ويمكن أن تكون المعلمة سالبة ، فلا يوجد فرق عمليًا ، ثم حول المصطلح لا يمكن قول هذا. بالإضافة إلى ذلك ، في المستقبل ، عند النظر في مثل هذا النظام مع وجود قيود مفروضة عليه ، فمن الأصح استخدام مصطلحات النمو الإيجابي والسلبي ، لأنه في هذه الحالة قد يتم فرض قيود مختلفة عليها ، وهو أمر مستحيل بالنسبة للطبيعي. نمو. دعنا نسميها "نموذج التعاون الأولي الممتد".

أخيرًا ، النموذج الرابع قيد الدراسة هو نموذج التعاون الأولي الممتد مع قيد النمو اللوجستي المذكور سابقًا. ونظام هذا النموذج كالتالي:

, (2.5)

أين هي الزيادة في إنتاج المشروع الأول ، بغض النظر عن الثانية ، مع مراعاة القيود اللوجستية ، - الزيادة في إنتاج الشركة الأولى ، اعتمادًا على الثانية ، مع مراعاة القيود اللوجستية ، - الزيادة في إنتاج الشركة الثانية ، المستقلة عن الأولى ، مع مراعاة القيود اللوجستية ، - زيادة إنتاج الشركة الثانية ، حسب الأولى ، مع مراعاة القيد اللوجستي ، - استهلاك سلع الشركة الأولى ، غير المرتبطة بشركة أخرى ، - استهلاك سلع الشركة الثانية ، غير المرتبطة بشركة أخرى - استهلاك سلع الصناعة الأولى بالصناعة الثانية - استهلاك سلع الصناعة الثانية الصناعة الأولى.

في المستقبل ، سيشار إلى هذا النموذج باسم "نموذج العملية الأولية الممتد مع قيود لوجستية".

1 استقرار الأنظمة في التقريب الأول

نموذج العملية الأولية مع قيد Verhulst

تمت الإشارة إلى طرق تحليل استقرار النظام في قسم مماثل من الفصل السابق. بادئ ذي بدء ، نجد نقاط التوازن. واحد منهم ، كما هو الحال دائمًا ، هو صفر. الآخر هو نقطة ذات إحداثيات.

بالنسبة إلى نقطة الصفر λ1 = ، λ2 = ، نظرًا لأن كلا المعلمتين غير سالبين ، نحصل على عقدة غير مستقرة.

نظرًا لأنه ليس من الملائم جدًا العمل مع النقطة الثانية ، نظرًا لعدم وجود القدرة على تقصير التعبير ، سنترك تعريف نوع الاستقرار لمخططات الطور ، لأنها توضح بوضوح ما إذا كانت نقطة التوازن مستقرة أم لا.

يعد تحليل هذا النظام أكثر تعقيدًا من التحليل السابق نظرًا لحقيقة إضافة عامل التشبع ، وبالتالي تظهر معلمات جديدة ، وعند العثور على نقاط التوازن ، سيكون من الضروري حل المعادلة غير الخطية ، ولكن المعادلة ثنائية الخطية بسبب المتغير في المقام. لذلك ، كما في الحالة السابقة ، نترك تعريف نوع الاستقرار لمخططات الطور.

على الرغم من ظهور معلمات جديدة ، فإن Jacobian عند نقطة الصفر ، وكذلك جذور المعادلة المميزة ، تبدو مشابهة للنموذج السابق. وهكذا ، عند نقطة الصفر ، عقدة غير مستقرة.

دعنا ننتقل إلى النماذج المتقدمة. الأول منها لا يحتوي على أي قيود ويأخذ شكل النظام (2.4)

لنقم بتغيير المتغيرات ، , و . نظام جديد:

(2.6)

في هذه الحالة ، نحصل على نقطتي توازن ، النقطة A (0،0) ، B (). تقع النقطة B في الربع الأول لأن المتغيرات لها قيمة غير سالبة.

لنقطة التوازن أ نحصل على:

. - عقدة غير مستقرة

. - سرج،

. - سرج،

. - عقدة مستقرة

عند النقطة B ، جذور المعادلة المميزة هي أرقام مركبة: λ1 = ، λ2 =. لا يمكننا تحديد نوع الاستقرار بالاعتماد على نظريات Lyapunov ، لذلك سنقوم بإجراء عمليات محاكاة عددية لن تظهر جميع الحالات الممكنة ، ولكنها ستسمح لنا باكتشاف بعض منها على الأقل.

الشكل 2.2. محاكاة عددية للبحث عن نوع الثبات

بالنظر إلى هذا النموذج ، سيتعين على المرء مواجهة صعوبات حسابية ، نظرًا لأنه يحتوي على عدد كبير من المعلمات المختلفة ، فضلاً عن محدودين.

بدون الخوض في تفاصيل الحسابات ، نصل إلى نقاط التوازن التالية. النقطة أ (0،0) والنقطة ب بالإحداثيات التالية:

() ، حيث أ =

بالنسبة للنقطة أ ، يعد تحديد نوع الاستقرار مهمة تافهة. جذور المعادلة المميزة هي λ1 = ، λ2 =. وهكذا نحصل على أربعة خيارات:

1. λ1> 0 ، λ2> 0 - عقدة غير مستقرة.

2.λ1< 0, λ2 >0 - سرج.

3. λ1> 0 ، λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

عند الحديث عن النقطة B ، يجدر الاتفاق على أن استبدال الاختصارات في التعبير لأنه سيعقد العمل مع Jacobian وإيجاد جذور المعادلة المميزة. على سبيل المثال ، بعد محاولة العثور عليها باستخدام أدوات الحوسبة WolframAlpha ، استغرق إخراج الجذور حوالي خمسة أسطر ، مما لا يسمح بالعمل معهم بشكل حرفي. بالطبع ، إذا كانت هناك معلمات موجودة بالفعل ، فيبدو أنه من الممكن العثور بسرعة على نقطة توازن ، ولكن هذه حالة خاصة ، لأننا سنجد حالة التوازن ، إن وجدت ، فقط لهذه المعلمات ، وهي غير مناسبة للقرار نظام الدعم الذي تم التخطيط لإنشاء النموذج من أجله.

نظرًا لتعقيد العمل مع جذور المعادلة المميزة ، فإننا نبني الترتيب المتبادل للخطوط المتساوية الصفرية عن طريق القياس مع النظام الذي تم تحليله في عمل Bazykin (Bazykin ، 2003). سيسمح لنا ذلك بالنظر في الحالات المحتملة للنظام ، وفي المستقبل ، عند إنشاء صور المرحلة ، لإيجاد نقاط التوازن وأنواع استقرارها.

بعد بعض الحسابات ، تأخذ المعادلات ذات الاتجاه الصفري الشكل التالي:

(2.7)

وهكذا ، فإن الخطوط المتساوية لها شكل القطع المكافئ.

الشكل 2.3. موقع ممكن خالية من isoclinic

في المجموع ، هناك أربع حالات محتملة لترتيبها المتبادل وفقًا لعدد النقاط المشتركة بين القطوع المكافئة. كل واحد منهم لديه مجموعاته الخاصة من المعلمات ، ومن ثم صور المرحلة للنظام.

2 صور المرحلة للأنظمة

دعونا نبني صورة مرحلية للنظام ، بشرط ذلك والمعلمات المتبقية تساوي 1. في هذه الحالة ، تكفي مجموعة واحدة من المتغيرات ، لأن الجودة لن تتغير.

كما يتضح من الأشكال أدناه ، فإن نقطة الصفر هي عقدة غير مستقرة ، والنقطة الثانية ، إذا استبدلنا القيم العددية للمعلمات ، نحصل على (-1.5 ، -1.5) - سرج.

الشكل 2.4. صورة المرحلة للنظام (2.2)

وبالتالي ، نظرًا لأنه لا ينبغي حدوث أي تغييرات ، فإن هذا النظام لا يوجد سوى حالات غير مستقرة ، وهو على الأرجح بسبب إمكانية النمو غير المحدود.

نموذج تشغيل أولي مع قيدين.

في هذا النظام ، يوجد عامل مقيد إضافي ، لذلك يجب أن تختلف مخططات الطور عن الحالة السابقة ، كما يتضح من الشكل. نقطة الصفر هي أيضًا عقدة غير مستقرة ، ولكن يظهر موضع ثابت في هذا النظام ، أي عقدة مستقرة. مع هذه المعلمات ، إحداثياتها (5.5،5.5) ، تظهر في الشكل.

الشكل 2.5. صورة الطور للنظام (2.3)

وبالتالي ، فإن القيود المفروضة على كل مصطلح جعلت من الممكن الحصول على وضع ثابت للنظام.

نموذج التشغيل الأولي الممتد.

دعونا نبني صورًا طورية للنموذج الموسع ، ولكن على الفور باستخدام شكله المعدل:

دعونا نفكر في أربع مجموعات من المعلمات ، مثل النظر في جميع الحالات بنقطة توازن صفرية ، وأيضًا لتوضيح مخططات الطور للمحاكاة العددية المستخدمة لنقطة توازن غير صفرية: المجموعة A (1.0.5،0.5) يتوافق مع الدولة ، المجموعة B (1،0.5 ، -0.5) تقابل مجموعة C (-1.0.5،0.5) ومجموعة D (-1.0.5 ، -0.5) ، أي عقدة مستقرة عند نقطة الصفر. ستوضح أول مجموعتين صور الطور للمعلمات التي أخذناها في الاعتبار في المحاكاة العددية.

الشكل 2.6. صورة الطور للنظام (2.4) مع المعلمات А-D.

في الأشكال ، من الضروري الانتباه إلى النقاط (-1 ، 2) و (1 ، -2) ، على التوالي ، يظهر فيها "سرج". للحصول على تمثيل أكثر تفصيلاً ، يوضح الشكل مقياسًا مختلفًا للشكل بنقطة سرج (1 ، -2). في الشكل ، عند النقطتين (1،2) و (-1 ، -2) ، يمكن رؤية مركز مستقر. بالنسبة لنقطة الصفر ، بدءًا من الشكل إلى الشكل في مخططات الطور ، يمكننا التمييز بوضوح بين العقدة غير المستقرة والسرج والسرج والعقدة الثابتة.

نموذج التعاون الأولي الممتد مع قيود لوجستية.

كما في النموذج السابق ، سنعرض صورًا طورية لأربع حالات من نقطة الصفر ، وسنحاول أيضًا ملاحظة الحلول غير الصفرية في هذه المخططات. للقيام بذلك ، خذ مجموعات المعلمات التالية مع المعلمات المحددة بالترتيب التالي (): A (2،1،2،1) ، B (2،1،1،2) ، C (1،2،2 ، 1) و D (1،2،1،2). ستكون المعلمات المتبقية لجميع المجموعات كما يلي:، .

في الأشكال المعروضة أدناه ، يمكن للمرء أن يلاحظ حالات التوازن الأربع لنقطة الصفر الموضحة في القسم السابق لهذا النظام الديناميكي. وأيضًا في الأشكال ، الموضع الثابت لنقطة ذات إحداثي واحد غير صفري.

الشكل 2.7. صورة الطور للنظام (2.5) مع المعلمات A-B

3 مسارات متكاملة للأنظمة

نموذج العملية الأولية مع قيد Verhulst

كما في الفصل السابق ، قمنا بحل كل من المعادلات التفاضلية على حدة ونعبر بوضوح عن اعتماد المتغيرات على معامل الوقت.

(2.8)

(2.9)

يمكن أن نرى من المعادلات التي تم الحصول عليها أن قيمة كل من المتغيرات تزداد ، وهو ما يتضح في النموذج ثلاثي الأبعاد أدناه.

الشكل 2.8. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (2.8)

يشبه هذا النوع من الرسم البياني في البداية نموذج Malthusian ثلاثي الأبعاد غير المشبع الذي تمت مناقشته في الفصل الأول من حيث أنه يتمتع بنمو سريع مماثل ، ولكن يمكنك لاحقًا أن ترى انخفاضًا في معدل النمو عند الوصول إلى حد الإنتاج. هكذا النهائي مظهرالمنحنيات المتكاملة تشبه الرسم البياني للمعادلة اللوجيستية التي تم استخدامها لتحديد أحد المصطلحات.

نموذج تشغيل أولي مع قيدين.

نقوم بحل كل معادلة باستخدام أدوات Wolfram Alpha. وبالتالي ، يتم تقليل اعتماد الوظيفة x (t) إلى الشكل التالي:

(2.10)

بالنسبة للوظيفة الثانية ، يكون الوضع مشابهًا ، لذلك نحذف حلها. ظهرت القيم العددية نتيجة استبدال المعلمات بقيم معينة مناسبة ، والتي لا تؤثر على السلوك النوعي للمنحنيات التكاملية. توضح الرسوم البيانية أدناه استخدام حدود النمو حيث يصبح النمو الأسي لوغاريتميًا بمرور الوقت.

الشكل 2.9. نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة (2.10)

نموذج التشغيل الأولي الممتد

تقريبا تشبه النماذج مع التبادلية. الاختلاف الوحيد هو في النمو الأسرع بالنسبة لتلك النماذج ، والذي يمكن رؤيته من المعادلات أدناه (إذا نظرت إلى درجة الأس) والرسوم البيانية. يجب أن يتخذ منحنى التكامل شكل الأس.

(2.11)

(2.12)

نموذج التعاون الأولي الممتد مع قيود لوجستية

يبدو الاعتماد x (t) كما يلي:

بدون رسم بياني ، من الصعب تقييم سلوك الوظيفة ، لذلك باستخدام الأدوات المعروفة لدينا بالفعل ، سنقوم ببنائها.

الشكل 2.10 نموذج ثلاثي الأبعاد للمعادلة

تنخفض قيمة الوظيفة للقيم غير الصغيرة لمتغير آخر ، وهذا يرجع إلى عدم وجود قيود على المصطلح الثنائي السالب ، وهو نتيجة واضحة

4 ديناميات نظام الشركات المتفاعلة

نموذج العملية الأولية مع قيد Verhulst.

دعونا نبني النظام (2.2). باستخدام الأدوات التي نعرفها بالفعل ، نقوم ببناء نموذج محاكاة. هذه المرة ، على عكس النماذج المتبادلة ، سيكون للنموذج قيود لوجستية.

الشكل 2.11. نموذج ديناميكيات النظام للنظام (2.2)

لنقم بتشغيل النموذج. في هذا النموذج ، تجدر الإشارة إلى حقيقة أن النمو من العلاقة لا يقتصر على أي شيء ، ونمو الإنتاج دون تأثير الآخر له قيود محددة. إذا نظرت إلى تعبير الدالة اللوجستية نفسها ، يمكنك أن ترى أنه في حالة تجاوز المتغير (عدد البضائع) الحد الأقصى لحجم التخزين ، يصبح المصطلح سالبًا. في حالة وجود وظيفة لوجستية فقط ، يكون هذا مستحيلًا ، ولكن مع وجود عامل نمو إيجابي دائمًا ، يكون هذا ممكنًا. والآن من المهم أن نفهم أن الوظيفة اللوجيستية ستتعامل مع حالة النمو غير السريع في عدد المنتجات ، على سبيل المثال ، الخطية. دعنا نلقي نظرة على الصور أدناه.

الشكل 2.12. مثال على تشغيل نموذج ديناميكيات النظام للنظام (2.2)

يوضح الشكل الأيسر الخطوة الخامسة من البرنامج المطابقة للنموذج المقترح. لكن في الوقت الحالي ، يجدر الانتباه إلى الشكل الصحيح.

أولاً ، بالنسبة لأحد التدفقات الواردة لـ Y_stock ، تمت إزالة الارتباط بـ x ، المعبر عنه من حيث ،. يتم ذلك من أجل إظهار الفرق في أداء النموذج مع التدفق الخطي الإيجابي دائمًا ، والنمو الخطي ، والذي يتم تقديمه لـ X_stock. مع التدفقات الخطية غير المحدودة ، بعد تجاوز المعلمة K ، يصل النظام في مرحلة ما إلى حالة توازن (في هذا النموذج ، تكون حالة التوازن 200 ألف وحدة من السلع). ولكن قبل ذلك بكثير ، يؤدي النمو الثنائي الخطي إلى زيادة حادة في كمية البضائع ، ويمر إلى اللانهاية. إذا تركنا كلا من اليمين واليسار تدفقات موجبة باستمرار على شكل خطين ، فعندئذٍ بالفعل عند حوالي 20-30 خطوة ، فإن قيمة المركب تأتي مع اختلاف اثنين من اللانهايات.

بناءً على ما سبق ، من الآمن القول أنه في حالة الاستخدام الإضافي لمثل هذه النماذج ، من الضروري الحد من أي نمو إيجابي.

نموذج تشغيل أولي مع قيدين.

بعد اكتشاف أوجه القصور في النموذج السابق وإدخال قيود على المصطلح الثاني بواسطة عامل التشبع ، سنقوم ببناء نموذج جديد وتشغيله.

الشكل 2.13. نموذج ديناميكيات النظام ومثال على تشغيله للنظام (2.3)

هذا النموذج ، في النهاية ، يأتي بالنتائج التي طال انتظارها. اتضح أنه يحد من نمو القيم المجمعة. كما يتضح من الشكل الصحيح ، بالنسبة لكلا المؤسستين ، يتم الوصول إلى التوازن مع زيادة طفيفة في حجم التخزين.

نموذج التشغيل الأولي الممتد.

عند النظر في ديناميكيات النظام لهذا النموذج ، سيتم عرض إمكانيات بيئة برنامج AnyLogic للتصور الملون للنماذج. تم بناء جميع النماذج السابقة باستخدام عناصر ديناميكيات النظام فقط. لذلك ، بدت النماذج نفسها غير مزعجة ، ولم تسمح بتتبع ديناميكيات التغييرات في كمية الإنتاج بمرور الوقت وتغيير المعلمات أثناء تشغيل البرنامج. عند العمل مع هذا والطراز التالي ، سنحاول استخدام نطاق أوسع من إمكانيات البرنامج لتغيير العيوب الثلاثة المذكورة أعلاه.

أولاً ، بالإضافة إلى قسم "ديناميكيات النظام" ، يحتوي البرنامج أيضًا على أقسام "الصور" ، "كائنات ثلاثية الأبعاد" ، مما يجعل من الممكن تنويع النموذج ، وهو أمر مفيد لعرضه الإضافي ، حيث إنه يجعل النموذج تبدو "أكثر متعة".

ثانيًا ، لتتبع ديناميات التغييرات في قيم النموذج ، يوجد قسم "إحصائيات" يسمح لك بإضافة مخططات وأدوات مختلفة لجمع البيانات عن طريق ربطها بالنموذج.

ثالثًا ، لتغيير المعلمات والكائنات الأخرى أثناء تنفيذ النموذج ، هناك قسم "الضوابط". تسمح لك الكائنات الموجودة في هذا القسم بتغيير المعلمات أثناء تشغيل النموذج (على سبيل المثال ، "شريط التمرير") ، وتحديد حالات مختلفة للكائن (على سبيل المثال ، "التبديل") وتنفيذ الإجراءات الأخرى التي تغير البيانات المحددة في البداية أثناء العمل .

النموذج مناسب لتدريس التعارف بديناميات التغييرات في إنتاج المؤسسات ، لكن عدم وجود قيود على النمو لا يسمح باستخدامه في الممارسة العملية.

نموذج التعاون الأولي الممتد مع قيود لوجستية.

باستخدام النموذج السابق المُعد بالفعل ، سنضيف معلمات من المعادلة اللوجستية للحد من النمو.

لقد أغفلنا بناء النموذج ، حيث أن النماذج الخمسة السابقة المعروضة في العمل قد أظهرت بالفعل جميع الأدوات والمبادئ اللازمة للعمل معهم. تجدر الإشارة فقط إلى أن سلوكها مشابه لنموذج التعاون الأولي مع قيد Verhulst. أولئك. نقص التشبع يعيق التطبيق العملي.

بعد تحليل النماذج من حيث التعاون الأولي ، نحدد عدة نقاط رئيسية:

تعتبر النماذج التي تم النظر فيها في هذا الفصل من الناحية العملية أكثر ملاءمة من النماذج التبادلية ، نظرًا لأن لها مواضع توازن مستقرة غير صفرية حتى مع وجود فترتين. اسمحوا لي أن أذكركم أنه في نماذج التبادلية لم نتمكن من تحقيق ذلك إلا بإضافة فترة ثالثة.

يجب أن يكون للنماذج المناسبة قيود على كل مصطلح ، وإلا فإن الزيادة الحادة في العوامل الثنائية "تدمر" نموذج المحاكاة بأكمله.

استنادًا إلى النقطة 2 ، عند إضافة عملية أولية مع تحديد Verhulst لعامل التشبع إلى النموذج الموسع ، بالإضافة إلى إضافة كمية حرجة أقل من الإنتاج ، يجب أن يصبح النموذج أقرب ما يمكن إلى الحالة الحقيقية للشؤون. لكن لا تنس أن مثل هذه التلاعبات في النظام ستعقد تحليله.

خاتمة

نتيجة للدراسة ، تم إجراء تحليل لستة أنظمة تصف ديناميكيات الإنتاج من قبل الشركات التي تؤثر بشكل متبادل على بعضها البعض. نتيجة لذلك ، تم تحديد نقاط التوازن وأنواع ثباتها بإحدى الطرق التالية: تحليليًا ، أو بفضل صور المرحلة المركبة في الحالات التي يكون فيها الحل التحليلي غير ممكن لسبب ما. لكل من الأنظمة ، تم بناء مخططات الطور ، وكذلك تم بناء نماذج ثلاثية الأبعاد ، والتي ، عند الإسقاط ، من الممكن الحصول على منحنيات متكاملة في المستويات (x ، t) ، (y ، t). بعد ذلك ، باستخدام بيئة النمذجة AnyLogic ، تم بناء جميع النماذج وتم النظر في خيارات سلوكها وفقًا لمعايير معينة.

بعد تحليل الأنظمة وبناء نماذج المحاكاة الخاصة بها ، يصبح من الواضح أن هذه النماذج لا يمكن اعتبارها إلا تدريبًا ، أو لوصف الأنظمة العيانية ، ولكن ليس كنظام دعم قرار للشركات الفردية ، بسبب دقتها المنخفضة وفي بعض الأماكن ليس تمثيلًا موثوقًا به للعمليات الجارية. لكن لا تنس أيضًا أنه بغض النظر عن مدى صحة النظام الديناميكي الذي يصف النموذج ، فإن لكل شركة / منظمة / صناعة عملياتها وقيودها الخاصة ، لذلك لا يمكن إنشاء نموذج عام ووصفه. في كل حالة محددة ، سيتم تعديلها: لتصبح أكثر تعقيدًا أو ، على العكس من ذلك ، لتبسيطها لمزيد من العمل.

استنتاجًا من الاستنتاجات لكل فصل ، يجدر التركيز على الحقيقة التي تم الكشف عنها وهي أن إدخال قيود على كل من شروط المعادلة ، على الرغم من أنه يعقد النظام ، ولكنه يسمح لك أيضًا باكتشاف المواضع المستقرة للنظام ، وكذلك تقريبه مما يحدث في الواقع. وتجدر الإشارة إلى أن نماذج التعاون الأولي أكثر ملاءمة للدراسة ، نظرًا لأن لها مواقف ثابتة غير صفرية ، على عكس النموذجين المتبادلين اللذين نظرنا فيهما.

وبذلك تحقق الغرض من هذه الدراسة ، وتم الانتهاء من المهام. في المستقبل ، كاستمرار لهذا العمل ، سيتم النظر في نموذج موسع لتفاعل نوع العملية الأولية مع ثلاثة قيود تم تقديمها عليها: لوجستي ، عامل تشبع ، رقم حرج أقل ، مما يسمح بإنشاء أكثر دقة. نموذج لنظام دعم القرار ونموذج مع ثلاث شركات. كامتداد للعمل ، يمكننا النظر في نوعين آخرين من التفاعل إلى جانب التعايش ، والتي تم ذكرها في العمل.

الأدب

1 - بهاتيا نام بارشاد ؛ سيغ جورجيو ب. (2002). نظرية الاستقرار للأنظمة الديناميكية. سبرينغر.

2. بلانشارد ب. Devaney، R.L.؛ هول ، جي آر (2006). المعادلات التفاضلية. لندن: طومسون. ص. 96-111.

بوينج ، جي (2016). التحليل المرئي للأنظمة الديناميكية غير الخطية: الفوضى ، النمطي هندسي متكرر ، التشابه الذاتي وحدود التنبؤ. الأنظمة. 4 (4): 37.

4. كامبل ، ديفيد ك. (2004). الفيزياء اللاخطية: استراحة جديدة. طبيعة. 432 (7016): 455-456.

إلتون سي. (1968) طبع. علم البيئة الحيوانية. بريطانيا العظمى: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). الديناميات الصناعية. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.

8. جاندولفو ، جيانكارلو (1996). الديناميات الاقتصادية (الطبعة الثالثة). برلين: سبرينغر. ص. 407-428.

9. غيرشنفيلد نيل أ. (1999). طبيعة النمذجة الرياضية. كامبريدج ، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج.

10 جودمان م. (1989). ملاحظات الدراسة في ديناميكيات النظام. حصان مجنح.

غريبوجي سي وأوت إي ويورك ج. (1987). الفوضى والجاذبات الغريبة وحدود الحوض الكسورية في الديناميكيات غير الخطية. علم 238 (4827) ، ص 632-638.

12 هيرر إرنست ؛ نورسيت سيفيرت بول ؛ وانر ، جيرهارد (1993) ، حل المعادلات التفاضلية العادية 1: مشاكل غير جامدة ، برلين ، نيويورك

Hanski I. (1999) علم بيئة التمثيل الغذائي. مطبعة جامعة أكسفورد ، أكسفورد ، ص. 43-46.

هيوز هاليت ديبوراه ؛ مكالوم ، ويليام ج. جليسون ، أندرو م. (2013). حساب التفاضل والتكامل: مفرد ومتعدد المتغيرات (6 ed.). جون وايلي.

15. Llibre J.، Valls C. (2007). التكاملات التحليلية العالمية الأولى لنظام Lotka-Volterra الحقيقي المستوي ، J. Math. فيز.

16. الأردن د. سميث ب. (2007). المعادلات التفاضلية العادية غير الخطية: مقدمة للعلماء والمهندسين (الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة أكسفورد.

خليل حسن ك. (2001). أنظمة غير خطية. برنتيس هول.

جامعة لامار ، مذكرات الرياضيات عبر الإنترنت - مرحلة المستوى ، ب.داوكينز.

جامعة لامار ، مذكرات الرياضيات على الإنترنت - أنظمة المعادلات التفاضلية ، ب. دوكينز.

لانج سيرج (1972). الفتحات التفاضلية. ريدينغ ، ماساتشوستس ، لندن دون ميلز ، أونت: شركة أديسون ويسلي للنشر.

لو أفريل م. (2006). نمذجة المحاكاة والتحليل باستخدام برنامج Expertfit. ماكجرو هيل العلوم.

لازارد د. (2009). ثلاثون عامًا من حل نظام متعدد الحدود ، والآن؟ مجلة الحساب الرمزي. 44 (3): 222-231.

24 لويس مارك د. (2000). الوعد بمقاربات الأنظمة الديناميكية لحساب متكامل للتنمية البشرية. نمو الطفل. 71 (1): 36-43.

25. مالتوس ت. (1798). مقال عن مبدأ السكان ، في كلاسيكيات أكسفورد العالمية أعيد طبعه. ص 61 ، نهاية الفصل السابع

26. موريكروفت جون (2007). النمذجة الاستراتيجية وديناميكيات الأعمال: نهج نظم التغذية الراجعة. جون وايلي وأولاده.

27. Nolte D.D. (2015) ، مقدمة في الديناميكيات الحديثة: الفوضى ، الشبكات ، المكان والزمان ، مطبعة جامعة أكسفورد.

مقدمة 4

تحليل مسبق للأنظمة الديناميكية 5

مرور إشارة عشوائية عبر نظام خطي 5

تطور متجه الطور للنظام 7

تطور مصفوفة التغاير لمتجه الطور للنظام 8

الخطية الإحصائية 8

الطريق الأول 9

الطريقة الثانية 10

حساب معاملات الخطية 10

الغموض في الروابط غير الخطية 14

الرابط غير الخطي مشمول بالتغذية الراجعة 15

محاكاة العمليات العشوائية 16

مرشح تشكيل 16

نمذجة الضوضاء البيضاء 17

تقدير الخصائص الإحصائية للأنظمة الديناميكية بطريقة مونت كارلو 18

دقة الدرجة 18

الأنظمة الديناميكية غير الثابتة 20

الأنظمة الديناميكية الثابتة 21

تحليل لاحق للأنظمة الديناميكية 22

مرشح كالمان 22

نمط الحركة 22

نموذج القياس 23

تصحيح 23

التنبؤ 23

الصف 23

25- استخدام ترشيح كالمان في المسائل غير الخطية

المربعات الصغرى 27

بناء الصفوف 27

التنبؤ 29

29- استخدام طريقة المربعات الصغرى في المسائل غير الخطية

بناء مصفوفة كوشي 30

30- نمذجة القياس

31- الطرق العددية

31- وظائف خاصة

محاكاة المتغيرات العشوائية 31

المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل موحد 31

المتغيرات العشوائية الغاوسية 32

النواقل العشوائية 33

تكامل الاحتمالات 34

كثيرات حدود Chebyshev 36

تكامل المعادلات التفاضلية العادية 36

طرق رونج - كوتا 36

دقة نتائج التكامل العددي 37

Nested Dorman-Prince 5 (4) اطلب 37

طرق متعددة الخطوات 39

طرق آدمز 39

40- حل المشكلات

مقارنة الصفات الحسابية للطرق 40

مشكلة Arenstorf 40

41- مسعود

مشكلة الجسمين 41

معادلة فان دير بول 42

42- علي

سلسلة معلقة معادلة لاجرانج 42

الثريا 42

43- تقديم طلب إيضاحي

صفحة العنوان 43

قسم "المقدمة" 44

قسم "النظرية" 44

قسم "الخوارزمية" 44

قسم "البرنامج" 45

قسم "النتائج" 45

قسم "الاستنتاجات" 45

قسم "قائمة المصادر المستخدمة" 45

التطبيقات 45

الأدب 47

مقدمة

يحتوي هذا الدليل على مبادئ توجيهية لاستكمال مهام مشاريع الدورة وإجراء تمارين عملية على دورة "أساسيات الديناميكيات الإحصائية".

الغرض من تصميم الدورة والتمارين العملية هو إتقان تقنية التحليل المسبق واللاحق للأنظمة الديناميكية غير الخطية تحت تأثير الاضطرابات العشوائية.

تحليل مسبق للأنظمة الديناميكية

الخطية الإحصائية

يسمح لك الخطي الإحصائي بتحويل النظام الديناميكي غير الخطي الأصلي بطريقة تجعل من الممكن استخدام الأساليب والخوارزميات والعلاقات الصالحة للأنظمة الخطية لتحليلها.

هذا القسم مخصص لعرض طريقة الخطية الإحصائية ، بناءً على أبسط نهج تقريبي اقترحه الأستاذ. أي. Kazakov ، والذي ، مع ذلك ، يجعل من الممكن بناء تقديرات لدقة نظام يحتوي حتى على اللاخطية الهامة ذات الخصائص غير المستمرة.

يتكون التحويل الخطي الإحصائي من استبدال الاعتماد الأصلي غير الخطي بالقصور الذاتي بين عمليات الإدخال والإخراج بمثل هذا الاعتماد التقريبي ، الخطي فيما يتعلق بعملية الإدخال العشوائية المركزية ، والتي تكافئ إحصائيًا فيما يتعلق بالعملية الأصلية:

يُطلق على الارتباط الذي يحتوي على مثل هذه العلاقة التقريبية بين إشارات الإدخال والإخراج مكافئ للرابط غير الخطي المدروس.

يتم تحديد القيمة بناءً على شرط المساواة في التوقعات الرياضية للإشارات غير الخطية والخطية وتسمى الإحصائي متوسط ​​الخصائصرابط مكافئ:

,

أين كثافة توزيع إشارة الدخل.

للروابط غير الخطية ذات الخصائص الفردية ، أي في من المناسب تمثيل الخاصية الإحصائية بالشكل:

هو التوقع الرياضي لإشارة الإدخال ؛
هو المكسب الإحصائي للرابط المكافئ من حيث المكون المتوسط.

الذي - التي. الاعتماد المكافئ في هذه الحالة يأخذ الشكل:

تسمى الخاصية المكسب الإحصائي للرابط المكافئ للمكون العشوائي (التقلبات) ويتم تحديدها بطريقتين.

اول طريق

وفقًا للطريقة الأولى للخطية الإحصائية ، يتم اختيار المعامل بناءً على حالة تساوي تشتت الإشارات الأصلية والمكافئة. الذي - التي. للحساب نحصل على العلاقة التالية:

,

أين تباين إجراء الإدخال العشوائي.

يتم تحديد العلامة في التعبير عن طبيعة التبعية في محيط قيمة الوسيطة. إذا زاد ، ثم إذا انخفض ، إذن.

الطريقة الثانية

يتم تحديد القيمة وفقًا للطريقة الثانية من شرط تقليل متوسط ​​خطأ خطي المربع:

النسبة النهائية لحساب المعامل بالطريقة الثانية هي:

.

في الختام ، نلاحظ أن أيا من طريقتين للخطية المذكورة أعلاه لا تضمن المساواة في وظائف الارتباط لإشارات الإخراج للروابط غير الخطية والروابط المكافئة. توضح الحسابات أنه بالنسبة لوظيفة الارتباط لإشارة غير خطية ، فإن طريقة الاختيار الأولى تعطي تقديرًا أعلى ، بينما تعطي الطريقة الثانية تقديرًا أقل ، أي الأخطاء في تحديد دالة الارتباط لإشارة الخرج غير الخطية لها علامات مختلفة. أ. أي. يوصي Kazakov ، مؤلف الطريقة الموصوفة هنا ، باختيار معامل الخطية الناتج نصف مجموع المعاملات التي تم الحصول عليها بالطريقتين الأولى والثانية.

مرشح تشكيل

عادةً ، يتم تحديد المعلمات من خلال معادلة معاملات البسط والمقام في المعادلة

بنفس الدرجات.

بعد تحديد وظيفة النقل لمرشح التشكيل ، يبدو المخطط الناتج لنمذجة عملية عشوائية كما هو موضح في الشكل.

على سبيل المثال ، الكثافة الطيفية للعملية المراد نمذجتها لها الشكل:

,

التوقع الرياضي ، والضوضاء البيضاء بكثافة تستخدم للنمذجة ، لذلك ، لها وحدة كثافة طيفية.

من الواضح أن البسط والمقام لوظيفة النقل المرغوبة يجب أن يكون لهما أوامر من 1 و 2 (في الواقع ، كونه نمط تربيعي ، فإن دالة النقل تشكل حاصل قسمة كثيرات الحدود من الدرجتين الثانية والرابعة)

الذي - التي. وظيفة النقل لمرشح التشكيل في شكله الأكثر عمومية هي كما يلي:

,

ومربع معاملها:

دعونا نساوي النسب التي تم الحصول عليها:

دعونا نخرج الأقواس وعلى الجانب الأيمن من المساواة ، وبالتالي نساوي المعاملات عند درجة الصفر:

,

ومن هنا تأتي المساواة التالية بوضوح:

; ; ; .

الذي - التي. مخطط الكتلة لتشكيل عملية عشوائية بخصائص إحصائية معينة من الضوضاء البيضاء بكثافة طيفية للوحدة يبدو كما هو موضح في الشكل ، مع مراعاة القيم المحسوبة لمعلمات مرشح التشكيل.

نمذجة الضوضاء البيضاء

لمحاكاة عملية عشوائية بخصائص إحصائية معينة ، يتم استخدام الضوضاء البيضاء كعملية إدخال عشوائية في مرشح التشكيل. ومع ذلك ، فإن النمذجة الدقيقة للضوضاء البيضاء غير ممكنة بسبب التباين اللانهائي لهذه العملية العشوائية.

لهذا السبب ، يتم استخدام عملية الخطوة العشوائية كبديل للضوضاء البيضاء التي تعمل على النظام الديناميكي. الفاصل الزمني الذي يحافظ فيه تنفيذ عملية عشوائية على قيمتها دون تغيير (عرض الخطوة ، فاصل الارتباط) هو قيمة ثابتة. قيم التنفيذ نفسها (ارتفاعات الخطوة) هي متغيرات عشوائية موزعة وفقًا للقانون العادي مع توقع رياضي صفري وتباين محدود. يتم تحديد قيم معلمات العملية - فاصل الارتباط والتشتت - من خلال خصائص النظام الديناميكي ، الذي يتأثر بالضوضاء البيضاء.

تعتمد فكرة الطريقة على النطاق الترددي المحدود لأي نظام ديناميكي حقيقي. أولئك. يتناقص كسب نظام ديناميكي حقيقي مع زيادة تردد إشارة الإدخال ، وبالتالي ، هناك تردد (أقل من لانهائي) يكون مكاسب النظام فيه صغيرًا جدًا بحيث يمكن ضبطه على الصفر. وهذا بدوره يعني أن إشارة الإدخال ذات الكثافة الطيفية الثابتة ، ولكنها محدودة بهذا التردد ، الكثافة الطيفية لمثل هذا النظام ستكون مكافئة للضوضاء البيضاء (بكثافة طيفية ثابتة ولانهائية).

معلمات العملية العشوائية المكافئة - يتم حساب فاصل الارتباط والتباين على النحو التالي:

أين هي حدود النطاق الترددي المحددة تجريبياً للنظام الديناميكي.

دقة التقدير

تقديرات التوقعات

والتشتت

المتغير العشوائي المبني على أساس معالجة عينة محدودة من تطبيقاته ، هي نفسها متغيرات عشوائية.

من الواضح أنه كلما زاد حجم عينة التطبيقات ، زادت دقة التقدير غير المتحيز ، كلما اقتربنا من القيمة الحقيقية للمعلمة المقدرة. فيما يلي الصيغ التقريبية بناءً على افتراض توزيعها الطبيعي. يتم تحديد فاصل الثقة النسبية المتماثل للتقدير المقابل لاحتمال الثقة بالقيمة التي تكون العلاقة صحيحة:

,

أين
هي القيمة الحقيقية للتوقع الرياضي للمتغير العشوائي ،
هو الانحراف المعياري للمتغير العشوائي ،
هو احتمال لا يتجزأ.

بناءً على العلاقة أعلاه ، يمكن تحديد الكمية على النحو التالي:

,

أين هي الدالة العكسية فيما يتعلق باحتمالية التكامل.

نظرًا لأننا لا نعرف بالضبط خاصية التشتت للتقدير ، فسنستخدم قيمتها التقريبية المحسوبة باستخدام التقدير:

الذي - التي. العلاقة النهائية التي تربط دقة تقدير التوقع الرياضي وحجم العينة التي يتم إجراء التقدير عليها تبدو كما يلي:

.

هذا يعني أن قيمة فاصل الثقة (بقيمة ثابتة لاحتمالية الثقة) تقع بشكل متماثل حول ، معبراً عنها في كسور تقدير الانحراف المعياري ، تتناسب عكسياً مع الجذر التربيعي لحجم العينة.

يتم تحديد فاصل الثقة لتقدير التباين بطريقة مماثلة:

حتى القيمة ، والتي ، في حالة عدم وجود معلومات أكثر دقة ، يمكن تحديدها تقريبًا من العلاقة:

الذي - التي. قيمة فاصل الثقة (بقيمة ثابتة لاحتمالية الثقة) ، تقع بشكل متماثل فيما يتعلق ، معبرًا عنها في أسهمها ، تتناسب عكسًا مع الجذر التربيعي للقيمة ، حيث يكون حجم العينة.

يمكن الحصول على صيغ أكثر دقة لبناء فترات الثقة للتقديرات باستخدام معلومات دقيقة حول قانون توزيع متغير عشوائي.

على سبيل المثال ، بالنسبة لقانون التوزيع الغوسي ، المتغير العشوائي

يلتزم بقانون توزيع الطلاب بدرجة من الحرية والمتغير العشوائي

وزعت وفق القانون ايضا بدرجة من الحرية.

مرشح كالمان

نموذج الحركة

كما هو معروف ، تم تصميم مرشح كالمان لتقدير متجه الحالة لنظام ديناميكي خطي ، ويمكن كتابة نموذج التطور على النحو التالي:

أين
هي مصفوفة كوشي ، التي تحدد التغيير في متجه حالة النظام في حركته (بدون إجراءات التحكم والضوضاء) من لحظة الوقت إلى لحظة الوقت ؛
هو متجه إجراءات التأثير غير العشوائية على النظام (على سبيل المثال ، إجراءات التحكم) في لحظة من الزمن ؛
هي مصفوفة تأثير الإجراءات القسرية في الوقت الحالي على متجه الحالة للنظام في الوقت الحالي ؛
هو متجه الإجراءات العشوائية المستقلة التي تتمحور حول النظام في الوقت الحالي ؛
هي مصفوفة تأثير التأثيرات العشوائية في الوقت الحالي على متجه الحالة للنظام في لحظة زمنية.

نموذج القياس

يتم إجراء التقدير على أساس المعالجة الإحصائية لنتائج القياس ، المرتبطة خطيًا بموجه الحالة ، والمشوهة بواسطة خطأ إضافي غير متحيز:

أين هي مصفوفة تربط متجهات الحالة والقياس في نفس الوقت.

تصحيح

أساس مرشح كالمان هو نسب التصحيح ، والتي تنتج عن تقليل أثر مصفوفة التغاير لكثافة التوزيع اللاحق للتقديرات الخطية (على طول متجه القياس) لمتجه حالة النظام:

تنبؤ بالمناخ

استكمال علاقات التصحيح بعلاقات التنبؤ بناءً على الخصائص الخطية لنموذج تطور النظام:

أين هي مصفوفة التغاير للناقل ، نحصل على صيغ لخوارزمية بايزي المتكررة لتقدير متجه حالة النظام ومصفوفة التغاير الخاصة به بناءً على المعالجة الإحصائية لنتائج القياس.

تقييم

من الواضح ، لتنفيذ العلاقات المذكورة أعلاه ، من الضروري أن تكون قادرًا على بناء مصفوفات ، من نموذج التطور ، مصفوفة من نموذج القياس ، بالإضافة إلى مصفوفات التغاير لكل لحظة من الزمن.

بالإضافة إلى ذلك ، لتهيئة العملية الحسابية ، من الضروري تحديد تقديرات لاحقة ، أو بداهة ، لمتجه الحالة ومصفوفة التغاير الخاصة بها. المصطلح "بداهة" أو "لاحقة" في هذه الحالة يعني فقط الجودة التي سيتم استخدام متجه الحالة ومصفوفة التغاير الخاصة بها في الخوارزمية الحسابية ، ولا يقول أي شيء عن كيفية الحصول عليها.

وبالتالي ، فإن اختيار النسبة التي يجب أن تبدأ منها الحسابات يتحدد بالنقاط الزمنية التي يتم فيها تعيين شروط الترشيح الأولية والمتجه الأول للقياس الخام. إذا تزامنت النقاط الزمنية ، فيجب تطبيق نسب التصحيح أولاً لتحسين الشروط الأولية ؛ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فيجب أولاً التنبؤ بالشروط الأولية بحلول وقت ربط متجه القياس الخام الأول.

دعونا نشرح خوارزمية ترشيح كالمان بمساعدة الشكل.

في الشكل ، في محاور الإحداثيات (في قناة الحركة) ، يتم عرض العديد من المسارات المحتملة لمتجه الطور:

هو مسار التطور الحقيقي لناقل الطور ؛
هو تطور متجه الطور ، الذي تم التنبؤ به بناءً على استخدام نموذج الحركة والتقدير المسبق لمتجه الطور ، المشار إليه في الوقت ؛
هو تطور متجه الطور ، تم التنبؤ به بناءً على استخدام نموذج الحركة والتقدير اللاحق (أكثر دقة) لمتجه الطور ، المشار إليه بالوقت

محاور الإحداثيات (في قناة القياس) في لحظات من الزمن وتظهر نتائج القياسات و:

,

أين
هي القيمة الحقيقية لمتجه القياس في الوقت المناسب ؛
هو متجه أخطاء القياس المحقق في الوقت الحالي.

لإنشاء تصحيح لمتجه المرحلة المسبقة للنظام ، يتم استخدام الفرق بين نتيجة القياس والقيمة التي سيتم قياسها وفقًا لنموذج قياس المشكلة إذا أخذ متجه الطور ، في الواقع ، القيمة. نتيجة لتطبيق علاقات التصحيح على تقديرات مسبقة ، سيكون تقدير متجه الطور للنظام أكثر دقة إلى حد ما وسيأخذ القيمة

في الوقت الحالي ، يتم استخدام نتيجة التنبؤ كتقدير مسبق على المسار الذي يمر عبر متجه الطور ، يتم إنشاء فرق القياس مرة أخرى ، وفقًا لذلك ، يتم حساب قيمة لاحقة ، حتى أكثر دقة ، إلخ. طالما أن هناك متجهات قياس يجب معالجتها أو هناك حاجة للتنبؤ بسلوك ناقل الطور.

طريقة المربعات الصغرى

يقدم هذا القسم طريقة المربعات الصغرى التي تم تكييفها لتحليل لاحق للأنظمة الديناميكية.

عشرات البناء

في حالة النموذج الخطي للقياسات المتساوية:

لدينا خوارزمية تقدير متجه الطور التالية:

.

في حالة القياسات غير المتكافئة ، نقدم المصفوفة التي تحتوي على معاملات الوزن على القطر. مع الأخذ في الاعتبار معاملات الوزن ، فإن النسبة السابقة ستأخذ الشكل:

.

إذا استخدمنا معكوس المصفوفة لمصفوفة التغاير لأخطاء القياس كمصفوفة وزن ، إذن ، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أننا نحصل على:

.

على النحو التالي من العلاقات المذكورة أعلاه ، فإن أساس الطريقة هو المصفوفة التي تربط متجه الطور المقدّر ، والمشار إليه بنقطة زمنية معينة ، ومتجه القياس. يحتوي المتجه ، كقاعدة عامة ، على بنية كتلة ، يتم فيها تعيين كل كتلة إلى نقطة زمنية معينة ، والتي لا تتطابق بشكل عام معها.

يوضح الشكل بعض الترتيب المتبادل المحتمل للنقاط الزمنية التي تمت إحالة القياسات إليها والنقطة الزمنية التي تمت إحالة متجه المعلمات المقدرة إليها.

لكل متجه العلاقة التالية صحيحة:

، في .

وبالتالي ، في علاقة المربعات الصغرى الناتجة ، يكون للمتجه والمصفوفة الهيكل التالي:

; .

أين
- يحدد تأثير التأثير غير العشوائي على النظام ؛
- يحدد التأثير العشوائي على النظام.

يمكن استخدام علاقات التنبؤ ، والتي تمت مواجهتها أعلاه في وصف خوارزمية ترشيح كالمان:

أين هي مصفوفة التغاير للمتجه.

بناء مصفوفة كوشي

في مشاكل بناء التقديرات من خلال طرق المعالجة الإحصائية للقياسات ، غالبًا ما يتم مواجهة مشكلة بناء مصفوفة كوشي. تربط هذه المصفوفة متجهات الطور في النظام ، المشار إليها لحظات زمنية مختلفة ، بحركتها الخاصة.

في هذا القسم ، نقتصر على النظر في القضايا المتعلقة ببناء مصفوفة كوشي لنموذج تطور مكتوب كنظام من المعادلات التفاضلية العادية (خطية أو غير خطية).

حيث تستخدم التدوين التاليلمصفوفات التناسب التي تم إنشاؤها بالقرب من المسار المرجعي:

; .

نمذجة الأبعاد

تنشأ المشكلة عندما ، على سبيل المثال ، عند تقدير الدقة التي يمكن تحقيقها لطريقة ما في مشكلة ما ، لا يكون لديك أي نتائج قياس. في هذه الحالة ، يجب محاكاة نتائج القياس. تتمثل خصوصية نمذجة نتائج القياس في أن نماذج الحركة والقياس المستخدمة لهذا الغرض قد لا تتطابق مع النماذج التي ستستخدمها في سياق إنشاء التقديرات باستخدام طريقة ترشيح واحدة أو أخرى.

كشروط أولية لنمذجة تطور متجه الطور لنظام ديناميكي ، يجب استخدام القيم الحقيقية لإحداثيات هذا المتجه. بالإضافة إلى هذا المكان ، لا ينبغي استخدام القيم الحقيقية لإحداثيات متجه الطور للنظام في أي مكان آخر.

الطرق العددية

مميزات خاصة

نواقل عشوائية

المشكلة ، التي تم وصف حلها في هذا القسم الفرعي ، هي نمذجة متجه للمتغيرات العشوائية الغاوسية المترابطة.

دع المتجه العشوائي ، الذي سيتم نمذجته ، يتشكل على أساس تحويل متجه المتغيرات العشوائية القياسية غير المترابطة للبعد المقابل على النحو التالي: بدقة 4 أرقام ، بناءً على التوسع إلى سلسلة في قوى الوسيطة لفتراته الثلاث.

عند ، يصبح مجموع السلسلة المقاربة مساويًا تقريبًا 1.