Energoinform - εναλλακτική ενέργεια, εξοικονόμηση ενέργειας, τεχνολογίες πληροφοριών και υπολογιστών. Ακριβώς για το σύνθετο: γιατί E=mc2 ή πώς ο Αϊνστάιν έφτασε στη θεωρία της σχετικότητας

που σημαίνει ότι μια μεταβολή της ενέργειας ενός σώματος συνεπάγεται ανάλογη μεταβολή της μάζας του. Από εδώ είναι εύκολο να βρείτε την αναλογία μεταξύ της συνολικής μάζας σώματος και του συνολικού ενεργειακού αποθέματος:

Η ανακάλυψη αυτής της φόρμουλας ήταν ένα τεράστιο βήμα προς τα εμπρός στην κατανόηση των φυσικών φαινομένων. Από μόνη της, η συνειδητοποίηση της ισοδυναμίας μάζας και ενέργειας είναι ένα μεγάλο επίτευγμα. Αλλά η προκύπτουσα φόρμουλα, επιπλέον, έχει το ευρύτερο πεδίο εφαρμογής. Η διάσπαση και η σύντηξη των ατομικών πυρήνων, η γέννηση και η διάσπαση των σωματιδίων, ο μετασχηματισμός των στοιχειωδών σωματιδίων το ένα στο άλλο και πολλά άλλα φαινόμενα απαιτούν για την εξήγησή τους να ληφθεί υπόψη ο τύπος για τη σχέση μεταξύ μάζας και ενέργειας.

Bolotovsky B. Μια απλή παραγωγή του τύπου E = mc 2 //Kvant. - 2005. - Νο. 6. - Σ. 2-7.

Κατόπιν ειδικής συμφωνίας με τη συντακτική επιτροπή και τους συντάκτες του περιοδικού "Kvant"

Εισαγωγή

Η πλήρης και τελική διατύπωση της σύγχρονης θεωρίας της σχετικότητας περιέχεται στη μεγάλη εργασία του Albert Einstein «On the Electrodynamics of Moving Bodies», που δημοσιεύτηκε το 1905. Αν μιλάμε για την ιστορία της δημιουργίας της θεωρίας της σχετικότητας, τότε ο Αϊνστάιν είχε προκατόχους. Μερικά σημαντικά ερωτήματα της θεωρίας μελετήθηκαν στα έργα των H. Lorentz, J. Larmor, A. Poincaré, καθώς και κάποιων άλλων φυσικών. Ωστόσο, η θεωρία της σχετικότητας ως φυσική θεωρία δεν υπήρχε πριν από το έργο του Αϊνστάιν. Το έργο του Αϊνστάιν διαφέρει από τα προηγούμενα έργα από μια εντελώς νέα κατανόηση τόσο των επιμέρους πτυχών της θεωρίας όσο και της συνολικής θεωρίας, μια τέτοια κατανόηση που δεν υπήρχε στα έργα των προκατόχων του.

Η θεωρία της σχετικότητας ανάγκασε να επανεξετάσει πολλές βασικές έννοιες της φυσικής. Η σχετικότητα του ταυτόχρονου γεγονότων, οι διαφορές στην πορεία των ρολογιών που κινούνται και ηρεμούν, οι διαφορές στο μήκος των κινούμενων και ακίνητων χάρακα - αυτές και πολλές άλλες συνέπειες της θεωρίας της σχετικότητας συνδέονται άρρηκτα με νέες ιδέες για το χώρο και το χρόνο σε σύγκριση με Νευτώνεια μηχανική, καθώς και για τη διασύνδεση χώρου και χρόνου.

Μία από τις πιο σημαντικές συνέπειες της θεωρίας της σχετικότητας είναι η περίφημη σχέση του Αϊνστάιν μεταξύ της μάζας Μσώμα ηρεμίας και ενεργειακό απόθεμα μισε αυτό το σώμα:

\(~E = mc^2, \qquad (1)\)

Οπου Μεείναι η ταχύτητα του φωτός.

(Αυτή η σχέση ονομάζεται ποικιλοτρόπως. Στη Δύση, η ονομασία «σχέση ισοδυναμίας μεταξύ μάζας και ενέργειας» είναι αποδεκτή για αυτήν. πιο προσεκτική ονομασία αποφύγετε τη λέξη «ισοδυναμία», ταυτότητα, γιατί, λένε, η μάζα και η ενέργεια είναι διαφορετικές ποιότητες ύλης, μπορούν να σχετίζονται μεταξύ τους, αλλά δεν είναι ταυτόσημες, δεν είναι ισοδύναμες. Μου φαίνεται ότι αυτή η προσοχή είναι περιττή.Ισότητα μι = mcΤο 2 μιλάει από μόνο του. Από αυτό προκύπτει ότι η μάζα μπορεί να μετρηθεί σε μονάδες ενέργειας και η ενέργεια μπορεί να μετρηθεί σε μονάδες μάζας. Παρεμπιπτόντως, αυτό κάνουν οι φυσικοί. Και η δήλωση ότι η μάζα και η ενέργεια είναι διαφορετικά χαρακτηριστικά της ύλης ήταν αληθής στη μηχανική του Νεύτωνα και στη μηχανική του Αϊνστάιν η ίδια η σχέση μι = mc 2 μιλά για την ταυτότητα αυτών των δύο μεγεθών - μάζας και ενέργειας. Μπορεί, βέβαια, να πει κανείς ότι η σχέση μεταξύ μάζας και ενέργειας δεν σημαίνει ότι είναι πανομοιότυπα. Αλλά αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε, κοιτάζοντας την ισότητα 2 = 2: αυτό δεν είναι μια ταυτότητα, αλλά μια αναλογία μεταξύ διαφορετικών δύο, επειδή τα δύο δεξιά είναι στα δεξιά και τα αριστερά είναι στα αριστερά.)

Η σχέση (1) προκύπτει συνήθως από την εξίσωση κίνησης ενός σώματος στην Αϊνστάιν μηχανική, αλλά αυτό το συμπέρασμα είναι αρκετά δύσκολο για έναν μαθητή γυμνασίου. Επομένως, είναι λογικό να προσπαθήσουμε να βρούμε μια απλή παραγωγή αυτού του τύπου.

Ο ίδιος ο Αϊνστάιν, έχοντας διατυπώσει το 1905 τα θεμέλια της θεωρίας της σχετικότητας στο άρθρο «On the Electrodynamics of Moving Bodies», στη συνέχεια επέστρεψε στο ζήτημα της σχέσης μεταξύ μάζας και ενέργειας. Το ίδιο 1905 δημοσίευσε ένα σύντομο σημείωμα «Η αδράνεια ενός σώματος εξαρτάται από την ενέργεια που περιέχεται σε αυτό;». Σε αυτό το άρθρο, έδωσε την παραγωγή της σχέσης μι = mc 2 , το οποίο δεν βασίζεται στην εξίσωση της κίνησης, αλλά, όπως η παρακάτω παραγωγή, στο φαινόμενο Doppler. Αλλά αυτό το συμπέρασμα είναι επίσης αρκετά περίπλοκο.

Παραγωγή τύπου μι = mc 2 , που θέλουμε να σας προσφέρουμε, δεν βασίζεται στην εξίσωση της κίνησης και, επιπλέον, είναι αρκετά απλό ώστε οι μαθητές γυμνασίου να μπορούν να το ξεπεράσουν - αυτό δεν απαιτεί σχεδόν καμία γνώση που υπερβαίνει το σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Σε κάθε περίπτωση, θα παρέχουμε όλες τις πληροφορίες που χρειαζόμαστε. Αυτές είναι πληροφορίες για το φαινόμενο Doppler και για το φωτόνιο - ένα σωματίδιο του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Πρώτα όμως ορίζουμε μια προϋπόθεση, την οποία θα θεωρήσουμε ότι ικανοποιείται και στην οποία θα βασιστούμε στην παραγωγή.

Η συνθήκη των χαμηλών ταχυτήτων

Θα υποθέσουμε ότι η σωματική μάζα Μ, με το οποίο θα ασχοληθούμε, είτε βρίσκεται σε ηρεμία (και τότε, προφανώς, η ταχύτητά του ισούται με μηδέν), είτε, αν κινείται, τότε με ταχύτητα υ , μικρό σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός Με. Με άλλα λόγια, θα υποθέσουμε ότι ο λόγος \(~\frac(\upsilon)(c)\) της ταχύτητας του σώματος προς την ταχύτητα του φωτός είναι μια τιμή μικρή σε σύγκριση με τη μονάδα. Ωστόσο, θα εξετάσουμε την αναλογία \(~\frac(\upsilon)(c)\), αν και μικρή, αλλά όχι αμελητέα - θα λάβουμε υπόψη ποσότητες ανάλογες με την πρώτη δύναμη του λόγου \(~\frac( \upsilon)(c)\ ), αλλά θα παραμελήσουμε τις δεύτερες και ανώτερες δυνάμεις αυτής της αναλογίας. Για παράδειγμα, εάν στην έξοδο έχουμε να αντιμετωπίσουμε την έκφραση \(~1 - \frac(\upsilon^2)(c^2)\), θα παραμελήσουμε την τιμή \(~\frac(\upsilon^2 )(c^ 2) \) σε σύγκριση με την ενότητα:

\(~1 - \frac(\upsilon^2)(c^2) = 1, \ \frac(\upsilon^2)(c^2) \ll \frac(\upsilon)(c) \ll 1. \qquad (2)\)

Σε αυτήν την προσέγγιση, λαμβάνονται σχέσεις που με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνονται περίεργες, αν και δεν υπάρχει τίποτα περίεργο σε αυτές, απλά πρέπει να θυμάστε ότι αυτές οι σχέσεις δεν είναι ακριβείς ισότητες, αλλά ισχύουν μέχρι \(~\frac(\upsilon) (c )\) συμπεριλαμβανομένου, ενώ οι ποσότητες της τάξης \(~\frac(\upsilon^2)(c^2)\) παραμελούνται. Σύμφωνα με αυτήν την υπόθεση, για παράδειγμα, ισχύει η ακόλουθη κατά προσέγγιση ισότητα:

\(~\frac(1)(1 - \frac(\upsilon)(c)) = 1 + \frac(\upsilon)(c), \ \frac(\upsilon^2)(c^2) \ll 1. \qquad (3)\)

Πράγματι, ας πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη αυτής της κατά προσέγγιση ισότητας με \(~1 - \frac(\upsilon)(c)\). Θα πάρουμε

\(~1 = 1 - \frac(\upsilon^2)(c^2),\)

εκείνοι. κατά προσέγγιση ισότητα (2). Εφόσον υποθέσουμε ότι το \(~\frac(\upsilon^2)(c^2)\) είναι αμελητέο σε σύγκριση με τη μονάδα, βλέπουμε ότι στην προσέγγιση \(~\frac(\upsilon^2)(c ^2) \ll 1\) η ισότητα (3) είναι αληθής.

Ομοίως, είναι εύκολο να αποδειχθεί, με την ίδια προσέγγιση, η ισότητα

\(~\frac(1)(1 + \frac(\upsilon)(c)) = 1 - \frac(\upsilon)(c). \qquad (4)\)

Όσο μικρότερη είναι η τιμή \(~\frac(\upsilon)(c)\), τόσο πιο ακριβείς είναι αυτές οι κατά προσέγγιση ισότητες.

Δεν είναι τυχαίο ότι θα χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση των χαμηλών ταχυτήτων. Συχνά ακούει και διαβάζει ότι η θεωρία της σχετικότητας πρέπει να εφαρμόζεται στην περίπτωση των υψηλών ταχυτήτων, όταν ο λόγος της ταχύτητας ενός σώματος προς την ταχύτητα του φωτός είναι της τάξης της μονάδας, ενώ στις χαμηλές ταχύτητες, η μηχανική του Νεύτωνα εφαρμόζεται. . Στην πραγματικότητα, η θεωρία της σχετικότητας δεν ανάγεται στη Νευτώνεια μηχανική ακόμη και στην περίπτωση αυθαίρετα μικρών ταχυτήτων. Αυτό θα το δούμε αποδεικνύοντας τη σχέση μι = mc 2 για ένα σώμα σε ηρεμία ή ένα σώμα που κινείται πολύ αργά. Η Νευτώνεια μηχανική δεν μπορεί να δώσει τέτοια αναλογία.

Έχοντας ορίσει τη μικρότητα των ταχυτήτων σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός, προχωράμε στην παρουσίαση ορισμένων πληροφοριών που θα χρειαστούμε κατά την εξαγωγή του τύπου μι = mc 2 .

Φαινόμενο Ντόπλερ

Θα ξεκινήσουμε με ένα φαινόμενο που πήρε το όνομά του από τον Αυστριακό φυσικό Christian Doppler, ο οποίος ανακάλυψε αυτό το φαινόμενο στα μέσα του προηγουμένου αιώνα.

Θεωρήστε μια πηγή φωτός και θα υποθέσουμε ότι η πηγή κινείται κατά μήκος του άξονα Χμε ταχύτητα υ . Ας υποθέσουμε για απλότητα ότι κάθε φορά t= 0 η πηγή διέρχεται από την αρχή, δηλ. μέσα από ένα σημείο Χ= 0. Τότε η θέση της πηγής ανά πάσα στιγμή tκαθορίζεται από τον τύπο

\(~x = \upsilon t.\)

Ας υποθέσουμε ότι είναι πολύ μπροστά από το σώμα που ακτινοβολεί στον άξονα Χτοποθετείται ένας παρατηρητής που παρακολουθεί την κίνηση του σώματος. Είναι σαφές ότι με μια τέτοια διάταξη, το σώμα πλησιάζει τον παρατηρητή. Ας υποθέσουμε ότι ο παρατηρητής κοίταξε το σώμα τη στιγμή του χρόνου t. Αυτή τη στιγμή, ο παρατηρητής λαμβάνει ένα φωτεινό σήμα που εκπέμπεται από το σώμα σε προγενέστερο χρόνο t'. Προφανώς, η στιγμή της εκπομπής πρέπει να προηγείται της στιγμής λήψης, δηλ. πρέπει να είναι t' < t.

Ας ορίσουμε τη σύνδεση μεταξύ t'Και t. Την ώρα της εκπομπής t'το σώμα βρίσκεται στο σημείο \(~x" = \upsilon t"\), και ας είναι ο παρατηρητής στο σημείο Χ = μεγάλο. Τότε η απόσταση από το σημείο εκπομπής μέχρι το σημείο λήψης είναι \(~L - \upsilon t"\), και ο χρόνος που χρειάζεται το φως για να διανύσει μια τέτοια απόσταση είναι \(~\frac(L - \upsilon t") (γ)\) . Γνωρίζοντας αυτό, μπορούμε εύκολα να γράψουμε μια εξίσωση που να σχετίζεται t'Και t:

\(~t = t" + \frac(L - \upsilon t")(c).\)

\(~t" = \frac(t - \frac Lc)(1 - \frac(\upsilon)(c)). \qquad (5)\)

Έτσι, ένας παρατηρητής κοιτάζει ένα κινούμενο σώμα κάθε φορά t, βλέπει αυτό το σώμα εκεί που βρισκόταν σε παλαιότερο χρονικό σημείο t', και η σχέση μεταξύ tΚαι t'προσδιορίζεται από τον τύπο (5).

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η φωτεινότητα της πηγής ποικίλλει περιοδικά σύμφωνα με το νόμο του συνημιτονοειδούς. Δηλώνουμε τη φωτεινότητα με το γράμμα Εγώ. Προφανώς, Εγώείναι συνάρτηση του χρόνου και μπορούμε, λαμβάνοντας υπόψη αυτή την περίσταση, να γράψουμε

\(~I = I_0 + I_1 \cos \omega t \ (I_0 > I_1 > 0),\)

Οπου Εγώ 0 και Εγώ 1 - ορισμένες σταθερές που δεν εξαρτώνται από το χρόνο. Η ανισότητα με αγκύλες είναι απαραίτητη επειδή η φωτεινότητα δεν μπορεί να είναι αρνητική. Αλλά για εμάς, σε αυτήν την περίπτωση, αυτή η περίσταση δεν έχει σημασία, καθώς στο μέλλον θα μας ενδιαφέρει μόνο η μεταβλητή συνιστώσα - ο δεύτερος όρος στον τύπο για Εγώ(t).

Αφήστε τον παρατηρητή να κοιτάξει το σώμα σε μια χρονική στιγμή t. Όπως ήδη αναφέρθηκε, βλέπει το σώμα σε κατάσταση που αντιστοιχεί σε παλαιότερο χρονικό σημείο t'. Το μεταβλητό μέρος της φωτεινότητας αυτή τη στιγμή t'ανάλογη προς κοσ ωt'. Λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (5), παίρνουμε

\(~\cos \omega t" = \cos \omega \frac(t - \frac Lc)(1 - \frac(\upsilon)(c)) = \cos \left(\frac(\omega t)( 1 - \frac(\upsilon)(c)) - \omega \frac Lc \frac(1)(1 - \frac(\upsilon)(c))\δεξιά).\)

Συντελεστής στο tκάτω από το πρόσημο συνημιτόνου δίνει τη συχνότητα αλλαγής της φωτεινότητας όπως φαίνεται από τον παρατηρητή. Ας χαρακτηρίσουμε αυτή τη συχνότητα ως ω’ , Επειτα

\(~\omega" = \frac(\omega)(1 - \frac(\upsilon)(c)). \qquad (6)\)

Εάν η πηγή είναι σε ηρεμία ( υ = 0), τότε ω’ = ω , δηλ. ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται την ίδια συχνότητα με αυτή που εκπέμπει η πηγή. Εάν η πηγή κινείται προς τον παρατηρητή (σε αυτή την περίπτωση, ο παρατηρητής λαμβάνει ακτινοβολία που κατευθύνεται προς τα εμπρός κατά μήκος της κίνησης της πηγής), τότε η λαμβανόμενη συχνότητα ω’ ω και η λαμβανόμενη συχνότητα είναι μεγαλύτερη από τη συχνότητα που εκπέμπεται.

Η περίπτωση που η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή μπορεί να ληφθεί αλλάζοντας την πινακίδα μπροστά από υ σε σχέση (6). Μπορεί να φανεί ότι τότε η λαμβανόμενη συχνότητα είναι μικρότερη από την εκπεμπόμενη.

Μπορούμε να πούμε ότι οι μεγάλες συχνότητες εκπέμπονται προς τα εμπρός και οι μικρές εκπέμπονται προς τα πίσω (αν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή, τότε ο παρατηρητής, προφανώς, λαμβάνει ακτινοβολία που εκπέμπεται προς τα πίσω).

Το φαινόμενο Doppler συνίσταται στη διαφορά μεταξύ της συχνότητας ταλάντωσης της πηγής και της συχνότητας που λαμβάνει ο παρατηρητής. Εάν ο παρατηρητής βρίσκεται στο σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η πηγή βρίσκεται σε ηρεμία, τότε οι συχνότητες που εκπέμπονται και οι λαμβανόμενες συχνότητες συμπίπτουν. Αν ο παρατηρητής βρίσκεται σε σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η πηγή κινείται με ταχύτητα υ , τότε η σχέση μεταξύ των εκπεμπόμενων και των λαμβανόμενων συχνοτήτων προσδιορίζεται από τον τύπο (6). Εδώ υποθέτουμε ότι ο παρατηρητής είναι πάντα σε ηρεμία.

Όπως φαίνεται, η σχέση μεταξύ των εκπεμπόμενων και των λαμβανόμενων συχνοτήτων καθορίζεται από την ταχύτητα v της σχετικής κίνησης της πηγής και του παρατηρητή. Υπό αυτή την έννοια, δεν έχει καμία διαφορά ποιος κινείται - η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή ή ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή. Αλλά σε αυτό που ακολουθεί θα είναι πιο βολικό για εμάς να υποθέσουμε ότι ο παρατηρητής βρίσκεται σε ηρεμία.

Αυστηρά μιλώντας, ο χρόνος κυλά διαφορετικά σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων. Η αλλαγή στην πορεία του χρόνου επηρεάζει επίσης το μέγεθος της παρατηρούμενης συχνότητας. Αν, για παράδειγμα, η συχνότητα ταλάντωσης του εκκρεμούς στο σύστημα συντεταγμένων όπου βρίσκεται σε ηρεμία είναι ίση με ω , στη συνέχεια στο σύστημα συντεταγμένων όπου κινείται με ταχύτητα υ , η συχνότητα είναι \(~\omega \sqrt(1 - \frac(\upsilon^2)(c^2))\). Αυτό είναι το αποτέλεσμα της θεωρίας της σχετικότητας. Επειδή όμως συμφωνήσαμε από την αρχή να παραμελήσουμε την τιμή \(~\frac(\upsilon^2)(c^2)\) σε σύγκριση με την ενότητα, η αλλαγή στην πορεία του χρόνου για την περίπτωσή μας (κίνηση με χαμηλή ταχύτητα) είναι αμελητέα μικρός.

Έτσι, η παρατήρηση ενός κινούμενου σώματος έχει τα δικά της χαρακτηριστικά. Ο παρατηρητής βλέπει το σώμα όχι εκεί που είναι (ενώ το σήμα πηγαίνει στον παρατηρητή, το σώμα έχει χρόνο να κινηθεί) και λαμβάνει ένα σήμα του οποίου η συχνότητα ω’ διαφορετική από την εκπεμπόμενη συχνότητα ω .

Ας γράψουμε τώρα τους τελικούς τύπους που θα χρειαστούμε στη συνέχεια. Εάν μια κινούμενη πηγή ακτινοβολεί προς τα εμπρός προς την κατεύθυνση της κίνησης, τότε η συχνότητα ω’ αποδεκτό από τον παρατηρητή σχετίζεται με τη συχνότητα της πηγής ω αναλογία

\(~\omega" = \frac(\omega)(1 - \frac(\upsilon)(c)) = \omega \left(1 + \frac(\upsilon)(c) \right), \ \frac (\upsilon)(c) \ll 1. \qquad (7)\)

Για την αντίστροφη ακτινοβολία, έχουμε

\(~\omega" = \frac(\omega)(1 + \frac(\upsilon)(c)) = \omega \left(1 - \frac(\upsilon)(c) \right), \ \frac (\upsilon)(c) \ll 1. \qquad (8)\)

Ενέργεια και ορμή ενός φωτονίου

Η σύγχρονη έννοια ενός σωματιδίου ηλεκτρομαγνητικού πεδίου - ενός φωτονίου, καθώς και ο τύπος μι = mc 2, που πρόκειται να αποδείξουμε, οφείλεται στον Αϊνστάιν και δηλώθηκε από αυτόν το ίδιο το 1905 όπου απέδειξε την ισοδυναμία μάζας και ενέργειας. Σύμφωνα με τον Αϊνστάιν, τα ηλεκτρομαγνητικά και, ειδικότερα, τα κύματα φωτός αποτελούνται από μεμονωμένα σωματίδια - φωτόνια. Αν ληφθεί υπόψη φως κάποιας συγκεκριμένης συχνότητας ω , τότε κάθε φωτόνιο έχει μια ενέργεια μιανάλογα με αυτή τη συχνότητα:

\(~E = \hbar \omega .\)

Ο συντελεστής αναλογικότητας \(~\hbar\) ονομάζεται σταθερά του Planck. Κατά σειρά μεγέθους, η σταθερά του Planck είναι ίση με 10 -34, η διάστασή της είναι J·s. Δεν γράφουμε εδώ την ακριβή τιμή της σταθεράς του Planck, δεν θα τη χρειαστούμε.

Μερικές φορές αντί για τη λέξη «φωτόνιο» λένε «κβάντο του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου».

Ένα φωτόνιο δεν έχει μόνο ενέργεια, αλλά και ορμή ίση με

\(~p = \frac(\hbar \omega)(c) = \frac Ec.\)

Αυτές οι πληροφορίες θα μας αρκούν για όσα ακολουθούν.

Παραγωγή τύπου μι = mc 2

Θεωρήστε ένα σώμα σε ηρεμία με μάζα Μ. Ας υποθέσουμε ότι αυτό το σώμα εκπέμπει ταυτόχρονα δύο φωτόνια σε ακριβώς αντίθετες κατευθύνσεις. Και τα δύο φωτόνια έχουν την ίδια συχνότητα ω και, ως εκ τούτου, πανομοιότυπες ενέργειες \(~E = \hbar \omega\), καθώς και ίσες σε μέγεθος και αντίθετες ως προς την κατεύθυνση παλμούς. Ως αποτέλεσμα της ακτινοβολίας, το σώμα χάνει ενέργεια

\(~\Delta E = 2 \hbar \omega. \qquad (9)\)

Η απώλεια της ορμής είναι μηδενική και, κατά συνέπεια, το σώμα μετά την εκπομπή δύο κβαντών παραμένει σε ηρεμία.

Αυτή η νοητική εμπειρία φαίνεται στο Σχήμα 1. Το σώμα φαίνεται ως κύκλος και τα φωτόνια ως κυματιστές γραμμές. Ένα από τα φωτόνια εκπέμπεται στη θετική κατεύθυνση του άξονα Χ, το άλλο είναι αρνητικό. Οι τιμές ενέργειας και ορμής των αντίστοιχων φωτονίων δίνονται κοντά στις κυματιστές γραμμές. Μπορεί να φανεί ότι το άθροισμα των εκπεμπόμενων παλμών είναι ίσο με μηδέν.

Εικ.1. Η εικόνα δύο φωτονίων στο πλαίσιο αναφοράς στο οποίο το ακτινοβολούμενο σώμα βρίσκεται σε ηρεμία: α) το σώμα πριν από την ακτινοβολία. β) μετά από ακτινοβολία

Ας εξετάσουμε τώρα την ίδια εικόνα από την οπτική γωνία ενός παρατηρητή που κινείται κατά μήκος του άξονα Χπρος τα αριστερά (δηλαδή στην αρνητική κατεύθυνση του άξονα Χ) σε χαμηλή ταχύτητα υ . Ένας τέτοιος παρατηρητής δεν θα βλέπει πλέον ένα σώμα σε ηρεμία, αλλά ένα σώμα που κινείται με χαμηλή ταχύτητα προς τα δεξιά. Η τιμή αυτής της ταχύτητας είναι υ , ενώ η ταχύτητα κατευθύνεται προς τη θετική φορά του άξονα Χ. Στη συνέχεια, η συχνότητα που εκπέμπεται προς τα δεξιά θα καθοριστεί από τον τύπο (7) για την περίπτωση της μπροστινής ακτινοβολίας:

\(~\omega" = \omega \left(1 + \frac(\upsilon)(c) \right).\)

Έχουμε ορίσει τη συχνότητα ενός φωτονίου που εκπέμπεται από ένα κινούμενο σώμα προς τα εμπρός προς την κατεύθυνση της κίνησης ως ω’ , για να μην συγχέεται αυτή η συχνότητα με τη συχνότητα ω εκπέμπεται φωτόνιο στο σύστημα συντεταγμένων όπου το σώμα βρίσκεται σε ηρεμία. Αντίστοιχα, η συχνότητα ενός φωτονίου που εκπέμπεται από ένα κινούμενο σώμα προς τα αριστερά προσδιορίζεται από τον τύπο (8) για την περίπτωση της αντίστροφης ακτινοβολίας:

\(~\omega"" = \omega \left(1 - \frac(\upsilon)(c) \right).\)

Για να μην συγχέουμε την εμπρόσθια ακτινοβολία με την οπίσθια ακτινοβολία, θα προσδιορίσουμε ποσότητες που σχετίζονται με την οπίσθια ακτινοβολία με δύο διαδρομές.

Δεδομένου ότι, λόγω του φαινομένου Doppler, οι συχνότητες της ακτινοβολίας προς τα εμπρός και προς τα πίσω είναι διαφορετικές, η ενέργεια και η ορμή των εκπεμπόμενων φωτονίων θα διαφέρουν επίσης. Ένα κβάντο που ακτινοβολείται προς τα εμπρός θα έχει ενέργεια

\(~E" = \hbar \omega" = \hbar \omega \left(1 + \frac(\upsilon)(c) \right)\)

και ορμή

\(~p" = \frac(\hbar \omega")(c) = \frac(\hbar \omega)(c) \left(1 + \frac(\upsilon)(c) \δεξιά).\)

Ένα κβαντικό ακτινοβολούμενο πίσω θα έχει ενέργεια

\(~E"" = \hbar \omega"" = \hbar \omega \left(1 - \frac(\upsilon)(c) \right)\)

και ορμή

\(~p"" = \frac(\hbar \omega"")(c) = \frac(\hbar \omega)(c) \left(1 - \frac(\upsilon)(c) \δεξιά). \)

Σε αυτή την περίπτωση, οι κβαντικές ώσεις κατευθύνονται σε αντίθετες κατευθύνσεις.

Η εικόνα της διαδικασίας ακτινοβολίας, όπως φαίνεται από έναν κινούμενο παρατηρητή, φαίνεται στο Σχήμα 2.

Εικ.2. Η εικόνα δύο φωτονίων στο πλαίσιο αναφοράς, όπου είναι η ταχύτητα του σώματος που ακτινοβολεί υ : α) το σώμα πριν από την ακτινοβολία. β) μετά από ακτινοβολία

Είναι σημαντικό να τονίσουμε εδώ ότι τα σχήματα 1 και 2 απεικονίζουν την ίδια διαδικασία, αλλά από τη σκοπιά διαφορετικών παρατηρητών. Το πρώτο σχήμα αναφέρεται στην περίπτωση όταν ο παρατηρητής βρίσκεται σε ηρεμία σε σχέση με το σώμα που ακτινοβολεί και το δεύτερο - όταν ο παρατηρητής κινείται.

Ας υπολογίσουμε το ισοζύγιο ενέργειας και ορμής για τη δεύτερη περίπτωση. Απώλεια ενέργειας σε ένα σύστημα συντεταγμένων όπου ο πομπός έχει ταχύτητα υ , είναι ίσο με

\(~\Delta E" = E" + E"" = \hbar \omega \left(1 + \frac(\upsilon)(c) \right) + \hbar \omega \left(1 - \frac(\ upsilon)(c) \δεξιά) = 2 \hbar \omega = \Delta E,\)

εκείνοι. είναι το ίδιο όπως στο σύστημα όπου ο πομπός βρίσκεται σε ηρεμία (βλ. τύπο (9)). Αλλά η απώλεια ορμής στο πλαίσιο όπου κινείται ο πομπός δεν είναι ίση με μηδέν, σε αντίθεση με το υπόλοιπο πλαίσιο:

\(~\Delta p" = p" - p"" = \frac(\hbar \omega)(c) \left(1 + \frac(\upsilon)(c) \right) - \frac(\hbar \ ωμέγα)(c) \left(1 1 \frac(\upsilon)(c) \right) = \frac(2 \hbar \omega)(c) \frac(\upsilon)(c) = \frac(\Delta E)(c^2) \upsilon.\qquad (10)\)

Ο κινούμενος εκπομπός χάνει την ορμή \(~\frac(\Delta E \upsilon)(c^2)\) και, επομένως, φαίνεται ότι θα πρέπει να επιβραδύνει και να μειώσει την ταχύτητά του. Αλλά στο υπόλοιπο πλαίσιο, η ακτινοβολία είναι συμμετρική, ο εκπομπός δεν αλλάζει ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα του πομπού δεν μπορεί να αλλάξει στο σύστημα όπου κινείται. Και αν η ταχύτητα του σώματος δεν αλλάζει, τότε πώς μπορεί να χάσει την ορμή του;

Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, ας θυμηθούμε πώς γράφεται η ορμή ενός σώματος με μάζα Μ:

\(~p = m \upsilon\)

Η ορμή είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του σώματος και της ταχύτητάς του. Εάν η ταχύτητα του σώματος δεν αλλάζει, τότε η ορμή του μπορεί να αλλάξει μόνο λόγω αλλαγής της μάζας:

\(~\Delta p = \Delta m \upsilon\)

Εδώ Δ Π- μεταβολή της ορμής του σώματος με σταθερή ταχύτητα, Δ Μ- αλλαγή της μάζας του.

Αυτή η έκφραση για την απώλεια ορμής θα πρέπει να εξισωθεί με την έκφραση (10), η οποία συσχετίζει την απώλεια ορμής με την απώλεια ενέργειας. Θα πάρουμε τον τύπο

\(~\frac(\Delta E)(c^2)\upsilon = \Delta m \upsilon,\)

\(~\Δέλτα Ε = \Δέλτα m c^2,\)

που σημαίνει ότι μια μεταβολή της ενέργειας ενός σώματος συνεπάγεται ανάλογη μεταβολή της μάζας του. Από εδώ είναι εύκολο να βρείτε την αναλογία μεταξύ της συνολικής μάζας σώματος και του συνολικού ενεργειακού αποθέματος:

\(~E = mc^2.\)

Η ανακάλυψη αυτής της φόρμουλας ήταν ένα τεράστιο βήμα προς τα εμπρός στην κατανόηση των φυσικών φαινομένων. Από μόνη της, η συνειδητοποίηση της ισοδυναμίας μάζας και ενέργειας είναι ένα μεγάλο επίτευγμα. Αλλά η προκύπτουσα φόρμουλα, επιπλέον, έχει το ευρύτερο πεδίο εφαρμογής. Η διάσπαση και η σύντηξη των ατομικών πυρήνων, η γέννηση και η διάσπαση των σωματιδίων, ο μετασχηματισμός των στοιχειωδών σωματιδίων το ένα στο άλλο και πολλά άλλα φαινόμενα απαιτούν για την εξήγησή τους να ληφθεί υπόψη ο τύπος για τη σχέση μεταξύ μάζας και ενέργειας.

Συμπερασματικά - δύο εργασίες για το σπίτι για τους λάτρεις της θεωρίας της σχετικότητας.

1. Διαβάστε το άρθρο του A. Einstein «Η αδράνεια ενός σώματος εξαρτάται από την ενέργεια που περιέχεται σε αυτό;» .
2. Προσπαθήστε να εξαγάγετε ανεξάρτητα τη σχέση \(~\Delta m = \frac(\Delta E)(c^2)\) για την περίπτωση ενός πλαισίου του οποίου η ταχύτητα είναι υ μπορεί να μην είναι μικρό σε σύγκριση με την ταχύτητα του φωτός Με. ένδειξη. Χρησιμοποιήστε τον ακριβή τύπο για την ορμή του σωματιδίου: \(~p = \frac(m \upsilon)(\sqrt(1 - \frac(\upsilon^2)(c^2)))\) και τον ακριβή τύπο για την Φαινόμενο Doppler: \ (~\omega" = \omega \sqrt(\frac(1 + \frac(\upsilon)(c))(1 - \frac(\upsilon)(c))),\) που λαμβάνεται λαμβάνοντας υπόψη τη διαφορά στη διάρκεια του χρόνου στα πλαίσια αναφοράς ηρεμίας και κίνησης.

• Μετάφραση

Η πιο διάσημη εξίσωση του Αϊνστάιν υπολογίζεται πιο όμορφα από ό,τι θα περίμενε κανείς.

Από την ειδική σχετικότητα προκύπτει ότι η μάζα και η ενέργεια είναι διαφορετικές εκδηλώσεις του ίδιου πράγματος - μια έννοια άγνωστη στον μέσο νου.
- Albert Einstein

Ορισμένες επιστημονικές έννοιες αλλάζουν τόσο τον κόσμο και είναι τόσο βαθιές που σχεδόν όλοι γνωρίζουν γι' αυτές, ακόμα κι αν δεν τις κατανοούν πλήρως. Γιατί να μην το δουλέψετε μαζί; Κάθε εβδομάδα υποβάλλετε τις ερωτήσεις και τις προτάσεις σας και αυτή την εβδομάδα επέλεξα την ερώτηση του Mark Liuv, η οποία ρωτά:

Ο Αϊνστάιν εξήγαγε την εξίσωση E = mc 2 . Όμως οι μονάδες ενέργειας, μάζας, χρόνου, μήκους ήταν ήδη γνωστές πριν από τον Αϊνστάιν. Πώς λοιπόν βγαίνει τόσο όμορφα; Γιατί δεν υπάρχει κάποια σταθερά για το μήκος ή το χρόνο; Γιατί δεν είναι E = amc 2 όπου a είναι κάποια σταθερά;

Αν το σύμπαν μας δεν είχε τακτοποιηθεί όπως είναι τώρα, τότε όλα θα μπορούσαν να ήταν διαφορετικά. Ας δούμε τι εννοώ.

Από τη μια πλευρά, έχουμε αντικείμενα με μάζα: από γαλαξίες, αστέρια και πλανήτες μέχρι τα μικρότερα μόρια, άτομα και θεμελιώδη σωματίδια. Αν και είναι μικροσκοπικά, κάθε ένα από τα συστατικά αυτού που γνωρίζουμε ως ύλη έχει μια θεμελιώδη ιδιότητα της μάζας, που σημαίνει ότι ακόμα κι αν η κίνησή του αποκλειστεί, ακόμα κι αν επιβραδυνθεί σε πλήρη διακοπή, θα επηρεάσει όλα τα άλλα. αντικείμενα του σύμπαντος.

Συγκεκριμένα, ασκεί βαρυτική έλξη σε οτιδήποτε άλλο στο σύμπαν, ανεξάρτητα από το πόσο μακριά είναι το μακρινό αντικείμενο. Ελκύει τα πάντα στον εαυτό του, έλκεται από όλα τα άλλα, και έχει επίσης την ενέργεια που είναι εγγενής στην ίδια του την ύπαρξη.

Η τελευταία δήλωση είναι αντίθετη, γιατί η ενέργεια, τουλάχιστον στη φυσική, αναφέρεται ως η ικανότητα να κάνεις κάτι - την ικανότητα να κάνεις δουλειά. Τι μπορείτε να κάνετε αν απλά κάθεστε ακίνητοι;

Πριν απαντήσουμε, ας δούμε την άλλη όψη του νομίσματος - πράγματα χωρίς μάζα.

Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν πράγματα που δεν έχουν μάζα - για παράδειγμα, φως. Αυτά τα σωματίδια έχουν μια συγκεκριμένη ενέργεια, και αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό παρατηρώντας την αλληλεπίδρασή τους με άλλα πράγματα - όταν απορροφηθεί, το φως μεταφέρει την ενέργειά του σε αυτά. Το φως με αρκετή ενέργεια μπορεί να θερμάνει την ύλη, να προσθέσει κινητική ενέργεια (και ταχύτητα), να κλωτσήσει ηλεκτρόνια σε υψηλότερα επίπεδα ενέργειας ή να ιονιστεί εντελώς, ανάλογα με την ενέργεια.

Επιπλέον, η ποσότητα ενέργειας που περιέχεται σε ένα σωματίδιο χωρίς μάζα καθορίζεται μόνο από τη συχνότητα και το μήκος κύματός του, το γινόμενο των οποίων ισούται πάντα με την ταχύτητα του σωματιδίου: την ταχύτητα του φωτός. Αυτό σημαίνει ότι τα μεγαλύτερα κύματα έχουν λιγότερες συχνότητες και λιγότερη ενέργεια, ενώ τα μικρότερα κύματα έχουν υψηλότερες συχνότητες και ενέργεια. Ένα τεράστιο σωματίδιο μπορεί να επιβραδυνθεί και οι προσπάθειες να αφαιρέσουμε ενέργεια από ένα χωρίς μάζα θα οδηγήσουν μόνο σε επέκταση του κύματος του και όχι σε αλλαγή ταχύτητας.

Έχοντας υπόψη τα παραπάνω, ας σκεφτούμε πώς η μάζα-ενέργεια μπορεί να ισοδυναμεί με εργασία; Ναι, μπορείτε να πάρετε ένα σωματίδιο ύλης και ένα σωματίδιο αντιύλης (ένα ηλεκτρόνιο και ένα ποζιτρόνιο), να τα συγκρούσετε και να πάρετε σωματίδια χωρίς μάζα (δύο φωτόνια). Γιατί όμως οι ενέργειες δύο φωτονίων είναι ίσες με τις μάζες ενός ηλεκτρονίου και ενός ποζιτρονίου πολλαπλασιαζόμενες με το τετράγωνο της ταχύτητας του φωτός; Γιατί δεν υπάρχει άλλος παράγοντας, γιατί η εξίσωση εξισώνει ακριβώς το E και το mc 2 ;

Είναι ενδιαφέρον ότι, σύμφωνα με το SRT, η εξίσωση πρέπει απλώς να μοιάζει με E=mc 2, χωρίς αποκλίσεις. Ας μιλήσουμε για τους λόγους για αυτό. Πρώτον, φανταστείτε ότι έχετε ένα κουτί στο διάστημα. Είναι ακίνητο, και έχει καθρέφτες και στις δύο πλευρές, και μέσα υπάρχει ένα φωτόνιο που πετά προς έναν από τους καθρέφτες.

Αρχικά, το κουτί δεν κινείται, αλλά επειδή τα φωτόνια έχουν ενέργεια (και ορμή), όταν το φωτόνιο χτυπήσει τον καθρέφτη στη μία πλευρά του κιβωτίου και αναπηδήσει, το κιβώτιο θα αρχίσει να κινείται προς την κατεύθυνση που πήγε αρχικά το φωτόνιο. Όταν το φωτόνιο φτάσει στην άλλη πλευρά, θα αναπηδήσει από τον καθρέφτη στην άλλη πλευρά, αλλάζοντας την ορμή του κιβωτίου ξανά στο μηδέν. Και θα συνεχίσει να αντανακλάται με αυτόν τον τρόπο, ενώ το κουτί θα κινείται τη μισή φορά προς τη μία κατεύθυνση και η άλλη μισή θα παραμένει ακίνητη.

Κατά μέσο όρο, το κιβώτιο θα κινείται και επομένως, αφού έχει μάζα, θα έχει μια συγκεκριμένη κινητική ενέργεια λόγω της ενέργειας του φωτονίου. Αλλά είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε την ορμή, την ποσότητα κίνησης του αντικειμένου. Η ορμή των φωτονίων σχετίζεται με την ενέργεια και το μήκος κύματός τους με έναν πολύ απλό τρόπο: όσο μικρότερο είναι το κύμα και όσο υψηλότερη είναι η ενέργεια, τόσο μεγαλύτερη είναι η ορμή.

Ας σκεφτούμε τι σημαίνει αυτό και για αυτό θα κάνουμε ένα άλλο πείραμα. Φανταστείτε τι συμβαίνει όταν μόνο το ίδιο το φωτόνιο κινείται αρχικά. Θα έχει μια ορισμένη ποσότητα ενέργειας και ορμής. Και οι δύο ιδιότητες πρέπει να διατηρηθούν, έτσι στην αρχική στιγμή η ενέργεια ενός φωτονίου καθορίζεται από το μήκος κύματός του και το κιβώτιο έχει μόνο ενέργεια ηρεμίας -όποια κι αν είναι αυτή- και το φωτόνιο έχει όλη την ορμή του συστήματος, και το κιβώτιο έχει μηδενική ορμή.

Στη συνέχεια, το φωτόνιο συγκρούεται με το κιβώτιο και απορροφάται προσωρινά. Η ορμή και η ενέργεια πρέπει να διατηρηθούν - αυτοί είναι οι βασικοί νόμοι διατήρησης του Σύμπαντος. Εάν το φωτόνιο απορροφηθεί, τότε υπάρχει μόνο ένας τρόπος διατήρησης της ορμής - το κιβώτιο πρέπει να κινείται με μια ορισμένη ταχύτητα προς την ίδια κατεύθυνση προς την οποία κινήθηκε το φωτόνιο.

Είναι εντάξει προς το παρόν. Μόνο τώρα μπορούμε να αναρωτηθούμε ποια είναι η ενέργεια του κουτιού. Αποδεικνύεται ότι αν πάμε από τον συνήθη τύπο μας για την κινητική ενέργεια, K E = ½mv 2, πιθανώς γνωρίζουμε τη μάζα του κιβωτίου και, με βάση την έννοια της ορμής, την ταχύτητά του. Αν όμως συγκρίνουμε την ενέργεια του κιβωτίου με την ενέργεια του φωτονίου πριν από τη σύγκρουση, βλέπουμε ότι το κιβώτιο δεν έχει αρκετή ενέργεια.

Πρόβλημα? Όχι, είναι αρκετά εύκολο να λυθεί. Η ενέργεια του συστήματος κιβωτίου/φωτονίου είναι ίση με τη μάζα ηρεμίας του κιβωτίου συν την κινητική ενέργεια του κιβωτίου συν την ενέργεια του φωτονίου. Όταν το κιβώτιο απορροφά ένα φωτόνιο, το μεγαλύτερο μέρος της ενέργειάς του μετατρέπεται σε αύξηση της μάζας του κιβωτίου. Όταν το κουτί έχει απορροφήσει ένα φωτόνιο, η μάζα του αλλάζει (αυξάνεται) σε σύγκριση με αυτή που ήταν πριν τη σύγκρουση.

Όταν το κιβώτιο εκπέμπει ξανά ένα φωτόνιο προς την άλλη κατεύθυνση, αποκτά ακόμη μεγαλύτερη ορμή και ταχύτητα (η οποία αντισταθμίζεται από την αρνητική ορμή του φωτονίου προς την αντίθετη κατεύθυνση), ακόμη περισσότερη κινητική ενέργεια (και το φωτόνιο έχει ενέργεια), αλλά χάνει κάποια μάζα ανάπαυσης σε αντάλλαγμα. Αν όλα υπολογιστούν (υπάρχουν τρεις διαφορετικοί τρόποι για να γίνει αυτό, και εδώ είναι μια περιγραφή), θα διαπιστώσετε ότι ο μόνος μετασχηματισμός μάζας που σας επιτρέπει να εξοικονομήσετε ενέργεια και ορμή θα είναι E = mc 2 .

Εάν προσθέσετε οποιαδήποτε σταθερά, η εξίσωση δεν θα είναι ισορροπημένη και θα χάνετε ή θα κερδίζετε ενέργεια κάθε φορά που εκπέμπετε ή απορροφάτε ένα φωτόνιο. Όταν ανακαλύψαμε την αντιύλη τη δεκαετία του 1930, είδαμε άμεσες ενδείξεις ότι ήταν δυνατό να μετατραπεί η ενέργεια σε μάζα και αντίστροφα, και τα αποτελέσματα των μετασχηματισμών συνέπεσαν ακριβώς με το E = mc 2, αλλά θεωρήθηκε ότι τα πειράματα κατέστησαν δυνατή την εξαγωγή αυτόν τον τύπο αρκετές δεκαετίες πριν από τις παρατηρήσεις. Μόνο βάζοντας ένα φωτόνιο σε αντιστοιχία με ενεργή μάζα ισοδύναμη με m = E/c 2 μπορούμε να εξασφαλίσουμε τη διατήρηση της ενέργειας και της ορμής. Και παρόλο που λέμε E = mc 2, ο Αϊνστάιν έγραψε αρχικά τον τύπο διαφορετικά, αποδίδοντας ενεργειακά ισοδύναμη μάζα σε σωματίδια χωρίς μάζα.

Ευχαριστώ λοιπόν για την υπέροχη ερώτηση, Mark, και ελπίζω αυτό το πείραμα σκέψης να σας βοηθήσει να καταλάβετε γιατί δεν χρειαζόμαστε μόνο την ισοδυναμία μάζας-ενέργειας, αλλά και γιατί υπάρχει μόνο μία πιθανή τιμή για τη "σταθερά" σε αυτήν την εξίσωση, η οποία θα σας βοηθήσει να διατηρήσετε ενέργεια και ορμή - και αυτό απαιτείται από το Σύμπαν μας. Η μόνη εξίσωση που λειτουργεί είναι E = mc 2 .