الرسوم البيانية للدوال المباشرة والمعكوسة. وظيفة عكسية. إثبات النظرية على وجود واستمرارية الدالة العكسية على فترة
2- نظرية الدوال العكسية
الدوال المثلثية العكسية
تعريف الدالة العكسية
تعريف. إذا كانت الوظيفة f (x) تحدد المراسلات واحد لواحد بين مجالها X ومجالها Y (بمعنى آخر ، إذا كانت أي قيم مختلفة للوسيطة تتوافق مع قيم مختلفة للوظيفة) ، فعندئذٍ يقال أن الوظيفة f (x) لها وظيفة عكسيةأو ماذا وظيفةF(x) قابل للعكس.
تعريف. الدالة العكسية هي قاعدة أن كل رقم فيє فييطابق رقمًا Xє X، و y = f (x). منطقة التعريف العكسي
الوظيفة لديها مجموعة Y ، المدى - X.
نظرية الجذر. دع الدالة f تزيد (أو تنقص) على الفاصل الزمني I ، الرقم a - أي من القيم المأخوذة بواسطة f في هذه الفترة. ثم المعادلة f (x) = a لها جذر فريد في الفترة الأولى.
دليل. ضع في اعتبارك دالة متزايدة f (في حالة وجود وظيفة متناقصة ، يكون المنطق مشابهًا). من خلال الافتراض ، يوجد رقم ب في الفاصل الزمني I بحيث أن f (b) = a. دعونا نوضح أن ب هو الجذر الوحيد للمعادلة f (x) = a.
افترض أنه يوجد أيضًا رقم في الفاصل الزمني ج ≠
ب ، مثل أن و (ج) = أ. ثم أو مع
نظرية الدالة العكسية. إذا زادت دالة f (أو نقصت) في فترة I ، فإنها تكون قابلة للعكس. الدالة g العكسية لـ f ، المحددة في نطاق f ، تتزايد أيضًا (على التوالي ، تتناقص).
دليل. افترض من أجل التحديد أن الدالة f تتزايد. إن قابلية عكس الوظيفة f هي نتيجة واضحة لنظرية الجذر. لذلك ، يبقى إثبات أن الدالة g ، المعكوسة لـ f ، تتزايد في المجموعة E (f).
لنفترض أن x 1 و x 2 عبارة عن قيم عشوائية من E (f) ، بحيث تكون x 2> x 1 ودع y 1 = g (x 1) ، y 2 = g (× 2 ). بحكم التعريف ، الدالة العكسية x 1 = f (y 1) و x 2 = f (y 2).
باستخدام شرط أن f دالة متزايدة ، نجد أن الافتراض y 1≥ y 2 يؤدي إلى الاستنتاج f (y 1)> f (y 2) ، أي x 1> x 2. هذا
يتعارض مع الافتراض x 2> x 1 لذلك ، y 1> y 2 ، أي من الشرط x 2> x 1 يتبع ذلك g (x 2)> g (x 1). Q.E.D.
الوظيفة الأصلية وعكسها متبادلان يعكس.
الرسوم البيانية للدوال المعكوسة المتبادلة
نظرية. الرسوم البيانية للدوال العكسية متناظرة بالنسبة للخط المستقيم y = x.
دليل. لاحظ أنه من الرسم البياني للدالة f ، يمكن للمرء أن يجد القيمة العددية للدالة g معكوسًا لـ f عند نقطة عشوائية a. للقيام بذلك ، يجب أن تأخذ نقطة مع إحداثيات ليس على المحور الأفقي (كما هو الحال عادة) ، ولكن على المحور الرأسي. ويترتب على تعريف الدالة العكسية أن قيمة g (a) تساوي b.
من أجل تصوير الرسم البياني g في نظام الإحداثيات المعتاد ، من الضروري عكس الرسم البياني f بالنسبة إلى الخط المستقيم y \ u003d x.
خوارزمية لتجميع الدالة العكسية للدالة y = f (x) ، x
x.
1. تأكد من أن الدالة y = f (x) قابلة للعكس على X.
2. من المعادلة y \ u003d f (x) x عبر عن طريق y ، مع مراعاة أن x є X .
Z. في المساواة الناتجة ، مبادلة x و y.
2.2 تعريف وخواص ورسوم بيانية للمثلثية المعكوسة
المهام
أركسين
تزيد دالة الجيب على الفاصل الزمني وتأخذ جميع القيم من -1 إلى 1. لذلك ، من خلال نظرية الجذر لأي رقم أ ، مثل 
، يوجد جذر واحد للمعادلة sin x = a في الفترة. يسمى هذا الرقم قوس الزاوية للرقم a ويشار إليه بـ arcsin a.
تعريف. قوس جيب الزاوية للرقم a ، حيث ، هو رقم من المقطع ، جيبه يساوي a.
ملكيات.
د (ص) = [-1 ؛ 1]
E (ص) \ u003d [-/ 2 ؛ π / 2]
y (-x) \ u003d arcsin (-x) \ u003d - arcsin x - دالة فردية ، الرسم البياني متماثل حول النقطة O (0 ؛ 0).
arcsin x = 0 عند x = 0.
arcsin x> 0 عند x є (0 ؛ 1]
أركسين x< 0 при х є [-1;0)
y \ u003d يزيد arcsin x لأي x є [-1 ؛ 1]
1 × 1< х 2 ≤ 1 <=>أركسين × 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.
قوس جيب التمام
تتناقص دالة جيب التمام على المقطع وتأخذ جميع القيم من -1 إلى 1. لذلك ، بالنسبة لأي رقم مثل | a | 1 ، يوجد جذر واحد في المعادلة cosx = a على المقطع. يسمى هذا الرقم في قوس جيب الزاوية للرقم أ ويشار إليه بـ arcos a.
تعريف . جيب التمام القوسي للرقم a ، حيث -1 a 1 ، هو رقم من المقطع الذي يساوي جيب تمامه a.
ملكيات.
ه (ص) =
y (-x) \ u003d arccos (-x) \ u003d π - arccos x - الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.
arccos x = 0 عند x = 1
arccos x> 0 عند x є [-1 ؛ 1)
arccos x< 0 – нет решений
y \ u003d arccos x ينخفض لأي x є [-1 ؛ 1]
1 × 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - تناقص.
قوس ظل
تزيد وظيفة الظل على المقطع - 
، لذلك ، وفقًا لنظرية الجذر ، فإن المعادلة tgx \ u003d a ، حيث a هو أي رقم حقيقي ، لها جذر فريد x على الفترة -. يسمى هذا الجذر قوس الظل للرقم أ ويشار إليه بواسطة أركتغا.
تعريف. ظل القوس لرقم أص هذا الرقم يسمى x , الذي ظل هو أ.
ملكيات.
E (ص) \ u003d (-/ 2 ؛ π / 2)
y (-x) \ u003d y \ u003d arctg (-x) \ u003d - arctg x - الوظيفة غريبة ، الرسم البياني متماثل حول النقطة O (0 ؛ 0).
arctg x = 0 عند x = 0
تزيد الوظيفة لأي x є R
-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2
ظل القوس
تقل وظيفة ظل التمام على الفاصل الزمني (0 ؛) وتأخذ جميع القيم من R. لذلك ، لأي رقم أ في الفاصل الزمني (0 ؛) هناك جذر واحد للمعادلة ctg x \ u003d a. يسمى هذا الرقم a قوس الظل للرقم a ويشار إليه بواسطة arcctg a.
تعريف. ظل القوس للرقم a ، حيث يكون R هو رقم من الفاصل الزمني (0 ؛) , الذي ظل التمام هو أ.
ملكيات.
ه (ص) = (0 ؛ π)
y (-x) \ u003d arcctg (-x) \ u003d π - arcctg x - الوظيفة ليست زوجية ولا فردية.
أركتج س = 0- غير موجود.
وظيفة y = arcctg xينخفض لأي х є ر
-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>أركتج س 1 > arcctg x 2
الوظيفة متصلة لأي x є R.
2.3 تحويلات الهوية للتعبيرات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية
مثال 1 . تبسيط التعبير:
أ) 
أين 
حل. هيا نضع 
. ثم 
و 
لايجاد 
، نستخدم العلاقة 
نحن نحصل 
لكن . في هذا المقطع ، يأخذ جيب التمام القيم الموجبة فقط. هكذا، 
، إنه 
أين 
.
ب) 
حل.
الخامس) 
حل. هيا نضع 
. ثم 
و 
دعونا أولاً نجد ، التي نستخدم من أجلها الصيغة 
، أين 
نظرًا لأن جيب التمام يأخذ قيمًا موجبة فقط في هذه الفترة الزمنية ، إذن 
.
التعبيرات المتوافقة التي تتحول إلى بعضها البعض. لفهم ما يعنيه هذا ، يجدر التفكير في مثال محدد. لنفترض أن لدينا y = cos (x). إذا أخذنا جيب التمام من السعة ، فيمكننا إيجاد قيمة y. من الواضح ، لهذا يجب أن يكون لديك x. ولكن ماذا لو أعطيت اللعبة في البداية؟ هذا هو المكان الذي يصل فيه إلى قلب الأمر. لحل المشكلة ، يلزم استخدام دالة عكسية. في حالتنا ، هذا هو قوس القوس.
بعد كل التحولات ، نحصل على: x = arccos (y).
أي ، لإيجاد دالة معكوسة لواحدة معينة ، يكفي التعبير ببساطة عن وسيطة منها. لكن هذا لا يعمل إلا إذا كان للنتيجة قيمة واحدة (المزيد عن ذلك لاحقًا).
بشكل عام ، يمكن كتابة هذه الحقيقة على النحو التالي: f (x) = y ، g (y) = x.
تعريف
لنفترض أن f دالة تم تعيين مجالها X ومجالها محدد Y. ثم إذا كان هناك g التي تؤدي مجالاتها مهام معاكسة ، فإن f تكون قابلة للعكس.
بالإضافة إلى ذلك ، فإن g في هذه الحالة فريدة ، مما يعني أن هناك وظيفة واحدة تفي بهذه الخاصية (لا أكثر ولا أقل). ثم تسمى الوظيفة العكسية ، وكتابتها يشار إليها على النحو التالي: g (x) \ u003d f -1 (x).
بمعنى آخر ، يمكن اعتبارها علاقة ثنائية. يحدث الانعكاس فقط عندما يتطابق عنصر واحد من المجموعة مع قيمة من أخرى.
لا توجد دائما دالة عكسية. للقيام بذلك ، يجب أن يتوافق كل عنصر y є Y مع واحد على الأكثر x є X. ثم تسمى f واحد لواحد أو الحقن. إذا كانت f -1 تنتمي إلى Y ، فيجب أن يتوافق كل عنصر من هذه المجموعة مع بعض x ∈ X. تسمى الوظائف التي لها هذه الخاصية Surjections. إنها تحمل بحكم التعريف إذا كانت Y هي صورة f ، لكن هذا ليس هو الحال دائمًا. لكي تكون معكوسًا ، يجب أن تكون الوظيفة عبارة عن حقنة وفرض. هذه التعبيرات تسمى bijections.
مثال: وظائف التربيع والجذر
يتم تعريف الوظيفة على. في هذه الحالة ، مشتقها
قسم الرياضيات والمعلوماتية التحليل الرياضي مجمع تعليمي ومنهجي لطلاب HPE الذين يدرسون باستخدام تقنيات عن بعد الوحدة 4 تطبيقات المشتق من إعداد: أستاذ مشارك
الفصل 1. الحدود والاستمرارية 1. المجموعات العددية 1 0. الأعداد الحقيقية من رياضيات المدرسة تعرف الأعداد الصحيحة N الطبيعية Z المنطقية Q والأرقام الحقيقية R الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة
المحاضرة 19 المشتقة وتطبيقاتها. تعريف المشتقات. لنحصل على دالة y = f (x) مُعرَّفة في بعض الفترات. لكل قيمة من قيمة الوسيطة x من هذه الفترة ، الدالة y = f (x)
حساب التفاضل والتكامل المفاهيم الأساسية والصيغ التعريف 1 يسمى مشتق دالة عند نقطة حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة ، بشرط أن تكون الزيادة في الوسيطة
موضوع 8. الدوال الأسية واللوغاريتمية. 1. الدالة الأسية ورسمها البياني وخصائصها بالصيغة y = a x ،
44 مثال أوجد المشتق الكلي لدالة معقدة = sin v cos w حيث v = ln + 1 w = 1 وفقًا للصيغة (9) d v w v w = v w d sin cos + cos + 1 sin sin 1 الآن نجد المشتق الكلي للدالة المعقدة و
مهام القرار المستقل. أوجد مجال دالة 6x. أوجد ظل زاوية الميل إلى المحور x للماس المار عبر النقطة M (؛) في الرسم البياني للوظيفة. أوجد ظل الزاوية
موضوع الوظيفة العددية وخصائصها والرسم البياني مفهوم الوظيفة العددية مجال التعريف ومجموعة قيم الدالة دع مجموعة عددية X تُعطى قاعدة تطابق كل رقم X مع فريد
المحاضرة 23 محدب وإقلاع الرسم البياني لوظيفة نقطة الحبر يسمى الرسم البياني للوظيفة y \ u003d f (x) محدب على الفاصل الزمني (أ ؛ ب) إذا كان موجودًا أسفل أي من ظلها في هذا الفاصل الزمني رسم بياني
موضوع نظرية الحدود تمرين عملي المتواليات العددية تعريف التسلسل العددي التسلسل المحدود وغير المحدود التسلسلات أحادية اللون صغيرة بلا حدود
الدوال العددية والتتابعات العددية DV Lytkina NPP ، I الفصل الدراسي DV Lytkina (SibSUTI) التحليل الرياضي لـ NPP ، الفصل الدراسي الأول 1/35 المحتويات 1 الوظيفة الرقمية مفهوم الوظيفة الوظائف العددية.
بنك المهام حول موضوع فئة الرياضيات "المنشقة" (الملف الشخصي) يجب أن يعرف الطلاب / يفهموا: مفهوم المشتق. تعريف المشتق. النظريات والقواعد لإيجاد مشتقات المجموع ، والفرق ، والمنتج
أ. أ. رياضيات Dalinger: وظيفة المثلث المساعدة التربوية لتطوير المشكلات للـ SPO - إصدارها وتصحيحها وتكميلها المهني
أ. Zemlyanko الرياضيات. الجبر وبدايات التحليل فورونيج محتويات الموضوع 1. الخصائص الرئيسية للوظيفة 6 1.1. دالة رقمية ... 6 1.2. الرسم البياني للوظيفة 9 1.3. جاري تحويل الرسوم البيانية للوظائف ...
موضوع. وظيفة. طرق المهمة. وظيفة ضمنية. وظيفة عكسية. تصنيف الوظائف عناصر نظرية المجموعات. المفاهيم الأساسية أحد المفاهيم الأساسية للرياضيات الحديثة هو مفهوم المجموعة.
دعونا نعطي مجموعة عددية D R. إذا تم تخصيص رقم واحد y لكل رقم x D ، فإننا نقول أن دالة رقمية معطاة في المجموعة D: y = f (x) ، x D. تسمى المجموعة D
وظائف من عدة متغيرات 11. تعريف دالة من عدة متغيرات. حد واستمرارية FNP 1. تعريف دالة من عدة متغيرات تعريف. دع X = (1 n i X i R) U R. الوظيفة
الرياضيات لجميع محتويات Yu.L.Kalinovskiy 1 رسوم بيانية للوظائف. الجزء الأول .............................. 5 1.1 مقدمة 5 1.1.1 مفهوم المجموعة ... ... ............................................ 5 1.1.
العمل العملي 6 الموضوع: "دراسة كاملة للوظائف. بناء الرسوم البيانية "الغرض من العمل: تعلم كيفية استكشاف الوظائف وفقًا لمخطط عام وبناء الرسوم البيانية. نتيجة العمل يجب على الطالب:
الفصل 8 الوظائف والرسوم البيانية المتغيرات والتبعيات فيما بينها. كميتين وتسمى متناسبة مباشرة إذا كانت نسبتها ثابتة ، أي إذا كانت = ، حيث هي رقم ثابت لا يتغير مع التغيير
المحاضرة 2. العمليات مع المساحات الفرعية ، عدد القواعد ، عدد القواعد وعدد المساحات الفرعية للبعد k. النتائج الرئيسية للمحاضرة 2. 1) U V، U + V، dim (u + V). 2) حساب عدد المستويات في F 4 2.
السؤال 5. وظيفة وطرق الإعداد. أمثلة على الوظائف الأولية ورسوماتها. دعونا نعطي مجموعتين تعسفيتين X و Y. الوظيفة هي قاعدة يمكن بموجبها إيجاد كل عنصر من المجموعة X
المحاضرة 4 وظائف عددية لمتغير حقيقي مفهوم دالة طرق تعريف دالة الخصائص الأساسية للوظائف وظيفة معقدة 4 دالة عكسية مفهوم دالة طرق تعريف دالة دع D
المحاضرات الفصل وظائف المتغيرات المتعددة المفاهيم الأساسية بعض الوظائف للعديد من المتغيرات معروفة جيداً دعنا نعطي بعض الأمثلة لحساب مساحة المثلث ، صيغة هيرون S معروفة
استمرارية الوظائف استمرارية وظيفة عند نقطة حدود من جانب واحد التعريف يسمى الرقم A بالحد الأيسر للدالة f (x) حيث أن x تميل إلى إذا كان هذا الرقم موجودًا لأي رقم
العمل البحثي الرياضيات "تطبيق الخصائص القصوى لدالة لحل المعادلات" من: Elena Gudkova ، طالبة الصف 11 "G" MBOU الثانوية "Anninsky Lyceum" p.g.t. آنا هيد:
الوكالة الفيدرالية للتعليم ----- جامعة سانت بيترسبرغ البوليتكنيكال AI Surygin EF Izotova OA Novikova TA Chaikina MATHEMATICS الوظائف الابتدائية والرسوم البيانية الخاصة بهم تعليمي
وظائف المتغيرات المتعددة لا تغطي وظائف متغير مستقل كل التبعيات الموجودة في الطبيعة. لذلك ، من الطبيعي توسيع المفهوم المعروف للاعتماد الوظيفي وتقديمه
الوظيفة مفهوم الوظيفة طرق تعريف الوظيفة خصائص الوظيفة الوظيفة العكسية حد الوظيفة حد الوظيفة عند نقطة حدود من جانب واحد حد الدالة عند x دالة كبيرة بلا حدود 4 محاضرة
القسم حساب التفاضل للوظائف لمتغير واحد ومتغيرات متعددة وظيفة الوسيطة الحقيقية الأعداد الحقيقية تسمى الأعداد الصحيحة الموجبة الأعداد الطبيعية إضافة إلى الأعداد الطبيعية
Sergei A Belyaev page 1 الحد الأدنى من الرياضيات الجزء 1 النظري 1 هل التعريف صحيح المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو أصغر رقم يقبل القسمة على كل رقم من الأرقام المعطاة
القسم 2 نظرية الحدود موضوع المتتاليات العددية تعريف التسلسل العددي 2 متواليات محدودة وغير محدودة 3 متواليات أحادية اللون 4 صغيرة بشكل غير محدود و
تمايز دالة ضمنية ضع في اعتبارك الوظيفة (،) = C (C = const) تحدد هذه المعادلة وظيفة ضمنية () لنفترض أننا حللنا هذه المعادلة ووجدنا تعبيرًا صريحًا = () الآن يمكننا
مهام الاختبارللتحضير للامتحان في تخصص "الرياضيات" للطلاب قسم المراسلاتمشتق الوظيفة y = f () يسمى: f A) B) f C) f f إذا كانت الوظيفة في بعض المناطق المجاورة للنقطة
المتغيرات والثوابت نتيجة قياس الكميات الفيزيائية (الوقت والمساحة والحجم والكتلة والسرعة وما إلى ذلك) ، يتم تحديد قيمها العددية. الرياضيات تتعامل مع الكميات المشتتة
قسم التحليل الرياضي: مقدمة في التحليل الموضوع: مفهوم الوظيفة (التعريفات الأساسية ، التصنيف ، الخصائص الرئيسية للسلوك) المحاضر Rozhkova S.V. 2012 الأدب Piskunov N.S. التفاضلي
الدرس 7 متوسط القيمة النظريات. قاعدة L'Hôpital 7. نظريات القيمة المتوسطة نظريات القيمة المتوسطة هي ثلاث نظريات: Rolle و Lagrange و Cauchy ، كل منها يعمم النظريات السابقة. تسمى هذه النظريات أيضًا
محاضرة أعدها Assoc.
تمايز وظائف متغير واحد مفهوم المشتق ، معناه الهندسي والمادي المشاكل التي تؤدي إلى مفهوم تعريف مشتق للماس S إلى السطر y f (x) عند النقطة A x ؛ F(
13. المشتقات الجزئية للأوامر العليا Let = have ومُعرَّفة على D O. الوظائف وتسمى أيضًا مشتقات جزئية من الدرجة الأولى لوظيفة أو مشتقات جزئية أولى للدالة. وبشكل عام
وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا المؤسسة التعليمية "تسمية جامعة ولاية غرودنو بعد يانكا كوبالا" Yu.Yu. جينيزدوفسكي ، في.ن. جوربوزوف ، ب. Pronevich الأسي واللوغاريتمي
مجموعات فصول المحاضرة والعمليات عليها مفهوم المجموعة يشير مفهوم المجموعة إلى المفاهيم الأساسية للرياضيات التي لم يتم تحديدها من خلال أبسط منها.
المحاضرة 8 اشتقاق دالة معقدة انظر في دالة معقدة t t t f حيث ϕ t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
المحاضرة 3 Extremum لدالة من عدة متغيرات دع دالة من عدة متغيرات u = f (x، x) تحدد في المجال D ، والنقطة x (x، x) = تنتمي إلى هذا المجال الوظيفة u = f ( س ، س) لديها
سؤال. عدم المساواة ، نظام المتباينات الخطية ضع في اعتبارك التعبيرات التي تحتوي على علامة متباينة ومتغير: > ، - + x متباينات خطية بمتغير واحد x .. 0 - متباينة مربعة.
قسم المشكلة مع المعلمات التعليق المهام ذات المعلمات هي مهام معقدة تقليديًا في هيكل الاستخداميتطلب من مقدم الطلب ليس فقط امتلاك جميع الأساليب والتقنيات لحل مختلف
2.2.7. تطبيق التفاضل لتقريب الحسابات. يعتمد تفاضل الدالة y = على x وهو الجزء الرئيسي من زيادة x. يمكنك أيضًا استخدام الصيغة: dy d ثم الخطأ المطلق:
الفصل السادس حساب التفاضل لدالة ذات متغير واحد مسائل تؤدي إلى مفهوم المشتق مشكلة سرعة الحركة المستقيمة غير المنتظمة
خط مستقيم على مستو معادلة عامة للخط المستقيم. قبل تقديم المعادلة العامة للخط المستقيم في المستوى ، دعنا نقدم التعريف العام للخط. تعريف. تسمى معادلة النموذج F (x، y) = 0 (1) معادلة الخط L
لجنة التعليم العام والمهني لمنطقة لينينغراد
قواعد الاشتقاق والتمايز دع الدالة y = f تزداد y f 0 f 0 المقابلة لزيادة الوسيطة 0 التعريف إذا كان هناك حد لنسبة زيادة الدالة y إلى المتصل
جامعة موسكو التقنية الحكومية التي تحمل اسم N.E. كلية بومان للعلوم الأساسية قسم النمذجة الرياضية А.Н. كاناتنيكوف ، أ. كريشينكو
الدوال العكسية تحدث المشكلات التي تنطوي على وظائف عكسية في مختلف فروع الرياضيات وفي تطبيقاتها. ومن المجالات المهمة للرياضيات المشكلات العكسية في نظرية التكامل
نظام المهام حول موضوع "المعادلة المماسية" حدد علامة منحدر الظل المرسوم على الرسم البياني للوظيفة y f () ، عند النقاط التي تحتوي على abscissas a ، b ، c a) b) حدد النقاط التي عندها المشتق
